相濡以沫什么意思啊-教师名言

2021年2月1日发(作者：基石)
2
0
1
1
年
考
研
数
学
三
真
题

一、选择题（
1
8
小题，每小题
4
分，共
32
分。下列媒体给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 。
）

(1)
已知当
(A)
(C)
【答案】
C
。

【解析】

【方法一】






(
洛必达法则
)




(
洛必达法则
)




(


由此得
。

)
时，
与
是等价无穷小，则




















(B)

















(D)
【方法二】

由泰勒公式知



则








故
【方法三】

。






故

综上所述，本题正确答案是
C
。

【考点】高等数学—函数、极限、 连续—无穷小量的性质及无穷
小量的比较，极限的四则运算

高等数学—一元函数微分学—洛必达
(L'Hospital)
法则

(2)
已知
(A)
(C)
在
处可导，且
,
则




















(B)





















(D)0
【答案】
B
。

【解析】

【方法一】加项减项凑
处导数定义




【方法二】拆项用导数定义


由于
，由导数定义知


所以

,
则

【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数

而对于
(B)
【方法四】由于
在
处可导，则



,
显然选项
(A)(C)(D)
都是错误的，故应选











综上所述，本题正确答案是
B
。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数

和微分的四则运算

(3)
设
(A)
若
(B)若
(C)
若
(D)
若
【答案】
A
。

【解析】

若
收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛

收敛，则
收敛，则
是数列，则下列命题正确的是

收敛，则
收敛，则
收敛。

收敛。

收敛。

收敛。

综上所述，本题正确答案是
A
。

【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条
件

(4)
设
关系为

(A)
(C)


















(B)


















(D)


,
则
的大小
【答案】
B
。

【解析】

同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大
小，

由于当
又因为
为
时，
上的单调增函数，所以





,
故
即



综上所述，本题正确答案是
B
。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质

(5)
设< br>为
3
阶矩阵，将
第
2
列加到第
1
列得矩阵< br>,
再交换
的第
2
行和第
3
行得单位矩阵，记

(A)
(C)






















(B)






















(D)


,
,
则
【答案】
D
。

【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题

矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初
等矩阵

按题意
从而
所以
，
，
从而



【
考点
】
线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵

(6)
设
为
矩阵，
是非齐次线性方程组
的通解为

的
3
个线性
无关的解，
为任意常数，则
(A)
(C )
(D)
【答案】
C
。

【解析】

因为
那么
从而


显然
由于
又











(B)



是非齐次线性方程组
是




即
，因此

的
3
个线性无关的解，

的
2
个线性无关的解。


知
(A),(B)
均不正确。

，
所以
是方程组
的解

综上所述，本题正确答案是
C
。

【考点】线性代数—线性方程组— 非齐次线性方程组的解与相应
的齐次线性方程组
(
导出组
)
的解之间 的关系，非齐次线性方程组
的通解

(7)
设
与
为两个分布 函数，
其对应的概率密度
与
是连续函数，则必为概率密度的是

(A)
(C)
【答案】
D
。

【解析】

判断函数
是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：


















(B)

















(D)


(1)
满足是概率密度的充要条件

和

或者
与
,
而
为分布函数

也是分布函
(2)
由于
数，而

为两个分布函数，显然

综上所述，本题正确答案是
D
。

【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分
布函数的概念及其性质，连续型 随机变量的概率密度

(8)
设总体
的服从参数为
的泊松分布，和
为
来自该总体的简单随机样本，则对于统计量
,
有

(A)
(C)
【答案】
D
。

【解析】

,
所以，
可求得
而
所以
，


,








(B)







(D)


相互独立均服从

综上所述，本题正确答案是
D
。

【考点】概率论与数理统计—数理 统计的概念—常见随机变量的
分布，总体个体，简单随机样本

二、填空题（
9
14
小题，每小题
4
分，共
24
分。
）

(9)
设
【答案】
【解析】



综上所述，本题正确答案是
。

,
则
。









。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的四则运算

(10)
设函数
【答案】
【解析】由
，可得

,
则








。

。







所以

综上所述，本题正确答案是
。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—多元函数偏导数的概念
与计算

(11)
曲线
【答案】
【解析】

方程
=





两端对
求导得


将
代入上式，


。

=
在点
处的切线方程为








。

故所求切线方程为
【考点】高等数学— 一元函数微分学—复合函数、反函数和隐函
数的微分法，平面曲线的切线与法线

(1 2)
曲线
直线
及
轴所围成的平面图形绕
轴旋转所
成的旋转体 的体积为








。

【答案】

【解析】

由旋转体公式得


综上所述，本题正确答案是
。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用

(13)
设二次型
则
在正交变换
【答案】
【解析】

的各行元素之和为
3
，即



的秩为
1
，
的各行元素之和为
3
，
下的标准形为








。


所以
是
的一个特征值。

的秩为
1

。

是
的
2
重特征值。

再由二次型因此正交变换下标准形为
综上所述，本题正确答案是
【考点】线性代数—二次型—二次型的 秩，用正交变换和配方法
化二次型为标准形

(14)
设二维随机变量








。

【答案】
【解析】

服从正态分布
所以
与
相互独立，且


。

服从正态分布
，则

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