最大公因数与最小公倍数的实际应用
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2021年02月01日 07:57
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碌碌终生-银花泌炎灵
最大公因数和最小公倍数
基础知识与实际应用
相关基础知识
几个数
公有的因数
叫做这几个数的
公因数< br>，
其中最大的一个叫做这几个数的
最大
公因数
。
几个数
公有的倍数
叫做这几个数的
公倍数
，
其中最小的一个叫做这几个
数 的
最小公倍数
。
最大公因数和最小公倍数的性质
（
1
）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（
2
）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（
3
）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是
：（
a
，
b
） ×
[a
，
b]=a
×
b
。
6
是
12
和
18
的最大公因数，记作（
12
，
18）
=6
。
36
是
12
和
18
的最小公倍数，记作
[12
，
18]=36
。
这样，< br>求两个数的最小公倍数的问题，
即可转化成先求两个数的最大公因数，
再
用最大 公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。
两个数
A
，B
，①如果
A
是
B
的倍数，那么最大公因数就是
B，最小公倍数是
A
；
②如果
AB
互质，那么最大公因 数就是
1
，最小公倍数是
A*B
；
欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。
如果（
a,b< br>）来表示
a
和
b
的最大公因数。
有定理：
已知
a,b,c
为正整数，若
a
除以
b
余
c
，则（
a,b
）
=(b,c)
。
辗转相除法
（欧几里得算法）
定义
：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数
不为零，则将余数和较小 的数构成新的一对数，继续上面的除法，
直到大数被小数除尽，则
这时较小的数就是原来两个数 的最大公因数。
步骤
：
S1
，用大数除以小数
S2
，除数变成被除数，余数变成除数
S3
，重复
S1
，直到余数为
0
时，较小的数就是原来两个数的最大公因数。
例
1
：求
15750
与
27216
的最大公因数。
解：
∵
27216=15750
×
1+11466
∴（
157 50
，
27216
）
=
（
15750
，
1 1466
）
∵
15750=11466
×
1+4284
∴（
15750
，
11466
）
=(11466 ,4284)
∵
11466=4284
×
2+2898
∴
(11466,4284)=
（
4284
，
2898
）
∵
4284=2898
×
1+1386
< br>∴（
4284
，
2898
）
=
（
2898< br>，
1386
）
∵
2898=1386
×
2+126
∴（< br>2898
，
1386
）
=
（
1386
，126
）
∵
1386=126
×
11
∴（
1386
，
126
）
=126
所以（
15750
，
27216
）
=126
例
2.
求（
1397
，
2413
）
2413=1397*1+1016
，
1397=1016*1+381
，
1016=381*2+254
，
381=254*1+127
，
254=127*2+0
，
所以（
1397
，
2413
）
=127
。
《九章算术》更相减损术找最大公因数
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的
“更相减损术”
可以用来求两个数的最大
公因数，
即
“可半者半之，
不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，
求其等也。
以等数约之。
”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判 断它们是否都是偶数。若是，则用
2
约简；若不是则
执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。
继续这个操作，直 到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个
2
与第二步中等数的乘积就是所求的最大公因数。
其中所说的“等数”
，就是最大公因数。求“等数”的办法是“更相减损”法。
例
1
、用更相减损术求
98
与
63
的最大公因数。
解：由于
63
不是偶数，把
98
和
63
以大 数减小数，并辗转相减：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，
98
和
63
的最大公因数等于
7
。
例
2
、用更相减损术求
260
和
104
的最大公因 数。
解：
由于
260
和
104
均为偶数，
首先用
2
约简得到
130
和
52
，
再用
2
约简得到
65
和
26
。
此时
65是奇数而
26
不是奇数，故把
65
和
26
辗转相减：< br>
65-26=39
39-26=13
26-13=13 所以，
260
与
104
的最大公因数等于
13
乘以第一 步中约掉的两个
2
，即
13*2*2=52
。
短除法找最大公因数与最小公倍数
短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除 数的地方写两个数共有的质因数，
然后落下两个数被公有质因数整除的商，
之后再除，以此类推 ，直到结果互质为止
（
两个数
互质，最大公因数是
1
的两个数叫互质数
，如
8
和
9
）
。
而在用短除 计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因
