台湾歌曲-进出口贸易公司

2021年2月1日发(作者：僵尸新娘国语)
重庆中考材料阅读题分类讲练（含答案）

类型
1

代数型新定义问题


例
1
【
2017·
重庆
A
】对任意一个三位数
n
，如果
n
满足各数位上的数字 互不相同，且都不
为零，
那么称这个数为
“
相异数
”
．将一个
“
相异数
”
任意两个数位上的数字对调后可以得到
三个不 同的新三位数，把这三个新三位数的和与
111
的商记为
F(n)
．例如n
＝
123
，对调
百位与十位上的数字得到
213
，对 调百位与个位上的数字得到
321
，对调十位与个位上的
数字得到
132，这三个新三位数的和为
213
＋
321
＋
132
＝< br>666
，
666÷
111
＝
6
，所以，
F( 123)
＝
6.
(1)
计算：
F(243)
，
F(617)
；
< br>(2)
若
s
，
t
都是
“
相异数
”< br>，其中
s
＝
100x
＋
32
，
t
＝
150
＋
y(1≤x≤9
，
1≤y≤9
，
x
，
y
都是正整
F
(
s
)
数
)
， 规定：
k
＝
.
当
F(s)
＋
F(t)
＝< br>18
时，求
k
的最大值．

F
(
t
)






针对训练

1
．对于一个两位正整数
xy(0≤y≤x≤9
，且
x
、
y
为正整数
)
，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做
t
的
“
平方和数
”
，把十位上的数与个 位上的数的平方差叫做
t
的
“
平方差
数
”
．例如： 对数
62
来说，
6
2
＋
2
2
＝
4 0
，
6
2
－
2
2
＝
32
，所以< br>40
和
32
就分别是
62
的
“
平方
和数
”
与
“
平方差数
”
．

(1)75< br>的
“
平方和数
”
是
________
，
5< br>可以是
________
的
“
平方差数
”
；
若一个数的
“
平方和数
”
为
10
，它的
“
平方差数
”
为
8
，则这个数是
________
．

(2)
求证：当
x≤9
，
y≤8
时，
t
的
2
倍减去
t
的
“
平方差数
”
再减去
99
所得结果也是另一个数
的
“
平方差数
”
．

(3)
将数
t
的十位上的数与个位上的数交换得到数
t′
，
若
t
与
t
的
“
平方和数
”
之和等 于
t′
与
t′
的
“
平方差数
”
之和，求< br>t.








2
．
将一个三位正整数
n
各数位上的数字重新排列后
(
含< br>n
本身
)
．
得到新三位数
abc(a
＜
c)
，
在所有重新排列中，当
|
a
＋
c
－
2b
|
最小时，我们称
abc
是
n
的
“
调和优 选数
”
，并规定
F(n)
2
|
＝
2
，|
1
＋
2
－
2×
5
|
＝
＝< br>b
2
－
ac.
例如
215
可以重新排列为
1 25
、
152
、
215
，因为
|
1
＋5
－
2×
1
|
＝
5
，
且
2< br>＜
5
＜
7
，
所以
125
是
215< br>的
“
调和优选数
”
，
F(215)
＝
22
－
1×
7
，
|
2
＋
5
－< br>2×
5
＝－
1.
(1)F(236)
＝
________
；

(2)
如果在正整数
n
三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：
F( n)
是一个完全平方数；

(3)
设三位自然数
t
＝
100x
＋
60
＋
y(1≤x≤9
，
1≤y≤9
，
x
，
y
为自然数
)
，交换其个位上的数字
与百位 上的数字得到数
t′.
若
t
－
t′
＝
693
，
那么我们称
t
为
“
和顺数
”
．
求所有
“
和顺数
”
中
F(t)
的最大值．











3
．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制
——
X
进制，就
表示某一位置上的数运算时是逢
X
进一位．
十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，
二进制就是逢二进一，以此类推，
X
进制就是逢
X
进一．为与十进制进行区分，我们常
把用
X
进制表示的数
a
写成
(a)
X
.
类比于十进制，
我们可以知道：
X进制表示的数
(1111)
X
中，
右起第一位上的
1
表 示
1×
X
0
，
第二位上的
1
表示
1×X
1
，
第三位上的
1
表示
1×
X
2< br>，
第四位上的
1
表示
1×
X
3
.
故
(1111)
X
＝
1×
X
3
＋
1×
X
2
＋
1×
X
1
＋
1×
X
0< br>，即：
(1111)
X
转化为十进制表示的数为
X
3
＋
X
2
＋
X
1
＋
X
0
.
如：
(1111)
2
＝
1×
2
3
＋
1×< br>2
2
＋
1×
2
1
＋
1×
2
0
＝
15
，
(1111)
5
＝
1×
53
＋
1×
5
2
＋
1×
5
1
＋
1×
5
0
＝
156.
根据材料，
完成
以下 问题：

