(完整版)新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结
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2021年02月01日 07:41
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新版北师大版八年级数学上册知识点全面总结
第一章
勾股定理
2
2
2
1
．勾股定理：直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方；即
a
b
c
。
2
．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）
。
< br>2
2
2
3
．勾股定理逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足
a
b
c
，那么这个三角形是直角
2
2
2
三角形。满足
a
b
c
的三个正整数称为勾股数。
常见勾股数：
（3
、
4
、
5
）
（
6
、
8、
10
）
（
5
、
12
、
13
）
（
8
、
15
、
17
）
第二章
实数
1
．平方根和算术平方根的概念及其性质：
2
（
1
）概念：如果
x
a
，那么
x
是
a
的平 方根，记作：
a
；其中
a
叫做
a
的算术平方根。
（
2
）性质：①当
a
≥
0
时，
a
≥
0
；当
a
＜０时，
a
无意义；②
2< br>．立方根的概念及其性质：
3
（
1
）概念：若
x< br>
a
，那么
x
是
a
的立方根，记作：
3a
；
a
＝
a
；③
2< br>a
2
a
。
（
2
）性质：①a
a
；②
a
a
；③
3
a
＝
3
a
3
．实数的概念及其分类：
（
1
）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（
2
）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限
不循环小 数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环
小数称为分数。< br>
4
．与实数有关的概念：
在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的 意义与有理数范围内的意义完
全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数 都可以用数轴上的一
个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一 一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
a
a
a
5
．算术平方根的运算律：
a
g
b
（
≥
0
，
≥
0
）
；
（
a
≥
0
，
b
＞
0
）
。
b
a
g
b
b
b
第三章
图形的平移与旋转
1
．平移：在平面内，将一个 图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不
改变图形大小和形状，改变了图形的 位置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段
平行且相等，对应角相等。
2
．
旋转：
在平面内，
将一个图形绕一个定点沿某个方向 转动一个角度，
这样的图形运动称为旋转。
这点定点称为旋转中心，
转动的角称为旋转 角。
旋转不改变图形大小和形状，
改变了图形的位置；
经过旋转，图形点的每一个点都 绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋
转中心的连线所成的角都是旋转角；对应 点到旋转中心的距离相等。
3
．作平移图与旋转图。
第四章
四边形性质的探索
1
．多边形的分类：
三角形
特殊
等腰三角形、直角三角形
菱形
特殊
特殊
特殊
平行四边形
正方形
多
四边形
边
矩形
形
特殊
梯形
等腰梯形
特殊
边数多于
4
的多边形
正多边形
2
．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：
3
3
3
3
- 1 -
（
1
）平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平 行且相等；
对角相等，邻角互补；对角线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对 边
平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相
等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（
2
）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等；对角线互相垂直平分，
每一条对角 线平分一组对角。四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱
形；一组邻边相等的 平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。菱形的面积等
于两条对角线乘积的一半（面 积计算，即
S
菱形
=L
1
*L
2
/2
）
。
< br>（
3
）矩形：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是 直角。对
角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线
等于斜边长的一半；
在直角三角形中
3
0
°所对的直角边是斜边的一半
。
（
4
）
正方形：
一组邻边相等的矩形叫做正方形。
正方形具有平 行四边形、
菱形、
矩形的一切性质。
（
5
）
等腰 梯形同一底上的两个内角相等，
对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯
形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。
（
6
）三 角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。性质：平行且等于第三边的一半
o
3
．多边形的内角和公式：
（
n-2
）
*18
0
°； 多边形的外角和都等于
360
。
o
4
．中心对称图形：在 平面内，一个图形绕某个点旋转
180
，如果旋转前后的图形互相重合，那
么这个图形 叫做中心对称图形。
第五章
位置的确定
1
．直角坐标系及坐标的相关知识。
2
．点的坐标间的关系：如果 点
A
、
B
横坐标相同，则
AB
∥
y
轴；如 果点
A
、
B
纵坐标相同，则
AB
∥
x
轴。
3
．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
1
倍 ，所得到的图形与原图形关于
y
轴对称；
将图形的横坐标保持不变，
纵坐标变 为原来的
1
倍，
所得到的图形与原图形关于
x
轴对称；< br>将图
形的横、纵坐标都变为原来的
1
倍，所得到的图形与原图形关于 原点成中心对称。
第六章
一次函数
1
．一次 函数定义：若两个变量
x
,
y
间的关系可以表示成
y
kx
b
（
k
,
b
为常数，
k
0
）的形
式，则称
y
是
x
的一次函数。当b
0
时称
y
是
x
的正比例函数。正比例函数 是特殊的一次函数。
2
．作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。
3
．正比例函数图象性质：经过
0,0
；
k
＞
0
时，经过一、三象限；
k
＜
0
时，经过二、四象限。
4
．一次函数图象性质
：
（
1
）当
k
＞
0
时，
y
随
x
的增大而增大，图象呈上升趋 势；当
k
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小，
图象呈下降趋势。
b
（
2
）直线< br>y
kx
b
与轴的交点为
0,
b
，与
x
轴的交点为
,0
。
k
（
3
）在一次函数
y
kx
b
中：
k
＞
0
，
b
＞
0时函数图象经过一、二、三象限；
k
＞
0
，
b
＜
0
时函数图象经过一、三、四象限；
k
＜
0
，
b
＞
0
时函数图象经过一、二、四象限；
k
＜
0
，
b
＜
0
时函数图象经过二、三、四象限。
（
4
）< br>在两个一次函数中，
当它们的
k
值相等时，
其图象平行；
当它 们的
k
值不等时，
其图象相交；
当它们的
k
值乘积为
1
时，其图象垂直。
4
．已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。
5
．运用一次函数的图象解决实际问题。
第七章
二元一次方程组
1
．二元一次方程及二元一次方程组的定义。
< br>2
．解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：①代入消元法；②加减消元法；③图象法。
3
．方程组解应用题的关键是找
等量关系
。
4
．解应用题时，按
设、列、解、答
四步进行。
5
．
每个二元一次方程都可以看成一次函数，
求二元一次方程组的解，
可看 成求两个一次函数图象
的交点。
第八章
数据的代表
< br>1
．算术平均数与加权平均数的区别与联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，
（它特殊
- 2 -
在各项的权相等）
，
当实际问题中，
各项的权不相等时，
计算平均数时就要采用加权平均数，
当各
项的权相等时，计算平 均数就要采用算术平均数。
2
．中位数和众数：中位数指的是
n
个 数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间
位置的一个数据
（或最中间两个数据 的平均数）
。
众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。
应知应会的知识点
因式分解
1.
