奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案教学内容
巡山小妖精
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2021年02月01日 07:41
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数的整除（
3
）最大公因数、最小公倍数
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【知识要点】
1
、几个数公有的因数，叫 做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数
的最大公因数。自然数
a
、
b
的最大公因数记作（
a
，
b
）
。
2
、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数
的最小 公倍数。自然数
a
、
b
的最小公倍数记作［
a
，
b
］
。
3
、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：
（
1
）
（
a
，
b
）×［
a
，
b］
=a
×
b
；
（
2
）若
a
＞
b
，则
a
－
b
与
b
的最大公因数就等于
a
与
b
的最大公因数。
（
3
）
a+b
与
b
的最大公因数，等于
a
与
b
的最大公因数。
【典型例题】
例
1.
甲数是
24
，甲、乙两数的最小公倍数是
168
，最大公因数 是
4
，求乙数。
解：由性质（
1
）得到乙数< br>=168
×
4
÷
24
＝
28.
例
2.
将长为
90
厘米，宽为
42
厘米的长方形铁皮剪成边 长是整厘米数，面积相
等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？
解：
把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，
面积相等的正方形，
则正方形的边长应
是长方形的长和宽的公因数，
又要求所剪正方形铁片块数最少，
因此正方形边长
是长 方形长与宽的最大公因数。
（
90
，
42
）
=6.
至少能剪
90
×
42
÷（
6
×
6
）
=105
（块）
.
例
3.
马鹏和李虎计算甲、
乙两个自然数的乘积，
马鹏把甲数的个位数字看错了，
得乘积
473
；李虎 把甲数的十位数字看错了，得乘积
407
，那么甲、乙两数的乘
积应是多少？
解：
473
与
407
的最大公因数是
11
，而
11
是质数，所以乙数是
11
，又
473=43
×< br>11
，
407
＝
37
×
11
，所以甲数是< br>47
，甲乙两数的乘积应为：
47
×
11=517
或
1
×
477=477.
例
4.
有一种自然数，它加上< br>1
是
2
的倍数，加上
2
是
3
的倍数，加上< br>3
是
4
的
倍数，加上
4
是
5
的倍数 ，加上
5
是
6
的倍数，加上
6
是
7
的倍数 ，则这种自然
数中除
1
以外，最小数是多少？
解：根据 已知，若这个数分别加上
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
是
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
的倍
数，求这个数最小是多少，即这 个数是
2
，
3
，
4
，
5
，
6，
7
的最小公倍数加上
1.
［
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
］
=420
，
最小数是：
420+1=421
。
【精英班】
例
5
、
两个整数的最小公倍数是
1925
，
这两个整数分别 除以它们的最
大公因数，得到两个商的和是
16
，请写出这两个整数。
解：
1925=5
×
5
×
7
×
11 ，两个商都是
1925
的因数，互质，而且和为
16
，所以
这两 个商分别为
5
、
11.
即：
1925
÷
5=385
，
1925
÷
11=175.
【竞赛班】例
6
、 大雪后的一天，小明和爸爸共同步测一个环形花圃的周长。他
俩的起步和走的方向完全相同。
小 明的平均步长
54
厘米，
爸爸平均步长
72
厘米，
由于两人 的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下
60
个脚印，这个花圃的周 长是多少米？
解：
根据题意从第一个脚印重合到下一个重合脚印点的路程 长度是他们步长的最
小公倍数。
［
54
，
72
］
= 216
，
在这
216
厘米的路程中小明留下
216
÷
54=4
个脚印，
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》
< br>爸爸应留下
216
÷
72=3
个脚印，
由于两人最后重合了一 个脚印，
所以雪地上实际
只留下
4+3
－
1=6
个脚印。周 长：
216
×（
60
÷
6
）
=2160
厘 米
=21.6
米。
【课后分层练习】
A
组：入门级
1.
甲数是
36
，甲 乙两数的最小公倍数是
288
，最大公因数是
4
，乙数应该是多
少？
解：甲数×乙数
=288
×
4
，所以乙数=288
×
4
÷
36=32.
2.
两个数的最大公因数是
21
，最小公倍数是
126.
这两个数的和是多少 ？
解：
126=21
×
6
＝
21×
2
×
3
，所以这两个数是
21
×
2
与
21
×
3
；或
21
与
21
×
6
，
从而这两个数的和是：
21
×
2+21
×
3=1 05
或
21+21
×
6=147.
3.
从运动场一端到另一端全长
96
米，
从一端起到另一端每隔
4
米 插一面小红旗。
现在要改成每隔
6
米插一面小红旗，问可以不拔出来的小红旗有多少面 ？
解：因为［
6
，
4
］
=12
，可以不拔出来的小红旗有
96
÷
12+1=9
（面）
4.
三位小朋友每人隔不同的天数到图书馆一次：甲隔
2
天去一次 ，乙隔
3
天去
一次，
丙隔
4
天去一次。
上次他们在 星期二在图书馆相遇，
还要多少天他们才能
再在图书馆相遇；相遇时是星期几？
解：
［
3
，
4
，
5
］
=60
；还要
60
天再次在图书馆相遇。
60
÷
7=8
周……
4
天；相遇时是星期六。
5.
6.
四个自然数的和为
1111
，这四个数的公因数最大是几？
解：
1111=11
×
101
，
四个数的公因 数必是其和的因数，
故公因数最大不超过
101
，
又
1+2+3+5 =11
，所以
101
，
202
，
303
，
505
这四个数的和为
1111
，且它们的最大
公因数为
101.
B
组：进阶级
1
、
甲、乙、丙三人绕操场竞 走，他们走一圈分别需要
1
分、
1
分
15
秒和
1< br>分
30
秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？
解
：甲、乙、丙走一圈分别需
60
秒、
75
秒和
90
秒，因为要在起点相会，即三
人都要走整圈数，所以需要的时间应是
60
，
75
，
90
的公倍数。所求时间为
[60
，75
，
90]=900
（秒）
=15
（分）
。
2
、用自然数
a
去除
498
，
450< br>，
414
，得到相同的余数，
a
最大是多少？
解
：因为
498
，
450
，
414
除以
a
所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应
能被
a
整除。
498-450=48
，
450-414=36
，
4 98-414=84
。所求数是（
48
，
36
，
84
）
=12
。
3< br>、
用
60
元钱可以买一级茶叶
144
克，
或买二级茶 叶
180
克，
或买三级茶叶
240
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》
< br>克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋，
要求每袋的价格都相等，
那么每袋的价
格最低是多少元钱？
解：
（
144
，
180
，240
）
=2
×
2
×
3=12
，即每
60
元的茶叶分