奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 07:39
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数的整除（
3
）最大公因数、最小公倍数
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【知识要点】
1
、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的 一个叫做这几个数
的最大公因数。自然数
a
、
b
的最大公因数记作（
a
，
b
）
。
2
、几个数公有的倍数，叫 做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数
的最小公倍数。自然数
a
、
b
的最小公倍数记作［
a
，
b
］
。
3
、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：
（
1
）
（
a
，
b
）×［
a
，
b
］=a
×
b
；
（
2
）若
a
＞
b
，则
a
－
b
与
b
的最大公因数就等于< br>a
与
b
的最大公因数。
（
3
）
a +b
与
b
的最大公因数，等于
a
与
b
的最大公因数 。
【典型例题】
例
1.
甲数是
24
， 甲、乙两数的最小公倍数是
168
，最大公因数是
4
，求乙
数。
解：由性质（
1
）得到乙数
=168
×
4
÷
24
＝
28.
例
2.
将长为
90
厘米， 宽为
42
厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面
积相等的正方形铁皮，恰无剩余， 问至少剪成多少块？
解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的
边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因
此正方形边长是长方形 长与宽的最大公因数。（
90
，
42
）
=6.
至少能剪90
×
42
÷（
6
×
6
）
=105< br>（块）
.
例
3.
马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲 数的个位数字看
错了，得乘积
473
；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积
407
，那么甲、
乙两数的乘积应是多少？
解：
473
与
407
的最大公因数是
11
，
而
11
是质数，所以乙数是
11
，
又
473=43
×
11
，< br>407
＝
37
×
11
，所以甲数是
47
，甲 乙两数的乘积应为：
47
×
11=517
或
1
×
4 77=477.
例
4.
有一种自然数，它加上
1
是
2的倍数，加上
2
是
3
的倍数，加上
3
是
4的倍数，加上
4
是
5
的倍数，加上
5
是
6的倍数，加上
6
是
7
的倍数，则
这种自然数中除
1以外，最小数是多少？
解：根据已知，若这个数分别加上
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
是
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是
2
，
3
，
4< br>，
5
，
6
，
7
的最小公倍
数加上
1 .
［
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
］
=420
，
最小数是：
420+1=421
。
【精英班】
例
5
、
两个整数的最小公倍数是
1925
，< br>这两个整数分别除以它们的最
大公因数，得到两个商的和是
16
，请写出这两个 整数。
解：
1925=5
×
5
×
7
×
11 ，两个商都是
1925
的因数，互质，而且和为
16
，所以
这两 个商分别为
5
、
11.
即：
1925
÷
5=385
，
1925
÷
11=175.
【竞赛班】例
6
、大雪后的一 天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他
俩的起步和走的方向完全相同。
小明的平均步 长
54
厘米，
爸爸平均步长
72
厘米，
由于两人的脚印有重 合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下
60
个脚印，这个花圃的周长是多少米 ？
解：
根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚印点的路程长度是他们步长的最< br>小公倍数。
［
54
，
72
］
=216
，在这
216
厘米的路程中小明留下
216
÷
54=4
个 脚印，