4,最大公因数和最小公倍数
别妄想泡我
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2021年02月01日 07:46
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第
13
讲
最大公因数和最小公倍数
【知识要点】
1.
最大公因数：
几个数公有的因数就叫做这几个数 的公因数
,
其中最大的一个就叫
做这几个数的最大公因数。数
a
和数
b
的最大公因数记作
(a,b)
。
2.
最小公倍 数：
几个数公有的倍数就叫做这几个数的公倍数
,
其中最小的一个就叫
做这几 个数的最小公倍数。数
a
和数
b
的最小公倍数记作
[a,b]
。
3.
若
a
是
b
的倍数
,
则
(a,b)=b,[a,b]=a;
若
a
与
b
为互质数,
则
(a,b)=1,[a,b]=ab
。
4.
两个数的最大公因数乘以这两个数的最小公倍数等于这两个数的乘积。
即
(a
、
b)
×
[a
、
b]
＝
a
×
b
【例题剖析】
例
1.
求
60和
75
的最大公因数和最小公倍数。
例
2.
求
72
、
84
和
18
的最 大公因数和最小公倍数。
思路点拨：用短除法分别求这三个数的最大公因数和最小公倍数。
例
3.
若
a=2
×
2
×
3,
b=2
×
3
×
5,
则
(a, b)=
？
[a,
b]=
？
思路点拔：找出< br>a
和
b
公有的质因数，便知其最大公因数；除了
a
和
b
公有的质
因数
2
和
3
之外
,
还要找出< br>a
和
b
各自独有的质因数
,
便知其最小公倍数。
例
4.
用一个数去除
53
余
5,
去除
41
也余
5,
这个数最大是多少？
思路点拨：
如果用
53
－
5
＝
48,41
－
5
＝
36,
则所得到的
48
和
36
一定 能被这个数整
除
,
即这个数就是
48
和
36
的最大 公因数。
例
5.
一个两位数< br>,
被
9
除余
7,
被
8
除余
6,被
4
除余
2,
这个两位数最小是多少？
思路点拨:
若这个两位数加上
2,
则能同时被
9
、
8
、
4
整除
,
所以只要求出
9
、
8
、
4
的最小公倍数后减去
2
即可。
【分层训练】
★
1.
20
和
24
的最大公因数是
(
),
最小公倍数是
(
)
；
2.
15
、
25
和
45
的最大公因数是
(
),
最小公倍数是
(
)
。
3.
(8
、
9)
＝
[8
、
9]
＝
(11
、
77)
＝
[11
、
77]
＝
4.
(4
、
5
、
7)
＝
[4
、
5
、
7]
＝
(5
、
15
、
30)
＝
[5
、
15
、
30]
＝
5.
已知
a=2
×
2
×
5,
b=2
×
3
×
5,
则
(a, b)=(
)[a,
b]=(
)
6.
已知甲数
=2
×
3
×
a ,
乙数
=3
×
5
×
a,
当
a=(
)
时
,
甲、乙两数的最大公因
数是
2 1;
当
a=(
)
时
,
甲、乙两数的最小公倍数是
60
。
★★
7.
一个自然数
,
去除
22
少
2,
去除
34
也少
2,
这个自然数是(
)
8.
能同时被
3
、
4
、
8
、
9
整除的最大四位数是(
)
★★★
9.
能被
2
、
3
、< br>5
除都余
1
的最小数是
(
)
10.
一个数被
2
除
1,
被
3
除
2,
被
5
除余< br>4,
这个数最小是多少？