摇滚歌曲-员工安全培训

2021年2月1日发(作者：陈慧琳的儿子)
最大公约数和最小公倍数

一、基本概念和知识

1
、公约数和最大公约数

几个公有的因数叫这几个数的公因数，
其 中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因
数。我们可以把自然数
a
、
b< br>的最大公因数记作（
a
、
b
）
，如果（
a
、
b
）
=1
，则
a
、
b
互质。

2
、公倍数和最小公倍数


几个数公有的倍数叫做这几个数的 公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最
小公倍数。自然数
a
、
b
的最小公倍数可以记作〔
a
、
b
〕
，当（
a
、
b
）
=1
时，
〔
a
、
b
〕< br>=a
×
b
。
3
、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关 系：

最大公因数×最小公倍数
=
两数的积


即 （
a
、
b
）×〔
a
、
b
〕
= a
×
b
二、方法篇

短除法（最大公约数）

（
1
）必须每次都用
n
个数的公约数去除；

（< br>2
）一直除到
n
个数的商互质（但不一定两两互质）
；

（
3
）
n
个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

短除法（最小公倍数）

（
1
）必须先用（如果有）
n个数的公约数去除，除到
n
个数没有除去
1
以外的公约数后，
在 用
n

1
个数的公约数去除，除到
n

1
个数没有除
1
以外的公约数后，再用
n

2
个数的
公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；

（
2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到
n
个数的商两两互质为止；

（
3
）
n
个数的最小公倍数即为短除式中 ，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

辗转相除法（最大公约数）

设两 数为
a
、
b(a>b
）
，求
a
和
b
最大公约数
(a
，
b
）的步骤如下：用
b
除
a< br>，得
a
÷
b=q......r1(0
≤
r1
）。
若
r1=0
，
则
（
a
，
b)=b< br>；
若
r1
≠
0
，
则再用
r1
除b
，
得
b
÷
r1=q......r2
(0
≤
r2
）
.
若
r2=0
，则（
a
，
b)=r1
，若
r2
≠
0
，则继续用
r2
除r1
，……如此下去，直到能整
除为止。其最后一个非零除数即为（
a
，
b
）
。


PS:
求几个数的的最大公因数可以用
列举法
、
分解质因数法
、
断除法、辗转相除法
等方法。
三、例题全解

例
1
、
求
2520
、
14850
、
819
的最大公约数和最小公倍数。
（用因数分解法 ）



1
/
6
例
2
、< br>求
36
、
108
、
126
的最大公约数和最小公倍数 。
（用短除法）




例
3
、
用辗转相除法求
4811
和
1981
的最大公约数。




试一试

1
、求
35
、
98
、
112
的最大公约数和最小公倍数。
（用因数分解法）




2
、求
403
、
527
、
7 13
的最大公约数和最小公倍数。
（用短除法）



< br>3
、用辗转相除法求
2597
和
7049
的最大公约数。



例
4
、
有一位男同学要整理三种厚度 分别为
30
毫米、
24
毫米和
18
毫米的一堆书，
他只能将
厚度相同的书叠在一起，
叠成高度一样的三叠，
使书得高度尽可能小。
这样的整理共用了多
少本书？




试一试

1
、
甲、
乙、
丙三人到图书馆去借书，
甲每
6天去一次，
乙每
8
天去一次，
丙每
9
天去一次，
如果
3
月
5
日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是

月

日。




2
/
6
例
5
、
有三根铁丝，
长度分别是
120
厘米、
180
厘米和
300
厘米
.
现在要把 它们截成相等的小
段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？




例
6
、

加工某种机器零件，要经 过三道工序
.
第一道工序每个工人每小时可完成
3
个零件，
第二道工 序每个工人每小时可完成
10
个，第三道工序每个工人每小时可完成
5
个，要 使加
工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？




例
7
、
一次会餐供有三种饮料
.
餐后统计，三种饮料共用了
65
瓶；平均每
2
个人饮用一瓶
A
饮料，每
3
人饮 用一瓶
B
饮料，每
4
人饮用一瓶
C
饮料
.
问参加会餐的人数是多少人？




例
8
、设
a=36
，
b=54
，证明（
a
，
b
）×
[a
，
b]=a
×
b
。




例
9
、
两个数的最大公约数是
4
， 最小公倍数是
252
，其中一个数是
28
，另一个数是多少？




试一试

1
、设
a=108
，
b=720
，证明（
a
，
b
）×
[a
，
b]=a
×
b
。




例< br>10
、
现有
4
个自然数，它们的和是
1111,
。如 果要使这
4
个数的公约数尽可能大，那么，
这
4
个数的公约数最大是 多少？。


3
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