因式分解：把一个多 项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；
注意：因式分解与乘法是相反的两个转化< br>.
2
．因式分解的方法：常用“提取公因式法”
、
“公式法”
、
“分组分解法”
、
“十字相乘
法”
.
3
．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂
.
注意公式：
a+b=b+a
；
a-b=-(b-a)
；
(a-b)2=(b-a)2
；
(a-b)3=-(b-a)3.
4
．因式分解的公式：
(1)
平方差公式：
a2-b2=
（
a+ b
）
（
a- b
）
；
(2)
完全平方公式：
a2+2ab+b2=(a+b)2,
a2-2ab+b2=(a-b)2.
5
．因式分解的注意事项：
（
1
）选择因式分解方法的一般次序是：一
提取、二
公式、三
分组、四
十字；
（
2
）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（
3
）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（
4
）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（
5
）因式分解的最后结果要求加以整理；
（
6
）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式
.
6．因式分解的解题技巧：
（
1
）换位整理，加括号或去括号整理；
（2
）提负号；
（
3
）
全变号；
（
4
） 换元；
（
5
）配方；
（
6
）把相同的式子看作整体；
（
7
）灵活分组；
（
8
）提
取分数系数；
（9
）展开部分括号或全部括号；
（
10
）拆项或补项
.
7
．
完全平方式：
能化为
（
m+n
）
2
的多项式叫完全平方式；
对于二次三项式
x2+px+q
，
p
q
有“
x2+px+q
是完全平方式
2
”
.
2
分式
A
1
．分式：一般地，用
A
、
B
表示两个整式，
A
÷
B
就可以表示为
B
的形式，如果
B
A
中含有字母 ，式子
B
叫做分式
.
整式
有理式
分式
.
2
．有理式：整式与分式统称有理式；即
3
．对于分式的两个重要 判断：
（
1
）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义；
（
2
）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为
零，而分母也为 零，则分式无意义
.
4
．分式的基本性质与应用：
（
1
）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
（< br>2
）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的
值不变 ；
- 3 -
即
分子
分子
分子
分子
分母
分母
分母
分母
（
3
）繁 分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单
.
5
．分式的 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：
分式约分前经常需要先因式分解
.
6
．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意 ：
分式计算的最后结果要求化为最简分式
.
a
c
ac
< br>
,
b
d
bd
7
．分式的乘除法法则：
n< br>a
c
a
d
ad
b
d
b
c
bc
.
a
n
a
n
.
（
n
为正整数 ）
b
8
．分式的乘方：
b
.
9
．负整指数计算法则：
1
n
（
1
）公式：
a0=1(a
≠
0),
a-n=
a
(a
≠
0)
；
（
2
）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；
a
（
3
）公式：
b
n
n
m
b
a
b
n
m
a
，
b
a
；
n
（
4
）公式：
（
-1
）
-2=1
，
（
-1
）
-3=-1.
10
．分式的通分：根据分式的基 本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式
相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式 的通分前要先确定最简公分母
.
11
．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂
.
a< br>b
a
b
;
c
12
． 同分母与异分母的分式加减法法则：
c
c
a
c
ad
bc
ad
bc
b
d
bd
bd
bd
.
13
．含有字母系数的一元一 次方程：在方程
ax+b=0(a
≠
0)
中
,x
是未知数< br>,a
和
b
是用字
母表示的已知数，对
x
来说，字母< br>a
是
x
的系数，叫做字母系数，字母
b
是常数项，
我 们称它为含有字母系数的一元一次方程
.
注意：在字母方程中
,
一般用
a
、
b
、
c
等表
示已知数，用
x
、y
、
z
等表示未知数
.
14
．公式变形：把一个公式 从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公
式变形的本质就是解含有字母系数的方程
.
特别要注意：
字母方程两边同时乘以含字母
的代数式时，一般需要先确认这个代数 式的值不为
0.
15
．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以 前学过的，分母里
不含未知数的方程是整式方程
.
16
．分式方程的增根： 在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知
数的代数式，所以可能产生增根，故分式方 程必须验增根；注意：在解方程时，方程
的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
17
．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每
个分母）
，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是
原 方程的解；
注意：
由此可判断，
使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18
．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需
- 4 -
要增加“验增根”的程序
.
数的开方
1< br>．平方根的定义：若
x2=a,
那么
x
叫
a
的平方根 ，
（即
a
的平方根是
x
）
；注意：
（
1< br>）
a
叫
x
的平方数，
（
2
）已知
x
求
a
叫乘方，已知
a
求
x
叫开方，乘方与开方互为 逆运算
.
2
．平方根的性质：
（
1
）正数的平方根是一对相反数；
（
2
）
0
的平方根还是
0
；
（
3
）负数没有平方根
.
3
．平方根的表示方法：
a
的平方根表示为
a
和
a
.
注意：
a
可以看作是一个数，
也可以认为是一个数开二次方的运算
.
4
．算 术平方根：正数
a
的正的平方根叫
a
的算术平方根，表示为
a
.
注意：
0
的算术
平方根还是
0.
5
．三个重要非负数：
a2
≥
0 ,|a|
≥
0
，
a
≥
0 .
注意：非负数之和为
0
，说明它们都是
0.
6
．两个重要公式：
（
1
）
a
2
a
; (a
≥
0)
（
2
）
a
(
a
0
)
a
2
a
a
(
a
0
)
.