数的数则原样落下。直到剩下每 两个都是互质关系。
求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。
（ 公因数：如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”
；公
因数中最大 的称为最大公因数。
）
实际应用
例：
有一个 长方体的木头，长
3.25
米，宽
1.75
米，厚
0.75
米。如果把这块木
头截成许多相等的小立方体，
并使每个小立方体尽可能大，
小立方体 的棱长及个
数各是多少？
解：
根据题意，
小立方体一条 棱长应是长方体长、
宽、
厚各数的最大公因数。
即：
（
325
、
175
、
75
）
=25
（厘米）
因为
325÷25=13；
175÷25=7
；
75÷25=3
所以
13×7×3=27 3（个）或（
325
×
175
×
75
）÷（
25< br>×
25
×
25
）
=273
例：
有一个两位 数，除
50
余
2
，除
63
余
3
，除
73
余
1
。求这个两位数是多少？
解：这个两位数除
5 0
余
2
，则用他除
48
（
52
－
2
）恰好整除。也就是说，这个两
位数是
48
的因数。同理，这个两位数也是
60
、
72
的因数。所以，这个两位数只
可能是
48
、60
、
72
的公因数
1
、
2
、
3、
4
、
6
、
12
，而满足条件的只有公因数
1 2
，
即（
48
、
60
、
72
）
= 12
。
练
习
1.
新年联欢会上，< br>张老师把
42
个打气球和
30
个小气球平均分给几个小组，
正 好
分完。最多可以分给几个小组？每个小组分的大、小气球各多少个？
2.
雨辰小学五年二班有
54
人，
五年三班有
63
人，
两班决定 分小组去博物馆参观，
两班每组人数相等并且没有剩余每小组最多有多少人？每个班可以分多少个小组？
3.
同学们买了
24
朵百合花的
18
朵 玫瑰花送个老师，两种花混在一起扎成一束，
想要扎成每束百合花、
玫瑰花朵数相同，
最多扎几束？每束几朵百合花，
几朵玫
瑰花？
4.
明明有一张长< br>84
厘米，宽
60
厘米的长方形纸板，剪成边长相等的小正方形，
边长 最长是多少？可以剪几块？
解答公因数或公倍数问题的关键是：
从因数和倍数的意义 入手来分析，
把原题归
结为求几个数的公因数或公倍数问题。
例：
有三根铁丝，一根长
18
米，一根长
24
米，一根长
30
米 。现在要把它们截
成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
分 析：
截成的小段一定是
18
、
24
、
30
的最大公 因数。先求这三个数的最大公因
数，再求一共可以截成多少段。
（
18
、
24
、
30
）＝
6
（
18+24+30
）÷6＝
12
段
例：
一张长方形纸，长
60
厘米，宽
36
厘米，要把它截成同样大小 的长方形，并
使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘
米？ 能截多少个正方形？
分析：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边 长要尽可能大，
截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是
60
和
36< br>的最大公因数。
（
36
、
60
）＝
12
（60÷12）×（36÷12）＝
15
个
例：
用
96
朵红玫瑰花和
72
朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数
相同，
白玫瑰花的朵数也相同，
最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几
朵花？
分析：
要把
96
朵红玫瑰花和
72
朵白 玫瑰花做成花束，
每束花里的红白花朵数同
样多，
那么做成花束的个数一定是
96
和
72
的公因数，
又要求花束的个数要最多，
所以花束的个数应 是
96
和
72
的最大公因数。
（
1
）最多可以做多少个花束？
（
96
、
72
）＝
24
（
2
）每个花束里有几朵红玫瑰花？
96÷24＝
4
朵
（
3
）每个花束里有几朵白玫瑰花？
72÷24＝
3
朵
（
4
）每个花束里最少有几朵花？
4+3
＝
7
朵
练
习
1、
有一堆西瓜与一堆木瓜
,
分别为
24
个与
36
个
,
将其各分成若干小堆
,
各小堆的
个数要相等
,
则每小堆最多几个？这时候西瓜分成多少小堆？木瓜分成多少小
堆
？
< br>2
、甲、乙两队学生
,
甲队有
121
人
,
乙 队有
143
人
,
各分成若干组
,
各组人数要相
等< br>,
则每组最多有几人
？这时候甲队可分成多少组？
乙队可分成多少组？
3
、
今有梨
320
个,
糖果
240
个
,
饼干
200
个
,< br>将这些东西分成相同的礼品包送给儿
童
,
但包数要最多
,
则每 包有多少个梨？
有多少个糖果？
有多少个饼干？
4< br>、
有一张长
6
公分
,
宽
4
公分的长方形色纸
,
将它剪成最大的正方形而不浪费纸
,
此正方形边长为几公分
？
例：
公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一 路车每隔
5
分钟发车一次，
第
二路车每隔
10
分钟发车一次 ，第三路车每隔
6
分钟发车一次。三路汽车在同一
时间发车以后，最少过多少分钟再同 时发车？
分析：
这个时间一定是
5
的倍数、
10
的倍数、
6
的倍数，也就是说是
5
、
10
和
6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是
5
、
10
、
6的最小公倍数。
［
5
、
10
、
6
］＝
30
练
习
1
、
利用每一小块长
6< br>公分
,
宽
4
公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图
案
.