(1)
把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：

(1 01011)
2
＝
________
；
(302)
4
＝
________
；
(257)
7
＝
________
(2)
若一个五进制三位数
(a4b)
5
与八进制三位数
( ba4)
8
之和能被
13
整除
(1≤a≤5
，
1≤ b≤5
，且
a
、
b
均为整数
)
，求
a的值；

(3)
若一个六进制数与一个八进制数之和为
666
， 则称这两个数互为
“
如意数
”
，试判断
(mm1)
6
与
(nn5)
8
是否互为
“
如意数
”
？若是，求 出这两个数；若不是，说明理由．




4.
我们知道，
任意一个正整数
n
都可以进行这样的分解：
n
＝
p×
q(p
，
q
是正整数，
且
p≤q)
，
在
n
的所有这种分解中，如果
p
，
q
两因数之差的绝对值最小，我们就 称
p×
q
是
n
的最佳
p
分解．
并规定：< br>F(n)
＝
.
例如
12
可以分解成
1×
12
，
2×
6
或
3×
4
，
因为
12< br>－
1
＞
6
－
2
＞
4
－
3< br>，
q
3
所以
3×
4
是
12
的最佳分 解，所以
F(12)
＝
.
4
(1)
如果一个正整数
m
是另外一个正整数
n
的平方，我们称正整数
m
是完全平方数．< br>
求证：对任意一个完全平方数
m
，总有
F(m)
＝
1. < br>(2)
如果一个两位正整数
t
，
t
＝
10x
＋
y(1≤x≤y≤9
，
x
，
y
为自然数
)
，交换其个位上的数与十
位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为
36
，
那么我们称这个数
t
为
“
吉祥
数
”
，求 所有
“
吉祥数
”
；

(3)
在
(2)所得的
“
吉祥数
”
中，求
F(t)
的最大值．




























类型
2

函数型新定义问题


例
2
已知一个大于
1的正整数
t
可以分解成
t
＝
ac
＋
b
2
的形式
(
其中
a≤c
，
a
，
b
，
c
均为正
整数
)
，在
t
的所有表示结果中，当< br>bc
－
ba
取得最小值时，称
“ac
＋
b
2
”
是
t
的
“
等比中项分
b
＋
c< br>解
”
，
此时规定：
P(t)
＝
，
例如：7
＝
1×
6
＋
1
2
＝
2×
3
＋
1
2
＝
1×
3
＋
2
2
，
1×
6
－
1×
1
＞
2×
3
2< br>（
a
＋
b
）
2
－
2×
1
＞
1×
3
－
1×
2
，所以
2×
3
＋
1
2
是
7
的
“
等比中项分解
”
，
P(7)
＝
.
3
(1)
若一个正整数
q
＝
m
2
＋
n
2
，其中
m
、
n为正整数，则称
q
为
“
伪完全平方数
”
，证明：对1
任意一个
“
伪完全平方数
”q
都有
Ρ(q)
＝
.
2
(2)
若一个两位数
s
＝
10x
＋
y(1≤y≤x≤5
，且
x
，
y
均为自然数
)< br>，交换原数十位上的数字和个
位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的
14
倍 ，
结果被
8
除余
4
，
称这样的数
s
为“
幸
福数
”
，求所有
“
幸福数
”
的< br>P(s)
的最大值．












针对训练

1.
如 果关于
x
的一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
有两个实数根，且其中一个根为另一个根
的
2
倍，则 称这样的方程为
“
倍根方程
”
，以下关于倍根方程的说法：

①方程
x
2
－
x
－
2
＝
0
是倍 根方程；

②若
(x
－
2)(mx
＋
n)
＝
0
是倍根方程，则
4m
2
＋
5mn
＋
n
2
＝
0
；

2
③若点
(p
，q)
在反比例函数
y
＝
的图象上，则关于
x
的方程px
2
＋
3x
＋
q
＝
0
是倍根方程．

x
其中正确的是
________
．
(
写出所有 正确说法的序号
)






2.
先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：
(x
＋y)
2
＋
2(x
＋
y)
＋
1.
解： 将
“x
＋
y”
看成整体，令
x
＋
y
＝A
，则原式＝
A
2
＋
2A
＋
1
＝(A
＋
1)
2
.
再将
“A”
还原，得原式＝
(x
＋
y
＋
1)
2
.
上述解题中用到的 是
“
整体思想
”
，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解
答下列问题：