7
．立方根的 定义：若
x3=a,
那么
x
叫
a
的立方根，
（即< br>a
的立方根是
x
）
.
注意：
（
1
）
a
3
叫
x
的立方数；
（
2
）
a< br>的立方根表示为
a
；即把
a
开三次方
.
8
．立方根的性质：
（
1
）正数的立方根是一个正数；
（
2
）
0
的立方根还是
0
；
（
3
）负数的立方根是一个负数
.
3
3
9
．立方根的特性：
a
a
.
10
．无理数：无限不循环小数叫做无理数
.
注意：
和开方开不尽的数是无理数
.
11
．实数：有理数和无理数统称实数
.
正有理数
有理数
0
有限小数与无限循环小
数
负有理数
实数
正无理数
无理数
无限不循环小数
负无理数
< br>12
．
实
数
的
分
类
：
（
1
）
正实数
实数
0
负实数
.
（
2
）
- 5 -
13
．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应
.
14
．无理数的 近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应
该用无理数表示；
如果题 目有近似要求，
则结果应该用无理数的近似值表示
.
注意：
（
1）
近似计算时，中间过程要多保留一位；
（
2
）要求记忆：
2< br>
1
.
414
5
2
.
236
.
3
1
.
732
三角形
几何
A
级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1
．三角形的角平分线定义：
几何表达式举例：
A
三角形的一个角的平分线与这个角
(1)
∵
AD
平分∠
BAC
的对边相交，
这个角的顶点和交点之
∴∠
BAD=
∠
CAD
间的线段叫做三角形的角平分线
.
(2)
∵∠
BAD=
∠
CAD
B
D
C
（如图）
∴
AD
是角平分线
2
．三角形的中线定义：
几何表达式举例：
在三角形中，
连结一个顶点和它的对
(1)
∵
AD
是三角形的中线
A
边的中点的线段叫做三角形的中线
.
∴
BD = CD
（如图）
(2)
∵
BD = CD
∴
AD
是三角形的中线
D
C
B
3
．三角形的高线定义：
几何表达式举例：
从三角形的一个顶点向它的对边画
(1)
∵
AD
是Δ
ABC
的高
A
垂线，
顶点和垂足间的线段叫做三角
∴∠
ADB=90
°
形的高线
.
(2)
∵∠
ADB=90
°
（如图）
∴
AD
是Δ
ABC
的高
B
C
D
※
4
．三角形的三边关系定理：
几何表达式举例：
三角形的两边之和大于第三边，
三角
(1)
∵
AB+BC
＞
AC
A
形的两边之差小于第三边
.
（如图）
∴……………
(2)
∵
AB- BC
＜
AC
∴……………
B
C
5
．等腰三角形的定义：
几何表达式举例：
有两条边相等的三角形叫做等腰三
(1)
∵Δ
ABC
是等腰三角
A
角形
.
（如图）
形
∴
AB = AC
(2)
∵
AB = AC
B
C
∴Δ
ABC
是等腰三角形
6
．等边三角形的定义：
几何表达式举例：
A
有三条边相等的三角形叫做等边三
(1)
∵Δ
ABC
是等边三角形
角形
.
（如图）
∴
AB=BC=AC
(2)
∵
AB=BC=AC
C
B
∴Δ
ABC
是等边三角形
7
．三角形的内角和定理及推论：
几何表达式举例：
（
1
）三角形的内角和
180
°；
（如图）
(1)
∵∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°
- 6 -
（
2
）直角三角形的两个锐角互余；
（如图）
（
3
）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角
的和；
（如图）
※（
4
）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
的内角
.
A
A
A
C
（
1
B
）
C
（
2
）
B
B
（
3
）
（
D
C
4
）
8
．直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形叫直角
A
三角形
.
（如图）
C
B
∴…………………
(2)
∵∠
C=90
°
∴∠
A+
∠
B=90
°
(3)
∵∠
ACD=
∠
A+
∠
B
∴…………………
(4)
∵∠
ACD
＞∠
A
∴…………………
9
．等腰直角三角形的定义：
两条直角边相等的直角三角形叫
等腰直角三角形
.
（如图）
A
C
B
10
．全等三角形的性质：
（
1
）全等三角形的对应边相等；
（如图）
（
2
）全等三角形的对应角相等
.
（如图）
A
E
B
C
F
G
11
．全等三角形的判定：
“
SAS
”
“
ASA
”
“
AAS
”
“
SSS
”
“
HL
”
.
（如图）
A
E
（
1
）
（
2
）
C
G
B
F
A
E
（
3
）
C
B
G
F
12
．角平分线的性质定理及逆定
理：
（
1
）在角平分线上的点到角的两
- 7 -
几何表达式举例：
(1)
∵∠
C=90
°
∴Δ
ABC
是直角三角形
(2)
∵Δ
ABC
是直角三角形
∴∠
C=90
°
几何表达式举例：
(1)
∵∠
C=90
°
CA=CB
∴Δ
ABC
是等腰直角三角形
(2)
∵Δ
ABC
是等腰直角三
角形
∴∠
C=90
°
CA=CB
几何表达式举例：
(1)
∵Δ
ABC
≌Δ
EFG
∴
AB = EF
………
(2)
∵Δ
ABC
≌Δ
EFG
∴∠
A=
∠
E
………
几何表达式举例：
(1)
∵
AB = EF
∵
∠
B=
∠
F
又∵
BC = FG
∴Δ
ABC
≌Δ
EFG
(2)
………………
(3)
在
Rt
Δ
ABC
和
Rt
Δ
EFG
中
∵
AB=EF
又∵
AC = EG
∴
Rt
Δ
ABC
≌
Rt
Δ
EFG
几何表达式举例：
(1)
∵
OC
平分∠
AOB
又∵
CD
⊥
OA
CE
⊥
OB
边距离相等；
（如图）
∴
CD = CE
A
（
2
）到角的两边距离相等的点在
(2)
∵
CD
⊥
OA
CE
⊥
OB
D
C
角平分线上
.