问
:
拼成的正方形的边长可能是多少？
2
、< br>王伯伯有三个小孩
,
老大
3
天回家一次
,
老二
4
天回家一次
,
老三
6
天回家一次
,
这次
10
月
1
日一起回家
,
则下一次是几月几日一起回家？
3
、
美美客运有
A,B
两种车
,A
车每
4 5
分发车一次
,B
车每
1
小时发车一次
,
两车同< br>时由上午
6
点发车
,
下一次同时发车是什麼时候
？
例：
某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完 成
3
个；第二道工序每个工人每小时可完成
12
个；第三道工序每个工人每小 时可完
成
5
个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？< br>
分析：
安排每道工序人力时，
应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件 个
数。
这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。
至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。
（
1
）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？
［
3
、
12
、
5
］＝
60
（
2
）第一道工序应安排多少人？
60÷3＝
20
人
（
3
）第二道工序应安排多少人？
60÷12＝
5
人
（
4
）第三道工序应安排多少人？
60÷5＝
12
人
例：
有一批机器零件。每
12
个放一盒，就多出
11
个；每
18
个放一盒，就少
1
个；每
15
个放一盒，就有
7
盒各多
2
个。这些零件总数 在
300
至
400
之间。这
批零件共有多少个？
分析：
每
12
个放一盒，就多出
11
个，就是说，这批零件 的个数被
12
除少
1
个；
每
18
个放一盒，就少< br>1
个，就是说，这批零件的个数被
18
除少
1
；每
1 5
个放
一盒，就有
7
盒各多
2
个，多了
2×7＝< br>14
个，应是少
1
个。也就是说，这批零
件的个数被
15除也少
1
个。
如果这批零件的个数增加
1
，恰好是< br>12
、
18
和
15
的公倍数。
①
刚好能
12
个、
18
个或
15
个放一盒的零件最少 是多少个？［
12
、
18
、
15
］＝
180
②
在
300
至
400
之间的
180的倍数是多少？
180×2＝
360
③
这批零件共有多少个？
360-1
＝
359
个
例：
有一批水果，总数在
1000
个以内。如果每
24
个装一箱，最后一箱差
2
个；
如果每
28
个装一箱，最后一箱还差
2
个；如果每
32
个装 一箱，最后一箱只有
30
个。这批水果共有多少个？
分析
：根据题 意可知，这批水果再增加
2
个后，每
24
个装一箱，每
28
个装一箱
或每
32
个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加
2
个，就正好
是
24
、
28
和
32
的公倍数 。我们可以先求出
24
、
28
和
32
的最小公倍数
672
，再
根据“总数在
1000
以内”确定水果总数。
[24
，
28
，
32]=672
672
－
2=670
（个）
即：这批水果共有
670
个。
练
习
1
，一所学校的同学排队做操，排成
14
行、
16
行、18
行都正好能成长方形，这
所学校至少有多少人？
2
，有一 批乒乓球，总数在
1000
个以内。
4
个装一袋、
5
个装一 袋或
6
个、
7
个、
8
个装一袋最后都剩下一个。这批乒乓球 到底有多少个？
3
，食堂买回一些油，用甲种桶装最后一桶少
3
千 克，用乙种桶装最后一桶只装
了半桶油，
用丙种桶装最后一桶少
7
千克。如果甲种桶每桶能装
8
千克，
乙种桶
每桶能装
10
千克 ，
丙种桶每桶能装
12
千克，
那么，
食堂至少买回多少千克油？
例题：
一盒围棋子，
4
颗
4
颗数多
3
颗，
6
颗
6
颗数多
5
颗，
15
颗
15
颗数多
14
颗，这盒棋子在
150
至
200
颗之间，问共有多少颗？
分析：
由已知条件可知：这盒棋子只要增加
1
颗，就正好是
4
、
6
、
15
的公倍数。
换句话说，这盒棋子比
4
、
6
、
15
的最小公倍数少
1
。我们可以先求
4< br>、
6
、
15
的
最小公倍数，
然后再根据
“这 盒棋子在
150
至
200
颗之间”
这一条件找出这盒棋
子数 。
4
、
6
、
15
的最小公倍数是
60
。< br>
60
×
3
－
1=179
颗，即这盒棋子共
179
颗。
练
习
1
，有一批树苗，
9
