示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 12:44
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麻利-蛐蟮
示例三︰运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数
一、课题基本资料
学习范畴：
数与代数
学习重点：
运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。学生不须认识其原理。
已有知识：
1.
学生已在
2000
年版小学数 学课程学习单位
4N5
「公倍数和公因数」中，
学会透过列举两个数的倍数，求该两个 数的公倍数及最小公倍数；以及
透过列出两个数的因数求该两个数的公因数及最大公因数。
学生 已认识
最大公因数和最小公倍数简称分别为
“H.C.F.”
和
“L.C.M .”
。
2.
另外，学生已在
2000
年版小学 数学课程学习单位
4N2
「除法（二）
」中
认识整除性，除数为
2< br>、
5
和
10
。
3.
学生在初中 数学修订课程学习单位
1
「基础计算」的学习重点
1.1
中，
认识< br>4
、
6
、
8
和
9
的整除性判别方法。
4.
学生亦应已透过过渡期学与教材料，学习
3
的整除性判别方法。
5.
学生在初中数学修订课程学习单位
1
「基础计算」的学习重点
1.3
中，
认识正整数的质因数分解。
［备注：
部分学生 可能在小学阶段曾经学习运用短除法求两个数的最大公因
数和最小公倍数。
］
教师可把此课题融入初中数学修订课程学习重点
1.4
「求最大公因数和最小公
倍数 」的教学当中，教师亦可在其他合适地方引入此课题。
规划建议：
二、建议教学内容
1.
教师可与学生重温小学阶段所学的列举法。
例
1：运用列举法，求
12
和
18
的最大公因数。
首先由 小至大，列举
12
和
18
的所有因数，并圈出
12
和
18
的所有公因数。
1
○
2
○
3
4
○
6
12
12
的因数：
○
1
○
2
○
3
○
6
9
18
18
的因数：
○
从圈出的公因数中，可见
6
是
12
和
18
的最大公因数。
例
2：运用列举法，求
12
和
18
的最小公倍数。
首先由 小至大，列举
12
和
18
的首几个倍数，并圈出
12
和18
的公倍数。
36
48
60
○
72
……
12
的倍数：
12
24
○
36
54
○
72
……
18
的倍数：
18
○
从圈出的公倍数中，可见
36
是
12
和
18
的最小公倍数。
2.
教师可与学生讨论上述列举法的优点和缺点，从而引入短除法。
3.
教师与学生进行以下活动，探究如何运用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数。
探究活动：
1.
运用整除性判别法，列出
30
和
42
的所有质数公因数
（即同时为质数的公因数）< br>。
猜想
30
和
42
的最大公因数是甚么。
2.
进入网页。输入数值
a = 30
，
b = 42
，向右拉动红色滑杆一下，如下图。
图中用橙色圈着的数
2
与
30
、
42
有甚么关系？
_________________
图中两对数
15
、
21
和
30
、
4 2
有甚么关系？
__________________
3.
再次向右拉动红色滑杆一下，如下图。
图中用绿色圈着的数
3
与
15
、
21
有甚么关系？
_________ _____
4.
30
和
42
同时除以质数公因数
____
和
____
后，得到用蓝色圈着的数
____
和
____
。
由此可见，
____
____ = _____
是
30
和
42
的其中一个公因数。
用蓝色圈着的数
____
和
____
还有质数公因数吗？
_______
我们有可能找到一个更大的
3 0
和
42
的公因数吗？（可能／不可能）
5.
尝试点选上图中的最大公因数
(HCF)
的勾选框，
30
和
42
的最大公因数
= ____________
= ________
。
6.
尝试点选上图中的最小公倍数
(LCM)
的勾选框，
30
和
42
的最小公倍数
= ____________
= ________
。
7.
与同学讨论网 页如何得到
30
和
42
的最大公因数及最小公倍数。
8.
利用上述网页，尝试找出其他两个数的最大公因数和最小公倍数。
参考答案
1.
30
和
42
的质数公因数为
2
和
3
。
30
和
42
的最 大公因数是
2
3 = 6
。
2.
用橙色圈着的数
2
是
30
和
42
的质数公因数。
15
和
21
是
30
和
42
分别被
2
除的结果
（商）
。
3.
用绿色圈着的数
3< br>是
15
和
21
的质数公因数。
4.
30
和
42
同时除以质数公因数
2
和
3
后，得到用蓝色圈着的数
5
和
7
。
由此可见，
2
3 = 6
是
30
和
42
的其中一个公因数。
用蓝色圈着的数
5
和
7
还有质数公因数吗？
没有。
我们不可能找到一个比
6
更大 的
30
和
42
的公因数。
5.
30
和
42
的最大公因数
=
2
3 = 6
。
6.
30
和
42
的最小公倍数
=
2
3
5
7 = 210
。