（如图）
又∵
CD = CE
∴
OC
是角平分线
O
E
B
13
．线段垂直平分线的定义：
几何表达式举例：
垂直于一条线段且平分这条线段
(1)
∵
EF
垂直平分
AB
E
的直线，
叫做这条线段的垂直平分
∴
EF
⊥
AB
OA=OB
线
.
（如图）
(2)
∵
EF
⊥
AB
OA=OB
O
B
A
∴
EF
是
AB
的垂直平分线
F
14
．
线段垂直平分线的性质定理及
几何表达式举例：
逆定理：
(1)
∵
MN< br>是线段
AB
的垂直
M
P
（
1
）线段垂直平分 线上的点和这
平分线
条线段的两个端点的距离相等；
∴
PA = PB
（如图）
(2)
∵
PA = PB
B
A
C
（
2
）和一条 线段的两个端点的距
∴点
P
在线段
AB
的垂直平分
N
离相等的点，
在这条线段的垂直平
线上
分线上
.
（如图）
15
．等腰三角形的性质定理及推论：
几何表达式举例：
（
1
）等腰三角形的两个底角相等；
（即等边对等角）
（如
(1)
∵
AB = AC
图）
∴∠
B=
∠
C
（
2
）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的
(2)
∵
AB = AC
高”三线合一；
（如图）
又∵∠
BAD=
∠
CAD
（
3
）等边三角形的各 角都相等，并且都是
60
°
.
（如图）
∴
BD = CD
AD
⊥
BC
………………
A
A
A
(3)
∵Δ
ABC
是等边三角
形
∴∠
A=
∠
B=
∠
C =60
°
C
C
B
B
C
B
D
（
1
）
（
2
）
（
3
）
16
．等腰三角形的判定定理及推论：
几何表达式举例：
（
1
）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所
(1)
∵∠
B=
∠
C
对边也相等；
（即等角对等边）
（如图）
∴
AB = AC
（
2
）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（如图）
(2)
∵∠
A=
∠
B=
∠
C
（
3
）
有一个角等于
60
°的等腰三角形是等边三角形；
（
如
∴Δ
ABC
是等边三角形
图）
(3)
∵∠
A=60
°
（
4
）
在直角三角形中 ，
如果有一个角等于
30
°，
那么它
又∵
AB = AC
所对的直角边是斜边的一半
.
（如图）
∴Δ
ABC
是等边三角形
(4)
∵
∠
C=90
°
∠
A
A
A
B=30
°
C
B
C
（
1
）
B
（
2
）
（
3
）
C
B
（
4
）
1
∴
AC =
2
AB
- 8 -
17
．关于轴对称的定理
（
1
）
关于 某条直线对称的两个图
形是全等形；
（如图）
（
2
）如果两个图形关于某条直线
对称，那么对称轴是对应点连线
的垂直平分线
.
（如图）
B
18
．勾股定理及逆定理：
（
1
）直角三角形的两直角边
a
、
b
的平方和等于斜边
c
的平方，
即
a2+b2=c2
；
（如图）
（
2
）
如果三角形的三边长有下面
关系
: a2+b2=c 2
，
那么这个三角形
是直角三角形
.
（如图）
19
．
Rt
Δ斜边中线定理及逆定理：
（
1）
直角三角形中，
斜边上的中
线是斜边的一半；
（如图）
（
2
）
如果三角形一边上的中线是
这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形
.
（如图）
A
M
A< br>O
C
F
G
N
E
几何表达式举例：
(1)
∵Δ
ABC
、Δ
EGF
关
于
MN
轴对称
∴Δ
ABC
≌Δ
EGF
(2)
∵Δ
ABC
、Δ
EGF
关
于
MN
轴对称
∴
OA=OE
MN
⊥
AE
几何表达式举例：
(1)
∵Δ
ABC
是直角三角
形
∴
a2+b2=c2
(2)
∵
a2+b2=c2
∴Δ
ABC
是直角三角形
几何表达式举例：
∵Δ
ABC
是直角三角形
∵
D
是
AB
的中点
C
B
A
D
1
∴
CD =
2
AB
B
C
(2)
∵
CD=AD=BD
∴Δ
ABC
是直角三角形
几何
B
级概念：
（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一
基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、 钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角
平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、 辅助线、线段垂直平分线
的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数
.
二
常识：
1
．三角形中，第三边长的判断：
另两边之差＜第三边＜另两边之和
.
2
．三角形中，有三条角平分线、三条 中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中
前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三 角形上，三角形外
.
注意：
三角形的角平分线、中线、高线都是线段
. 3
．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若
CD
⊥
AB
，
BE
⊥
CA
，则
CD
·
AB=BE
·
CA.
4
．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和
.
A
5
．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和
.
D
E
6
．分别含
30
°、
45
°、
60
°的直角三角形是特殊的直角三角形
.
C
B
A
7
．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
D
（
1
）
AC
·
CB=CD
·
AB
；
（
2
）∠
1=
∠
B
，∠
2=
∠
A .
1
8
．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角
. 2
B
C
9
．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对 应角，对应角所对
的边是对应边
.
10
．等边三角形是特殊的等腰三角形
.
- 9 -
11
．几何习题中，
“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明
.
12
．符合“
AAA
”
“
SSA
”条件的三角形不 能判定全等
.
13
．几何习题经常用四种方法进行分析：
（
1）分析综合法；
（
2
）方程分析法；
（
3
）代
入分析法；
（
4
）图形观察法
.
14
．几何基本作图分为 ：
（
1
）作线段等于已知线段；
（
2
）作角等于已知角；< br>（
3
）作已
知角的平分线；
（
4
）过已知点作已知直 线的垂线；
（
5
）作线段的中垂线；
（
6
）过已知
点作已知直线的平行线
.
15
．会用尺规完成“
SAS
”
、
“
ASA
”
、
“
AAS
”
、
“
SSS
”
、
“
HL
”
、
“等腰三角形”< br>、
“等边
三角形”
、
“等腰直角三角形”的作图
.
16
．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什
么；注意 ：每步作图都应该是几何基本作图
.