棵一捆多
7
棵，
10
棵一捆多
8
棵，< br>12
棵一捆多
10
棵。这批
树苗数在
150
至
200
之间，求共有多少棵树苗。
2
，五（
1
）班的五 十多位同学去大扫除，平均分成
4
组多
2
人，平均分成
5
组 多
3
人。请你算一算，五（
1
）班有多少位同学？
3，有一批水果，每箱放
30
个则多
20
个，每箱放
35
个则少
10
个。这批水果至
少有多少个？
例：
公路上一排 电线杆，共
25
根。每相邻两根间的距离原来都是
45
米，现在要
改 成
60
米，可以有几根不需要移动？
分析：
不需要移动的电线杆， 一定既是
45
的倍数又是
60
的倍数。要先求
45
和
60
的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。
①
从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？
［
45
、
60
］
＝
180
（米）
②
公路全长多少米？
45×（
25-1
）＝
1080
（米）
③
可以有几根不需要移动？
1080÷180+1＝
7
（根）
例：
从学校到少年宫的 这段公路上，一共有
37
根电线杆，原来每两根电线杆之
间相距
50
米，
现在要改成每两根之间相距
60
米，
除两端两根不需移动外，
中 途
还有多少根不必移动？
分析：
从学校到少年宫的这段路长
50< br>×（
37
－
1
）
=1800
米，从路的一端开始，< br>是
50
和
60
的公倍数处的那一根就不必移动。
因为
50
和
60
的最小公倍数是
300
，
所以，从第一根开始， 每隔
300
米就有一根不必移动。
1800
÷
300=6
， 就是
6
根
不必移动。去掉最后一根，中途共有
5
根不必移动。
练
习
1
，插一排红旗共
26< br>面。原来每两面之间的距离是
4
米，现在改为
5
米。如果起
点 一面不移动，还可以有几面不移动？
2
，一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是
90
米。原来每隔
2
米植一棵树，
由于小树长大了，
必须改 为每隔
5
米植一棵。
如果两端不算，
中间有几棵不必移
动？
3
，
学校开运动会，
在
400
米环形跑道边每隔
1 6
米插一面彩旗，
一共插了
25
面。
后来增加了一些彩旗，
就把彩旗间隔缩短了，
起点彩旗不动，
重新插完后发现一
共有
5
面彩 旗没动。问：现在彩旗的间隔是多少米？
例：
甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同 天数到图书馆去一次。甲
3
天
去一次，乙
4
天去一次，丙
5
天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆
相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
分析：
从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，
相隔的天数应该是
3
、
4
、
5
的最小公倍数。因为
3
、4
、
5
的最小公倍数是
60
，所以至少再过
60
天他们三人又在图书馆相会。
练
习
1
、
1
路、
2
路和
5
路车都从东站发车，
1
路车每隔
10
分钟发一辆，
2
路车
每隔
15
分钟发 一辆，而
5
路车每隔
20
分钟发一辆。当这三种路线的车同
时发车后 ，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？
2
、甲、乙、丙从同一起点出发 沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用
120
秒，乙跑一圈用
80
秒，丙 跑一圈用
100
秒。问：再过多少时间三人第
二次同时从起点出发？
3
、五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每
6
天去看
一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同
一天去看张爷爷，那么，再过 多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷
爷家？
例：
一块砖长
20
厘米，宽
12
厘米，厚
6
厘米。要堆成正方体至少需要这
样的砖头多少块？
分析
：把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公
倍 数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小