(1)
因式分解：
1
＋
2(x
－
y)
＋
(x
－
y)
2
＝
________
；

(2)
因式分解：
(a
＋
b)(a
＋
b
－
4)
＋
4
＝
________
；
(3)
证明：若
n
为正整数，则式子
(n
＋
1)(n
＋
2)(n
2
＋
3n)
＋
1
的值 一定是某一个整数的平方．
















3.
若三个非零实数
x
，
y
，
z
满足： 只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，
则称这三个实数
x
，
y< br>，
z
构成
“
和谐三数组
”
．

(1 )
实数
1
，
2
，
3
可以构成
“
和 谐三数组
”
吗？请说明理由；

k
(2)
若
M(t
，
y
1
)
，
N(t
＋
1
，
y
2
)
，
R(t
＋
3
，
y
3< br>)
三点均在函数
y
＝
(k
为常数，
k≠0)
的图象上，
x
且这三点的纵坐标
y
1
，
y
2
，
y
3
构成
“
和谐三数组
”
，求实数
t
的值；

(3)
若直线
y
＝
2bx
＋2c(bc≠0)
与
x
轴交于点
A(x
1
，
0 )
，
与抛物线
y
＝
ax
2
＋
3bx
＋
3c(a≠0)
交于
B(x
2
，
y
2
)
，
C(x
3
，
y
3
)
两点．

①求证：
A
，
B
，
C
三点的横坐标
x1
，
x
2
，
x
3
构成
“
和谐 三数组
”
；

c
b
②若
a
＞
2b
＞
3c
，
x
2
＝
1
，求点
P(< br>，
)
与原点
O
的距离
OP
的取值范围．

a
a



4
．若一个整数能表示成
a< br>2
＋
b
2
(a
，
b
是整数
)
的形式，则称这个数为
“
完美数
”
．例如，
5
是
“
完美数
”
，因为
5
＝
2
2
＋
1
2
.
再如，
M
＝
x
2
＋
2xy< br>＋
2y
2
＝
(x
＋
y)
2
＋
y
2
(x
，
y
是整数
)
，所以
M
也是
“
完美数
”
．

(1)
请你再写一个小于< br>10
的
“
完美数
”
，并判断
29
是否为“
完美数
”
．

(2)
已知
S
＝x
2
＋
4y
2
＋
4x
－
12y
＋
k(x
，
y
是整数，
k
是常数
)
，要 使
S
为
“
完美数
”
，试求出符
合条件的一个
k
值，并说明理由．

(3)
如果数
m
，
n都是
“
完美数
”
，试说明
mn
也是
“
完美数
”
．














5.
若将自然 数中能被
3
整除的数，
在数轴上的对应点称为
“3
倍点
”P
，
取任意的一个
“3
倍
点
”P
，到点
P< br>距离为
1
的点所对应的数分别记为
a
，
b.
定义：若 数
K
＝
a
2
＋
b
2
－
ab
，则称
数
K
为
“
尼尔数
”
．例如：若
P
所表示的数为
3
，则
a
＝
2
，
b
＝
4
，那么
K
＝
2
2
＋
4
2－
2×
4
＝
12
；若
P
所表示的数为
12
，则
a
＝
11
，
b
＝
13
， 那么
K
＝
13
2
＋
11
2
－
13 ×
11
＝
147
，所以
12
，
147
是< br>“
尼尔数
”
．

(1)
请直接判断
6
和
39
是不是
“
尼尔数
”
，并且证明所有
“尼尔数
”
一定被
9
除余
3
；

(2)
已知两个
“
尼尔数
”
的差是
189
，求这两个“
尼尔数
”
．













类型
3

整除问题

例
3
我们知道，任意一个大于
1
的正 整数
n
都可以进行这样的分解：
n
＝
p
＋
q(p< br>、
q
是正
整数，且
p≤q)
，在
n
的所有这 种分解中，如果
p
、
q
两数的乘积最大，我们就称
p
＋q
是
n
的最佳分解．并规定在最佳分解时：
F(n)
＝
pq.
例如
6
可以分解成
1
＋
5
或
2＋
4
或
3
＋
3
，
因为
1×
5 <2×
4<3×
3
，所以
3
＋
3
是
6的最佳分解，所以
F(6)
＝
3×
3
＝
9.
(1)
求
F(11)
的值；