17
．几何画图的类型：
（
1
）估画图；
（
2
）工具画图；
（
3
）尺规画图.
※
18
．几何重要图形和辅助线：
（
1
）选取和作辅助线的原则：
①
构造特殊图形，使可用的定理增加；
②
一举多得；
③
聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；
④
作辅助线必须符合几何基本作图
.
（
2
）已知角平分线
.
（若
BD
是角平分线）
①
在
BA
上截取
BE=BC
构造全等，
②
过
D
点作
DE
∥
BC
交
AB
于
E
，
构造
转 移线段和角；
等腰三角形
.
A
A
E
E
D
D
C
C
B
B
（
3
）已知三角形中线（若< br>AD
是
BC
的中线）
①
过
D
点作
DE
∥
AC
交
②
延
长
AD
到
E
，
使
③
∵
AD
是中线
AB
于
E
，构造中位线
；
DE=AD
∴
S
Δ
ABD= S
Δ
ADC
连结
CE
构造全等，
转移线
（等底等高的三角形
A
段和角；
A
等面积）
A
E
B
C
B
C
D
D
B
C
D
E
(4)
已知等腰三角形
ABC
中，
AB=AC
①
作等腰三角形
ABC
底边的中线
②
作等腰三角形
ABC
一边的平行线
DE
，
AD
构造
（顶角的平分线或底边的高）
构造全
新的等腰三角形
.
A
A
A
等三角形；
E
E
D
C
B
D
C
B
D
B
C
- 10 -
（
5
）其它
作等边三角形
ABC
②
作
CE
∥
AB
，转移角；
③
延长
BD
与
AC
交于
一边
的平行线
DE
，
构
E
，不规则图形转化为规
A
造新的等边三角形；
则图形；
E
A
A
E
B
D
E
C
D
C
C
B
D
B
④
多边形转化为三角
⑤
延长
BC
到
D
，使
⑥
若
a
∥
b,AC,BC
是角平
形；
CD=BC
， 连结
AD
，直角
分线
,
则∠
C=90
°
.
三角形转化为等腰三角
E
A
a
A
A
形；
D
C
O
b
B
C
B
D
B
C
勾股实数专题
2
、在
Rt
△
ABC
中， ∠
C
＝
90
°，
a
＝
12
，
b< br>＝
16
，则
c
的长为（
）
A
：
26 B
：
18 C
：
20 D
：
2
4
、在
Rt
△
ABC
中，∠
C
＝
90
°，∠
B< br>＝
45
°
,c
＝
10
，则
a
的长为 （
）
A
：
5 B
：
10
C
：
5
2
D
：
5
5
、下列定理中
,
没有逆定理的是（
）
A
：两直线平行，内错角相等
B
：直角三角形两锐角互余
C
：对顶角相等
D
：同位角相等，两直线平行
6
、△
ABC
中，∠< br>A
、∠
B
、∠
C
的对边分别是
a
、
b
、
c
，
AB
＝
8
，
BC
＝15
，
CA
＝
17
，则下列结
论不正确的是（
）
A
：△
ABC
是直角三角形，且
AC
为斜边
B
：△
ABC
是直角三角形，且∠
ABC
＝
90
°
C
：△
ABC
的面积是
60 D
：△
ABC
是直角三角形，且∠
A
＝
60
°
7
、等边三角形的边长为
2
，则该三角形的面积为（
）
A
：
4
3
B
：
3
C
：
2
3
D
：
3
9
、如图一艘轮船以
16
海里
∕小时的速度从港口
A
出发向东北方向航行，另一轮船
12
海里
∕
小时从港口
A
出发向东南方向航行，离开港口
3
小时后，则两船相距 （
）
A
：
36
海里
B
：
48
海里
C
：
60
海里
D
：
84
海里
10
、若
V
ABC
中，
AB
13
cm
,
AC
15cm
，高
AD=12,
则
BC
的长为（
）
A
：
14 B
：
4 C
：
14
或
4 D
：以上都不对
二、填空题
（每小题
4
分，共
40
分）
12
、如图所示，以
Rt
V
ABC
的三边向
外作正方形，其面积分别
为
S
1
,
S
2
,
S
3
,
且
S
1
4,
S
2
8,
则
S
3
；
14
、如图，
C
< br>
ABD
90
,
AC
4,
BC
3,
BD
12
,
则
AD=
；
C
A
- 11 -
B
D
16
、已知一个直角三角形的两条直角边分别为
6cm
、
8cm，那么这个直角三角形斜边上的高
为
；
19
、如图，已 知一根长
8m
的竹杆在离地
3m
处断裂，竹杆顶部抵着地
面，此时，顶部距底部有
m
；
20
、一艘小船早晨
8
：
00
出发，它以
8
海里
/
时的速度向东航行 ，
1
小时后，另一艘小船以
12
海里
/
时的速度向南航行， 上午
10
：
00
，两小相距
海里。
三、解答题（每小题
10
分，共
70
分）
21
、
如图，
为修通铁路凿通隧道
AC
，
量出∠
A=40
°∠
B
＝
50
°，
AB
＝
5
公里，
BC
＝
4
公里，
若每天凿隧道
0.3
公里，问几天才能把隧道
AB
凿通？
22
、如图，每个小方格的边长都为
1
．求图中格点四边形
ABCD
的面积。< br>
23
、
如图所示
,有一条小路穿过长方形的草地
ABCD,
若
AB=60m,BC=84m,AE= 100m,•
则这条
小路的面积是多少
?
F
D
A
D
A
C
B
C
E
B
24
、如图，已知在△
ABC
中 ，
CD
⊥
AB
于
D
，
AC
＝
20
，
BC
＝
15
，
DB
＝
9
。
(1)
求
DC
的长。
(2)
求
AB
的长。
25
、如图
9
，在海上观察所
A,
我边防海警发现正北
6km
的
B
处有一可疑船只正在向东方向
8km
的
C
处行驶
.
我边防海警即刻派船前往
C
处拦截
.