公倍数，求出正方体棱长后，再根 据正方体与长方体体积之间的关系就能
求出长方体砖的块数。
练
习
1
、用长
9
厘米、宽
6
厘米、高< br>7
厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少
需要用这样的长方体多少块？
< br>2
、有
200
块长
6
厘米、宽
4
厘米、高< br>3
厘米的长方体木块，要把这些木块
堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多 少立方厘米？
3
、一个长方体长
2.7
米、宽
1.8< br>分米、高
1.5
分米，要把它切成大小相等
的正方体小块，不许有剩余，这些小 正方体的棱长最多是多少分米？
例：
甲每秒跑
3
米，乙每秒跑< br>4
米，丙每秒跑
2
米，三人沿
600
米的环形
跑道从 同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出
发？
分析：
甲跑一圈需要
600÷3=200
秒，乙跑一圈需要
600÷4=150
秒 ，丙跑
一圈需要
600÷2=300
秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间 一
定是
200
、
150
和
300
的最小公倍数。< br>200
、
150
和
300
的最小公倍数是
600，
所以，经过
600
秒后三人又同时从出发点出发。
练
习
1
、有一条长
400
米的环形 跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，
1
分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向 而行，则
10
分钟后第一次
相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。
2
、一环形跑道长
240
米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行
8
米，乙每秒行
6
米，丙每秒行
5
米。至少经过几分钟，三人再次 从原出发
点同时出发？
3
、甲、乙、丙三人在一条长
240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑
4
米，乙
每秒跑
5
米，丙每秒跑
3
米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三
人又从此处同时出发？
< br>例：
有一个自然数，被
10
除余
7
，被
7
除 余
4
，被
4
除余
1
。这个自然数最小是
多少？
分析：
根据已知条件可知，假如把这个自然数增加
3
，所得的数就正好能被
10
、
7
和
4
这三个数整除，即< br>10
、
7
和
4
的最小公倍数，然后再减去
3
就能得到所求
的数了。所以这个自然数最小是
137
。
练
习
1
、学校六年级有若干个同学排队做操，如果
3
人一行 余
2
人，
7
人一行余
2
人，
11
人一行也 余
2
人。六年级最少多少人？
2
、一个数能被
3
、
5
、
7
整除，但被
11
除余
1
。这个数 最小是多少？
3
、一袋糖，平均分给
15
个小朋友或
20
个小朋友后，最后都余下
5
块。这袋糖
至少有多少块？
例 ：
在一根长木棍上用红、黄、蓝三种颜色做标记，分别将木棍平均分成了
10
等份、< br>12
等份和
15
等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析
因为
10
、
12
和< br>15
的最小公倍数是
60
，所以，设这根木棍长
60
厘米。三
种颜色的标记分别把木棍分成的小段长是
60
÷
10=
厘米，
60
÷
12=5
厘米，
60
÷
15=4
厘米。因 为
5
和
6
的最小公倍数是
30
，所以红黄两种标记重复的地 方有
60
÷
30
－
1=1
处，另两种情况分别有
2
处和
4
处。因此，木棍总共被锯成（
10
＋
12
＋
15
－
2
）－
1
－
2
－
4=28
段。
练
习
1
，
用红笔在一 根木棍上做了三次记号，
第一次把木棍分成
12
等份，
第二次把棍
分 成
15
等份，
第三次把木棍分成
20
等份，
然后沿着这些红 记号把木棍锯开，
一
共锯成多少小段？
2
，父子二人在雪地散步， 父亲在前，每步
80
厘米，儿子在后，每步
60
厘米。
在
1 20
米内一共留下多少个脚印？
3
，在
96
米长的距离内 挂红、绿、黄三种颜色的气球，绿气球每隔
6
米挂一个，
黄气球每隔
4
米挂一个，
。如果绿气球和黄气球重叠的地方就改挂一个红气球，
那么，除两端外，中间挂有 多少个红气球？
3.
