沪教版八年级数学下知识点汇总
余年寄山水
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2021年02月01日 07:44
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沪教版八年级数学下知识点汇
总
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作者：
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日期：
2
沪科版八年级数学下知识点总结
沪科版八年级数学下知识点总结
二次根式知识点：
知识点一：
二次根式的概念
形如
（
）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以 是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但
必须注意：因为负数没有平方根，所以
等是 二次根式，而
知识点二：取值范围
，
是
为二次根式的前提条件，如
，
，
等都不是二次根式。
1.
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当
a
≧
0
时，有意义，是
二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.
二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以 当
a
﹤
0
时，
义。
知识点三：二次根式
（
注：因为二次根式
（
（
）的非负性
）
是一个非负数，
即
0
（
）
。
）表示
a
的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，
0
的
）
表示
a
的算术平方根，
也就是说，
（
没有意
算术平方根是
0
，所以非负数（
）的算术平方根是非负数，即
0
（
），这个性
质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，
如若
知识点四：二次根式（
，
则
a=0,b=0；
若
）
的性质
，
则
a=0,b=0
；
若
，
则
a=0,b=0
。
（
）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的 性质公式
也可以反过来应用：若
，则
知识点五：二次根式的性质
（
）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式
，如：
，
.
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1
、
化简
a
本身，即
2
、
3
、化简
知识点六：
时，一定要弄明白被开方数的底数
a
是 正数还是负数，
若是正数或
0
，则等于
；若
a
是负数，则等 于
a
的相反数
-a,
即
一定有意义；
时，先将它化成
与
，再根据绝对值的意义来进行化简。
；
中的
a
的取值范围可以是任意实数，即不论
a
取何值，
的异 同点
3
沪科版八年级数学下知识点总结
1
、
不同点：
而
0
，负实数。但
差别的，
.
与
与
表示的意义是不同的，
都是非负数，即
，而
时，
表示一个正数
a
的算术平方根的平方，
中
，
， 而
中
a
可以是正实数，
。因而它的运算的结果是有
表示一个实数a
的平方的算术平方根；在
2
、相同点：当被开方数都是非负数，即
=< br>；
时，
无意义，而
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
2
、√< br>3
、√
a
（
a
≥
0
）、
√
x+y
等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有 √
4
、√
9
、√
a^2
、√（
x+y
）< br>^2
、
√
x^2+2xy+y^2
等
（
3
）最终结果分母不含根号。
知识点八：二次根式的乘法和除法
1.
积的算数平方根的性质
√
ab=√
a
·√
b
（
a
≥
0
，
b< br>≥
0
）
2.
乘法法则
√
a
·√
b=
√
ab
（a
≥
0
，
b
≥
0
）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于
这两个 因式积的算术平方根。
3.
除法法则
√
a
÷√
b=
√
a
÷
b
（
a
≥
0
，
b>0
）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这
两个数商的算数平 方根。
4
沪科版八年级数学下知识点总结
4.
有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积 不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化
根式
,
也称有理化因式。
知识点九：二次根式的加法和减法
1
同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后 ，如果它们的被开方数相同，就
把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2
合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3
二次根式加减时，
可以先将二次根式化为最简二次根式，
再将被开方数相同 的
进行合并。
知识点十：二次根式的混合运算
1
确定运算顺序
2
灵活运用运算定律
3
正确使用乘法公式
4
大多数分母有理化要及时
5
在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
知识点十一：分母有理化
分母有理化有两种方法
I.
分母是单项式
如
:
√
a/
√
b=
√
a
×√
b/
√
b
×√
b=
√
ab/b
5
沪科版八年级数学下知识点总结
II.
分母是多项式
要利用平方差公式
如
1/
√
a
＋√
b=
√a
－√
b/(
√
a
＋√
b)(
√
a< br>－√
b)=
√
a
－√
b/a
－
b
如图
注意：
1.
根式中不能含有分母
2.
分母中不能含有根式。
一元二次方程知识点：
1.
一元二次方程的一般形式
:
a
≠
0
时，< br>ax
2
+bx+c=0
叫一元二次方程的一般形式，研究一
元二次方程 的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的
a
、
b
、
c
；
其中
a
、
b,
、
c
可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式
.
2.
一元二次方程的解法
:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用，
其中直接开平方法
虽然简单，但是 适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错
误；因式分解法适用范围较大，且计 算简便，是首选方法；配方法使用较少
.
3.
一元二次方程根的判别式
:
当
ax
2
+bx+c=0
(a
≠
0)
时，Δ
=b
2
-4ac
叫一元二次方程根的
判别式
.
请注意以下等价命题：
6
沪科版八年级数学下知识点总结
Δ＞
0 <=>
有两个不等的实根；
Δ
=0 <=>
有两个相等的实根；
Δ＜
0 <=>
无实根；
Δ≥
0 <=>
有两个实根（等或不等）
.
4.
一元二次方程的根系关系：
当
ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
时，如Δ≥
0
，有下列公式：
(< br>1
)
x
1
,
2
b
b< br>2
4
ac
b
；
(
2
)
x
1
x
2
，
2
a
a
x
1
x
2
c
.
a
5.