若可疑船只的行驶速度为40km/h
，
则我边防
海警船的速度为多少时，才能恰好在
C
处将可疑船只截住？
C
B
8km
C
6km
A
D
B
A
26
、如图，小明在广场上先向东走
10
米，又向南走
40
米，再 向西走
20
米，又向南走
40
米，
再向东走
70
米
.
求小明到达的终止点与原出发点的距离
.
出发点
10
40
20
D
A
40
E
终止点
70
B
F
C
27
、如图，小红用一张长方形纸片
AB CD
进行折纸，已知该纸片宽
AB
为
8cm
，
•
长
BC•
为
10cm
．当小红折叠时，顶点
D
落在
B C
边上的点
F
处（折痕为
AE
）
．想一想，此时
E C
有多长？
•
3
例
1
已知一个立方体盒子的 容积为
216cm
,
问做这样的一个正方体盒子
（无盖）
需要多少平 方
厘米的纸板？
- 12 -
例
2
若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。
例
3
下列 说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理
数；④实数与数轴上的 点是一一对应的。正确的个数是（
）
A
、
1 B
、
2 C
、
3 D
、
4
例
4
（
1
）
已知
x
2
(
y
4)
2
x
y
2
z
0,
求
(
xz
)
y
的平方根。
2
2
的整数部分为
a
，小 数部分为
b
，求
-16ab-8b
的立方根。
（
2
）设
x
,
y
,
m
适合于关系式
3
x
5
y
3
m
2
x
3
y
m
（
3
）若
x
y
2004
2004
< br>x
y
,
试求
m
4
的算术平方根 。
a
3
（
4
）
设
a
、
b
是两个不相等的有理数，
试判断实数
b
3
是 有理数还是无理数，
并说明理由。
例
5
（
1
）已知
2m-3
和
m-12
是数
p
的 平方根，试求
p
的值。
（
2
）已知
m
，
n
是有理数，且
(
5
2)
m
(3
2
5)
n
7
0
，求
m
，
n
的值。
（
3
）△
ABC
的三边长为
a
、
b
、c
，
a
和
b
满足
a
1
< br>b
4
b
4
0
，求
c
的取值范围。
2
2
a
x
(
4
a
（
4
）已知
a
3
3
a
3
a
)
1993
，求
x
的个位数字。
实数训练题
：
一、填空题
2
(
9)
1
、
的算术平方根是
。
2
、已知一块长方形的地长与宽的比为
3
：
2
，面积为
3174
平方米，则这块地的长为
米。
2
3
a
1
(
b
1)
0,
则
a
b
。
3
、已知
1
x
2
x
2
1
4
y
,
则
(
3
2
)
x
y
x
1
4
、已知
=
。
5
、设等式
a
(
x
a
)
a
(
y
a
)
x
a
a
y
在实数范围内成立，其中
a
、x
、
y
是两
- 13 -
3
x
2
xy
y
2
2
2
x
xy
y
两不相等的实数，则
的值是
。
6
、已知
a
、
b
为正数，则下列命题成立的：
< br>3
a
b
2,
则
ab
1
;
若
a
b
3,
则
ab
；若
a
b
6,
则
ab
3.
2
若
根据以上
3
个命题所提供的规律，若
a+6=9
，则
ab
。
7
、已知实数
a
满足
1999
a
a
2000
a
,
则
a
19 99
2
。
a
,
b
,
c
满足
8
、已知实数
1
1
c
a-b
2
b
c
c
2
c
0,
则
的算术平方根是
2
4
a b
。
2
2
x
3
y
y
2
23
3
2
，则< br>x+y=
。
9
、已知
x
、y
是有理数，且
x
、
y
满足
10
、由下列等式 ：
3
2
2
2
3
3
3
4
4
2
3
,
3
3
3
3
,
4
4
3
,
7
7
26
2663
63
……
所揭示的规律，可得出一般的结论是
。
11
、已知实数
a
满足
12
、设A
a
a
2
3
a
3
0,
那么
a
1
a
1
。
6
2,
B
5
3,
则
A
、
B
中数值 较小的是
。
13
、在实数范围内解 方程
x
x
1
2
y
5.28,
则
x= ,y= .
5
x
2
14
、使式子
x
2
有意义的
x
的取值范围是
。
0
p
a
p
1,
且
a
15
、若
1
1
6,
则
a
< br>a
a
的值为
。
16
、一 个正数
x
的两个平方根分别是
a+1
和
a-3
，则
a= ,x= .
17
、写出一个只含有字母的代数式，要求：
（
1
）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；
（
2
）此代数 式的值恒为负数。
。
二、选择题：
3
(
6)
1
、
的平方根是
( )A
、
-6 B
、
6 C
、±
6 D
、±
6
2
2
、下列命题：①（
-3
）
的平方根是
-3 < br>；②
-8
的立方根是
-2
；③
9
的算术平方根是3
；④
平方根与立方根相等的数只有
0
；
其中正确的命题的个数有
（
）
A
、
1
个
B
、
2
个
C
、
3
个
D
、
4
个
3
、若
3
5
的小数部分是
a
，
3-
5
的小数部分是
b
,
则
a
b
的值为
（
）
- 14 -
A
、
0 B
、
1 C
、
-1 D
、
2
ab
3
ab
ab
4
、已知
5
a
,
14
< br>b
,
则
0.063
( ) A
、
10
B
、
10
C
、
100
D
、
3
ab
100
2
(
x
)
x
成立的
x
的值
（
）
A
、
是正数
B
、
是负数
C
、
是
0 D
、
5
、
使等式
不能确定
3
a
p
0,
那么
a
等于
a
a
B
、
a
a
C
、
a
a
D
、
a
a
6
、
如果
（
）
A
、
3.1416,
7
、下面
5
个数：
2
个
D
、
3
个
1
,
,3.1 4,
1
，其中是有理数的有（
）
A
、
0
个
B
、
1
个
C
、
x
f
0,
yf
0,
且
x
2
xy
15
y
0,
求
8
、已知
9
、
已< br>2x+
xy
3
y
的值。
x
xy
y
知
：
x
,
y
,
z
适合关系式
3
x
y
z
2< br>
2
x
y
z
x
< br>y
2002
2002
x
y
,
试求
x,y,z
的值。
a
(
10
、在实数范围内，设
4< br>x
x
1
x
2
2< br>
x
2
x
)
2006
，求
a的各位数字是什么？
2
2
2
(
x
y
1)
与
5
x
3
y
3
互为相反数，求
x
y
的值。
11
、已知x
、
y
是实数，且
图形的平移与旋转专题
一、填空题
1
、在括号内填上图形从甲到乙的变换关系：
乙
乙
甲
甲
甲
乙
（
）
（
）
（
）
2
、
钟表的秒针匀速旋转一周需要
60秒．
20
秒内，
秒针旋转的角度是
；
分针经过
15
分
- 15 -
后
,
分针转过的角度是
；分针从数字
12出发
,
转过
1500,
则它指的数字是
.