五（
1
）班学生参加跳绳比赛， 进行分组。按每组
6
人或每组
8
人，都能恰好
分成若干组，参加跳绳 比赛的至少有多少人？
解答：
[6
，
8]=24
所以参加跳绳比赛的学生至少有
24
人。
4.
把
47
根跳绳和
36
个毽子分别平均分给一个组的同学，结果跳绳剩
2
根，毽
子剩
1
个，你知道这个组最多有几名同学吗？
解答：
（
45
，
35
）
=5
所以这个组最多有
5
名同学。
5.
一条
72< br>米长的路，原来从一端起，每隔
9
米有一盏路灯。现在重新安装，要
从一端起每 隔
6
米装一盏。
为节省施工成本，
有些位置的路灯是不需要重新安装
的。不需要重新安装的路灯至少有多少盏？
解答：
[6
，
9]=18
；
0
，
18
、
36
、
54
、
72
答：不需要重新安装的灯至少有
5
盏。
6.
五（
1
）班学生数不超过
50
人，小组合作学习时，根据教学内容不同可以分
为 每组
3
人，每组
4
人，每组
6
人，每组
8
人，各种分法都刚好分完。这个班可
能有学生（
24
）人或（
48
）人。
解答：
[3
，
4
，
6
，
8]=24
所以这个班可能有学生
24
或
48
人。
练
习
1
、
24
的因数共有多少个？< br>36
的因数共有多少个？
24
和
36
的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：
24
的因数共有
8
个，36
的因数共有
9
个，
24
和
36
的公因数是
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
。其中最大的一个是
12
。
2
、
一 个长方形的面积是
323
平方厘米，
这个长方形的长和宽各是多少厘米？
（长
和宽都是素数）
答：长方形的长是
19
厘米，宽是
17
厘米。
3
、两个自然数的乘积是
420
，它们的最大公因数是
12
，求它们的 最小公倍数。
答：它们的最小公倍数是
35
。
4
、两个自然数相乘的积是
960
，它们的最大公因数是
8
，这两个数各是多 少？
答：这两个数分别是
24
和
40
。
5
、两个数的最小公倍数是
126
，最大公因数是
6
，已知两个数 中的一个数是
18
，
求另一个数。
答：另一个数是
42
。
6
、有一种长
51
厘米，宽
39
厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，
至少需要多少块水泥 板？
答：至少需要
221
块水泥板。
7
、有三 根铁丝长度分别为
120
厘米、
90
厘米、
150
厘米，现 在要把它们截成相
等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长
30
厘米，一共可以截成
12
段。
8
、有两个不同的自然数，它们的和是
48
，它们的最大公因数是
6
，求这两个数。
答：这两个数是
42
和
6
或
18
和
30
。
9
、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果 每人分得
3
个碗或
4
个碗或
5
个
碗，都正好分完， 这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有
60
个。
10
、有
A
、
B
两个两位数，它们的最大公因数是
6
， 最小公倍数是
90
，则
A
、
B
两个自然数的和是多少？
答：
A
、
B
两个自然数的和是
48
。
< br>例：
两个数的最大公因数是
15
，
最小公倍数是
90
，
求这两个数分别是多少？
分析
：根据“
两个数的最大公因数与 最小公倍数的乘积等于这两个数的乘
积
”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数，
且这两个数一
定是最大公因数的倍数，这两个数除以最大公因数得到的商互素
。根据题
意：
当
a1b1
分别是
1
和
6
时，
a
、
b
分别为
15×1=15，
15
×6=90；当
a1b1
分别是
2
和
3
时，
a
、
b
分别为
15×2=30，15×3=45。所以，这两个数是
15
和
90
或者
30
和
45
。
练
习
1
、两个数的最大公因数是
9
，最小公倍数是
90
，求这两个数分别是多少？
2
、
两 个数的最大公因数是
12
，
最小公倍数是
60
，
求这两个数 的和是多少？
3
、两个数的最大公因数是
60
，最小公倍数是< br>720
，其中一个数是
180
，另
一个数是多少？