一元二次方程的解法
（
1
）
直
接开平方法
（也可以使用因式分解法）
①
x
2
a
(
a
0)
解为：
x
a
②
(
x
a
)
2
b
(
b
0)
解为：
x
a
b
③
(
ax
b
)
2
c
(
c
0)
解为：
ax
b
c
④(
ax
b
)
2
(
cx
d
)
2
(
a
c
)
解为：
ax
b
(
cx
< br>d
)
（
2
）
因
式分解法
：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：< br>ax
2
bx
0(
a
,
b
0)
x
(
ax
b
)
< br>0
此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为
0
x
2
9
0
(
x
3)(
x
3)
0
x
2
< br>3
x
0
x
(
x
3)
0
3
x
(2
x
< br>1)
5(2
x
1)
0
(3
x
5)(2
x
1)
0
x
2
6
x
9
4
(
x
3)
2
4
4
x
2
12
x
9
0< br>
(2
x
3)
2
0
x
2
4
x
12
0
(
x
6)(
x
2)
0
2
x
2
5
x
12
0
(2
x
3)(
x
4)
0
（
3
）
配
方法
①二次项的系数为“
1
”的时候：直接将一次项的系数除于
2
进行配方，如下
所示：
P
2
P
2
)
(
)
q
0
2
2
3
3
示例：
x
2
3
x
1
0< br>
(
x
)
2
(
)
2< br>
1
0
2
2
x
2
< br>Px
q
0
(
x
7
沪科版八年级数学下知识点总结
②二次项的系数不为“
1
”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：
ax
2
bx
c
0 (
a< br>
0)
a
(
x
2
b
b
b
x
)
c
0
a
(
x
)
2
a
g
(
)
2
c
0
a
2
a
2
a
b
2
b
2
b
2
b
2
4
ac
a
(
x
)
c
(
x
)
2
a
4
a
2
a
4
a
2
示例：
x< br>2
2
x
1
0
(< br>x
2
4
x
)
1
0< br>
(
x
2)
2
2
2
1
0
（
4
）
公式法：一元二次方程
ax
2
bx
c
0 (
a
0)
，用配方法将其变形为：
b
2
b
2
4
ac
(
x
)
2
a
4
a
2
1
2
1
21
2
1
2
①
当
b
2
4
ac
0
时
，
右
端
是< br>正
数
．
因
此
，
方
程
有
两< br>个
不
相
等
的
实
根
：
b< br>
b
2
4
ac
x
1,2
2
a
②
当
b
2
4
ac
0
时，右端是零．因 此，方程有两个相等的实根：
x
1,2
③
当
b
2
4
ac
0
时，右端是负数．因此，方程没有实根。
备注：公式法解方程的步骤：
b
2
a
①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：
ax
2
bx
c
0 (
a
0)
，并确定出
a
、
b
、
c
② 求出
b
2
4
ac
，并判断方程解的 情况。
b
b
2
4
ac< br>③代公式：
x
1,2
（要注意符号）
2
a
※
5
．当
ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
时，有以下等价命题：
(
以下等价关系要求会用公式
x
1
x
2
b
a
a
，
x
1
x
2
c
a
；Δ
=b
2
-4ac
分析，不要求背记
)
（
1
）两根互为相反数
b
= 0
且Δ≥
0
b = 0
且Δ≥
0
；
（
2
）两根互为倒数
c
=1
且Δ≥
0
a = c
且Δ≥
0
；
a
（
3
）只有一个零根
c
a
（
4
）有两个零根
c
a
= 0
且
b
≠
0
c = 0
且
b
≠
0
；
= 0
a
且
b
= 0
c = 0
a
且
b=0
；
8
沪科版八年级数学下知识点总结
（
5
）至少有一个零根
c
=0
c=0
；
a
（
6
）两根异号
c
＜
0
a
、
c
异号；
a
（
7
）
两根异号，
正根绝对值大于负根绝对值
c
＜
0
且
b
＞
0
a
、
c
异号且
a
、
b
异号；
< br>a
a
（
8
）
两根异号，
负根绝对值大于正根绝对值< br>
c
＜
0
且
b
＜
0
a
、
c
异号且
a
、
b
同号；
a
a
（
9
）有两个正根
c
＞
0
，
b
＞
0
且Δ≥
0
a
、
c
同号，
a
、
b
异号且Δ≥
0
；
a
a
（
10
）有两个负根
c
＞
0
，
b
＜
0
且Δ≥
0
a
、
c
同号，
a
、
b
同号且Δ≥
0.
a
a
6
．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜
0
时，二次三项式在实数范围内不能
分解
.
ax
+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)
或
ax
7
．求一元二次方程的公式：
x
2
-
（
x
1
+x
2
）
x + x
1
x
2
= 0.
注意：所求出方程的系数应化为整数
.
8
．平均增长率问题
--------
应用题的类型题之一
（设增长率为
x
）
：
(1)
第一年为
a ,
第二年为
a(1+x) ,
第三年为
a(1+x)
2
.
（
2
）常利用以下相等关系列方程：
第三年
=
第三年
或
第一年
+< br>第二年
+
第三
年
=
总和
.
9
．分式方程的解法：
两边同乘最简
验增根代入最简公分母
（或原方程的每个分母
），值
0
.
公分母
凑元，设元，
（
2
）
换元法
验增根代入原方程每个
分母，值
< br>0
.
换元
.
(
1
)
去分母法2
2
b
b
2
4ac
+bx+c=
a
x
2
a< br>
2
x
b< br>
b
4
ac
2
a
.
10.
二元二次方程组的解法：
（
1
）代入消元
法
< br>
方程组
中含有一个二元一次方
程
;
（
2
）分解降次法
方程组
中含有能分解为
（
(
1
)(
2
)
0
(
3< br>)
注意：
应
分组为
(
3
)(
4< br>)
0
（
）
）
0
的方 程
;
(
1
)
0
(
2
)
0
(
1
)
0
(
2
)
0
.
(
3
)
0
(
4
)
0
(
4
)
0
(
3
)
0
※
11
．几个常见转化：< br>
9