图
2
图
1
3
、如图
1
，当半径为
30cm
的 转动轮转过
120
角时，传送带上的物体
A
平移的距离为
cm
。
4
、图
2
中的图案绕中心至少旋转
度后能和原来的图案相互重合。
5
、图
3
是两张全等的图 案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案
绕点
O
顺时针旋转 ，至少旋转
度角后，两张图案能够完全重合
.
6
、< br>一个正三角形绕其一个顶点按同一方向连续旋转五次
,
每次转过的角度为
600 ,
旋转前后所
有的图形共同组成的图案是
.
7
、图
4
中△
A
1
B
1
C
1
是△
ABC
平移后得到的三角形，则△
A
1
B
1
C
1
≌△
ABC
，理由
是
。
8
、△
ABC
和△
DCE
是等边三角 形，则在图
5
中，△
ACE
绕着
c
点沿
方向旋转
度可得到△
BCD.
A
A
A
1
D
C
B
1
C
1
B
B
C
E
图
5
图
4
二、选择题
1
、下列图形中，不能由图形
M
经过一次平移或旋转得到的是（
）
.
M
A
B
C
D
2
、如图
6
，Δ
ABC
和Δ
ADE
都是等腰直角三角形，∠
ACB
和∠
ADE
都 是直角，点
C
在
AE
上，Δ
ABC
绕着
A
点经过逆时针旋转后能够与Δ
ADE
重合得到左图，再将左图作为“基本图形
”
绕着
A
点经过逆时针连续旋转得到右图
.
两次旋转的角度分别为（
）
.
45
°，
90
°
B
、
90
°，
45
°
D
E
C
、
60
°，
30
°
D
、
30
°，
60
°
C
A
B
3
、
图
7,
四边形
EFGH
是由四边形
ABCD
平
移
得
到
的
,
已图
6
知
AD=5,
∠
B=700,
则（
）
.
A. FG=5,
∠
G=700 B. EH=5,
∠
F=700
C. EF=5,
∠
F=700 D. EF=5.
∠
E=700
图
7
4
、
图
8
是日本
“
三菱
”
汽车的标志，
它可以看作是由菱形通过旋 转得到的，
每次旋转了
（
）
.
D
E
C
A
B
- 16 -
A
、
60
°
B
、
90
°
C
、
120
°
D
、
150
°
5
、如图
9,
Δ
ABC
和Δ
ADE均为正三角形
,
则图中可看作是旋转关系的三角形是（
）
.
A.
Δ
ABC
和Δ
ADE B.
Δ
ABC
和Δ
ABD
A
C.
Δ
ABD
和Δ
ACE D.
Δ
ACE
和Δ
ADE
E
D
6
、下列运动是属于旋转的是（
）
.
B
C
A.
滾动过程中的篮球的滚动
B.
钟表的钟摆的摆动
图
9
C.
气球升空的运动
D.
一个图形沿某直线对折过程
三、解答题
1
、如图
,
将一个矩形
ABCD
绕
BC
边的中点
O
旋转
900
后得到矩形
EFGH.
已知
AB=5 cm,BC=10cm,
求图中阴影部分面积
.
A
E
H(D)
B
C
O
F
G
2
、如图，已知
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°
，< br>BC=4
，
AC=4
，现将△
ABC
沿
CB
方向平移到△
A
B
C
的位置，若平移距离为
3
。
（
1
）求△
ABC
与△
A
B
C
的 重叠部分的面积；
（
2
）若平移距离为
x
（
0< br>≤
x
≤
4
）
，求△
ABC
与△
A< br>B
C
的重叠部分的面积
y
，则
y
与
x
有怎样
关系式。
3
、
如 图
,
河两边有甲、
乙两条村庄
,
现准备建一座桥
,
桥必须与河岸垂直
,
问桥应建在何处才能
使由甲到乙的路程最短
?
请作出图形
,
并说说理由
.
甲•
- 17 -
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
、
阅读下面材料：
乙•
如图
(1)
，
把
△
ABC
沿直线
BC
平行移动线段
BC
的长度，可以变到
△
DEC< br>的位置；
如图
(2)
，以
BC
为 轴，把
△
ABC
翻折
180
º
，可以变到
△
DBC
的位置；
如图
(3)
，以点
A
为中心，把
△
ABC
旋转
180
º
，可以变到△
AED
的位置．
像这样，
其中一个三角形 是由另一个三角形按平行移动、
翻折、
旋转等方法变成的．
这种
只改变位置， 不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．
回答
下列问题：
①在下图中，可以通过平 行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使
△
ABE
变到
△
A DF
的位置；
②指出图中线段
BE
与
DF
之间的关系，为什么？
5
、已知正方形
ABCD
和正方 形
AEFG
有一个公共点
A,
若将正方形
AEFG
绕点A
按顺时针方向旋
转
,
连结
DG,
在旋转的过程中< br>,
你能否找到一条线段的长与线段
DG
的长始终相等
.
并说明 理由
.