(2)
一个正整数， 由
N
个数字组成，若从左向右它的第一位数能被
1
整除，它的前两位数
被
2
除余
1
，前三位数被
3
除余
2
，前 四位数被
4
除余
3
，
…
，一直到前
N
位数 被
N
除余
(N
－
1)
，我们称这样的数为
“
多余数
”
．如：
236
的第一位数
“2”
能被
1
整除，
前两位数
“23”
被
2
除余
1
，< br>“236”
被
3
除余
2
，则
236
是一个< br>“
多余数
”
．若把一个小于
200
的三位
“
多余
数
”
记为
t
，
它的各位数字之和再加
1
为一个完全平方数，
请求出所有
“
多余数
”
中
F(t)< br>的最
大值．











针对训练

1.
一个正整数， 由
N
个数字组成，若从左向右它的第一位数可以被
1
整除，它的前两位
数可以被
2
整除，前三位数可以被
3
整除，
…
，一直到前
N
位数可以被
N
整除，则这样
的数叫做
“
精巧数< br>”
．如：
123
的第一位数
“1”
可以被
1
整除，前两位数
“12”
可以被
2
整除，
“123”
可以被
3
整除，则
123
是一个
“
精巧数
”
．< br>
(1)
若四位数
123k
是一个
“
精巧数
”
，求
k
的值；

(2)
若一个三位
“
精 巧数
”2ab
各位数字之和为一个完全平方数，
请求出所有满足条件的三位
“
精巧数
”
．










2.
人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间 也有相类似的关系．若两个不同的自然数
的所有真因数
(
即除了自身以外的正因数)
之和相等，我们称这两个数为
“
亲和数
”
．例如：
1 8
的正因数有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
，它的真因数之和为
1
＋
2
＋< br>3
＋
6
＋
9
＝
21
；
51
的正因
数有
1
、
3
、
17
、
51
，它的真因数之和为
1
＋
3
＋
17
＝
21
，所以称
18
和
51
为
“
亲和数
”
．数< br>还可以与动物形象地联系起来，
我们称一个两头
(
首位与末位
)
都是
1
的数为
“
两头蛇数
”
．
例
如：< br>121
、
1351
等．

(1)8
的真因数之和为< br>________
；
求证：
一个四位的
“
两头蛇数
”
与它去掉两头后得到的两位
数的
3
倍的差，能被
7
整除；< br>
(2)
一个百位上的数为
4
的五位
“
两头蛇数”
能被
16
的
“
亲和数
”
整除，若这个五位< br>“
两头蛇
数
”
的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位< br>“
两头蛇数
”
．










x
2
－
x
＋
3
3.
材料
1：将分式
拆分成一个整式与一个分式
(
分子为整数
)
的和的形式 ．

x
＋
1
x
2
－
x
＋
3
x
（
x
＋
1
）－
2
（
x
＋
1
）＋
5
x
（
x
＋
1
）2
（
x
＋
1
）
5
5
解：
＝< br>＝
－
＋
＝
x
－
2
＋
，
< br>x
＋
1
x
＋
1
x
＋
1
x< br>＋
1
x
＋
1
x
＋
1
x
2< br>－
x
＋
3
5
这样，分式
就拆分成一个整式
x
－
2
与一个分式
的和的形式．

x
＋
1< br>x
＋
1
材料
2
：已知一个能被
11
整除的个 位与百位相同的三位整数
100x
＋
10y
＋
x
，且
1≤x≤4
，
求
y
与
x
的函数关系式．

101x
＋
10y
99x
＋
11y
＋
2x
－
y
2x
－
y
解：∵
＝
＝
9x
＋
y
＋
，

11
11
11
2x
－
y
又∵
1≤x≤4
，
0≤y≤9
，∴－
7≤2x< br>－
y≤8
，还要使
为整数，

11
∴
2x
－
y
＝
0.
x
2< br>＋
6x
－
3
(1)
将分式
拆分成一个整式与一个分子 为整数的分式的和的形式，则结果为
x
－
1
_______________ ____
；

2x
2
＋
5x
－
20
(2)
已
知
整
数
x
使
分
式
的< br>值
为
整
数
，
则
满
足
条
件< br>的
整
数
x
＝
x
－
3
_______ __________
；

(3)
已知一个六位整数
20xy17< br>能被
33
整除，求满足条件的
x
，
y
的值．

4.
在任意
n(n>1
且
n
为整数
)
位 正整数
K
的首位后添加
6
得到的新数叫做
K
的
“< br>顺数
”
，
在
K
的末位前添加
6
得到的新数叫 做
K
的
“
逆数
”
．
若
K
的
“
顺数
”
与
“
逆数
”
之差能被
17整除，
称
K
是
“
最佳拍档数
”
．
比如
1324
的
“
顺数
”
为
16324
，1324
的
“
逆数
”
为
13264
，
1324
的
“
顺

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