奥数最大公因数、最小公倍数讲义及答案
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2021年02月01日 07:36
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#
数
的
整
除
（
3
）
最
大
公
因
数
、
最
小
公
倍
数
教室
姓名
学号
【知识要点】
1
、
2
、几个数公有的因数，叫 做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数
的最大公因数。自然数
a
、
b
的最大公因数记作（
a
，
b
）
。
3
、
4
、
{
5
、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数
的最小公倍数。自然数a
、
b
的最小公倍数记作［
a
，
b
］
。
6
、
7
、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：
（
1
）
（
a
，
b
）×［
a
，
b］
=a
×
b
；
（
2
）若
a
＞
b
，则
a
－
b
与
b
的最大公因数就等于
a
与
b
的最大公因数。
《
（
3
）
a+b
与
b
的最大公因数，等于
a
与
b
的最大公因数。
【典型例题】
例
1.
甲数是
24
，甲、乙两数的最小公倍数是
168
，最大公因数是
4
，求乙
数。
解：由性 质（
1
）得到乙数
=168
×
4
÷
24
＝
28.
@
例
2.
将长为
90
厘米，宽为
42
厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面
积相等的正方形铁皮，恰 无剩余，问至少剪成多少块
解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正 方形，则正方形的
边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因
此正 方形边长是长方形长与宽的最大公因数。（
90
，
42
）
=6.至少能剪
90
×
42
÷（
6
×
6
）< br>=105
（块）
.
例
3.
马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看
错了，得乘积
473
；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积
40 7
，那么甲、
乙两数的乘积应是多少
解：
473
与
407
的最大公因数是
11
，
而
11
是质数，
所以乙数是
11
，
又
473=43
×
11
，
407
＝
37
×
11
，所以甲数是
47
，甲乙两数的乘积应为：
47
×
11=517
或
1
×
477=477.
例
4.
有一种自然数，它加上
1< br>是
2
的倍数，加上
2
是
3
的倍数，加上
3< br>是
4
的倍数，加上
4
是
5
的倍数，加上
5< br>是
6
的倍数，加上
6
是
7
的倍数，则
这种自 然数中除
1
以外，最小数是多少
【
解：根据 已知，若这个数分别加上
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
是
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是< br>2
，
3
，
4
，
5
，
6
，< br>7
的最小公倍
数加上
1.
［
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
］
=420
，
最小数是：
420+1=421
。
【精英班】
例
5
、
两个整数的最小公倍数是
19 25
，
这两个整数分别除以它们的最
大公因数，得到两个商的和是
16
，请写出这两个整数。
解：
1925=5
×
5
×
7
×
11 ，两个商都是
1925
的因数，互质，而且和为
16
，所以
这两 个商分别为
5
、
11.
即：
1925
÷
5=385
，
1925
÷
11=175.
【竞赛班】例
6
、 大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他
俩的起步和走的方向完全相同。
小 明的平均步长
54
厘米，
爸爸平均步长
72
厘米，
由于两人 的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下
60
个脚印，这个花圃的周 长是多少米
~
解：
根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚 印点的路程长度是他们步长的最
小公倍数。
［
54
，
72
］
=216
，在这
216
厘米的路程中小明留下
216
÷54=4
个脚印，
爸爸应留下
216
÷
72=3
个脚印 ，
由于两人最后重合了一个脚印，
所以雪地上实际
只留下
4+3
－< br>1=6
个脚印。周长：
216
×（
60
÷
6
）
=2160
厘米
=
米。
【课后分层练习】
A
组：入门级
1.
2.
甲数是
36
，甲乙两数的 最小公倍数是
288
，最大公因数是
4
，乙数应该
是多少
,
解：甲数×乙数
=288
×
4
，所以乙数< br>=288
×
4
÷
36=32.