_
C
_
D
_
G
_
F
_
A
_
B
E
_
四边形专题
一、填空题
1
．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是 平行四边形，学生丙说它是菱
形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图 形是
_______
正方形
- 18 -
______
．
2
．四边形
ABCD
为菱形< br>,
∠
A=60
°
,
对角线
BD
长度为
10cm
，
则此菱形的周长
40 cm
．
3
．已知正方形 的一条对角线长为
8cm
，则其面积是
____32______cm2
．< br>
4
．平行四边形
ABCD
中，
AB=6cm
，AC+BD=14cm
，则
△
AOB
的周长为
____13___
．
< br>5
．在平行四边形
ABCD
中，
∠
A=70
°
，
∠
D=____110
°
_____,
∠
B=_____110
°
_____
．
6．等腰梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
∠A=120
°
，两底分别是
15cm
和
49cm
，则等 腰梯形的腰长为
___34___
．
7
．
用一块面积为< br>450cm2
的等腰梯形彩纸做风筝，
为了牢固起见，
用竹条做梯形的对角线，
对
角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条
60 cm
．
8
．已知在平行四边形
ABCE
中
,AB =14,BC=16,
则此平行四边形的周长为
60 .
9
．
要说明一个四边形是菱形
,
可以先说明这个四边形是
平行四边形
,
再说明
有一组邻边相
等
（只需填写一种方法）
10
．把
“
直角三角形、等腰三角 形、等腰直角三角形
”
填入下列相应的空格上
.
（
1
）正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成
;
（
2
）菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成
;
（
3
）矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成
.
11
．矩形的两条对角线的夹角为
60
,
较短的边长为
12
cm
,
则对角线长为
24
cm
.
12
．已知菱形 的两条对角线长为
12
cm
和
6
cm
,
那么这个菱 形的面积为
36
cm
.
（把你认为正确的结论的序号都填上）
二、选择题
13
．给出五种图形：
①
矩形；
②
菱形；
③
等腰三角形（腰与底边不相等）
；
④
等边三角形；
⑤
平行四边形
（不含矩形、
菱形 ）
．
其中，
能用完全重合的含有
300
角的两块三角板拼成的图形是
（
C
）
A
．
②③
B
．
②③④
C
．
①③④⑤
D
．
①②③④⑤
14
．四边形
ABCD
中，∠
A
︰
∠
B
︰
∠
C
︰
∠D=2
︰
2
︰
1
︰
3
，则这个四边形是（C
）
A
．梯形
B
．等腰梯形
C
．直角梯形
D
．任意四边形
15
．
如图
19-7
，
在平行四边形
ABCD
中，
CE
是
∠
DCB
的平分 线，
F
是
AB
的中点，
AB
＝
6
，
BC
＝
4
，
则
AE
︰
EF
︰
F B
为（
B
）
D
A
．
1
︰
2
︰
3
B
．
2
︰
1
︰
3
C
C
．
3
︰
2
︰
1 D
．
3
︰
1
︰
2
16
．下列说法中错误的是（
B
．
）
·
A
．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
A
B
E
F
图
19-7
B
．两条对角线相等的四边形是矩形；
C
．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
D
．两条对角线相等的菱形是正方形．
17
．已知
ABCD
是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（
B
）
A
．
AB=CD B
．
AC=BD
C
．当
AC
⊥
BD
时，它是菱形
D
．当
∠
ABC=90
°
时，它是矩形
18．平行四边形的两邻边分别为
6
和
8
，那么其对角线应（
C
）
A
．大于
2
，
B
．小于
14
C
．大于
2
且小于
14 D
．大于
2
或小于
12
19
．下列说法中
,
错误的是
（
D
）
- 19 -
2
A
．平行四边形的对角线互相平分
B
．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C
．菱形的对角线互相垂直
D
．对角线互相垂直的四边形是菱形
20
．
一个四边形的两条对 角线互相平分
,
互相垂直且相等
,
那么这个四边形是
（
C
）
A
．
矩形
B
．菱形
C
．正方形
D
．菱形、矩形或正方形
三、解答题
21
．
如 图
19-12
，
已知四边形
ABCD
是等腰梯形，
CD/ /BA,
四边形
AEBC
是平行四边形．
请说明：
∠
ABD
＝
∠
ABE
．
D
C
B
A
E
图
19-12
22
．如图19-14
，
AD
是
△
ABC
的角平分线，
D E
∥
AC
交
AB
于点
E
，
DF
∥
AB
交
AC
于
F
．
试确定
A
AD
与
EF
的位置关系，并说明理由．
1
2
E
F
O
B
C
D
图
19-14
ABCD
23
．如图
19-19,
中
,DB= CD,
C
70
,AE
⊥
BD
于
E.
试求
DAE
的度数
.
A
D
E
B
C
图
19-19
ABCD
24
．如图
中
,G
是
CD
上一点
,BG
交
AD
延长线
E,AF=CG,
< br>DGE
- 20 -
100
.
（
1
）试说明
DF=BG;
（
2
）试求
AFD
的度数
.
E
D
G
C
A
F
B
图
19-20
25
．
.
工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行
:
（
1
）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图
19-21
①
）
,
使
AB=CD,EF=GH;
（
2
）摆放成如
图②
的四边
形
,
则这时
窗框的形状
是
形
,
根据
的数学道
理
是
: ;
（
3
）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图
③
）
,
调整窗框的边框
,
当直角尺的两条直角边与窗框
无
缝
隙
时
（
如
图
④
）
,
说
明
窗
框
合
格
,
这
时
窗
框
是
形
,
根
据
是
: .
（图
①
）
（图
②
）
（图
③
）
（
④
）
图
19-21
26
．如图
19- 22
，已知平行四边形
ABCD
，
AE
平分
∠
DA B
交
DC
于
E
，
BF
平分
∠
AB C
交
DC
于
F
，
DC=6cm
，
AD=2 cm
，求
DE
、
EF
、
FC
的长．
图
19-22
27
．
．如图
19-11,
在
ABC
中
,AB=AC=5,D
是
BC
上的点
,
DE
∥
AB
交
AC
于点
E,DF
∥
AC
交
AB
于点
F,
求四边形
AFDE
的周长。
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