鸵鸟图片-急中生智

2021年2月1日发(作者：春风吻上我的脸)
.














三角形等高模型与鸟头模型

模型二

鸟头模型



两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面 积比等于对应角
(
相等角或互补角
)
两夹边的乘积之比．


如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点如图

⑴
(
或
D在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上如图
2)
，

则
S
△
ABC
:
S
△< br>ADE

(
AB

AC
)
:
(AD

AE
)

D
A
A
D
E
E
B

图
⑴

图
⑵

C
B
C


【例
1
】

如图在
△
ABC
中，
D
,
E
分别是
AB
,
AC
上的点，且
AD
:
AB

2:5< br>，
AE
:
AC

4:7
，
S
△ADE

16
平方
厘米，求
△
ABC
的面积．

A
A
D
E
D
E
B
C
B

【解析】

连
接
BE
，
S
△
AD E
:
S
△
ABE

AD
:
AB

2
:5

(2

4)
:
(5
< br>4)
，

C

S
△
ABE
:
S
△
ABC

AE
:
AC

4
:
7

(4

5)
:
(7

5)
，所以
S
△
ADE
:
S
△
ABC

(2

4)
:
(7

5)
，设
S
△
ADE

8
份，
则
S
△
AB C

35
份，
S
△
ADE

16
平方厘米，所以
1
份是
2
平方厘米，
35
份就是
7 0
平方厘米，
△
ABC
的
面积是
70
平方厘米．< br>由此我们得到一个重要的定理，
共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角
(< br>相
等角或互补角
)
两夹边的乘积之比

．




【巩固】如图，三角形
ABC
中，
AB
是AD
的
5
倍，
AC
是
AE
的
3
倍，如果三角形
ADE
的面积等于
1
，那么
.
.
三角形
ABC
的面积是多少？

A
A
D
E
D
E
C

B
B
C

【解析】

连
接
BE
．

∵
EC

3
AE

∴
S
VABC

3
S
V
ABE

又∵
AB

5
AD

∴
S
VADE

S
V
ABE

5

S
V
ABC

15
，∴
S
V
ABC
15
S
V
ADE

15
．


【巩固】如图，三角形
ABC
被分成了甲
(
阴影部分
)
、 乙两部分，
BD

DC

4
，
BE
3
，
AE

6
，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
A
A
E
B
甲
D
E
乙
C【解析】

连
接
AD
．

∵
BE

3
，
AE

6

∴
AB

3
BE
，
S
V
ABD

3
S
V
BDE

又∵
BD

DC

4
，

∴S
V
ABC

2
S
V
ABD
，∴S
V
ABC

6
S
V
BDE
，
S
乙

5
S
甲
．


B
甲
D
乙
C


【例
2
】

如图在
△
ABC
中，
D
在
BA
的延长线上，
E
在
AC
上，且
AB
:
AD

5:
2
，

AE
:
EC

3:
2
，
S
△
ADE

12
平方 厘米，求
△
ABC
的面积．

D
D
A
A
E
B
C
B
E


【解析】

连
接
BE
，
S
△< br>ADE
:
S
△
ABE

AD
:
AB

2
:5

(2

3)
:
(5< br>
3)

S
△
ABE
:
S
△
ABC

AE
:
AC

3:
(3

2)

(3

5)
:

(3

2)

5
，

C
所以
S
△
ADE
:
S
△
ABC

(3

2)
:

5

(3

2)


6
:
25，设
S
△
ADE

6
份，则
S
△ABC

25
份，
S
△
ADE

12
平方厘
米，所以
1
份是
2
平方厘米，
25
份就是
50
平方厘米，
△
ABC
的面积是
50
平方 厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角
(
相 等角或互补角
)
两夹边的乘积之比




【例
3
】

如图所示，在平行四边形
ABCD
中 ，
E
为
AB
的中点，
AF

2
CF
，三角形
AFE
(
图中阴影部分
)
的面积
为
8< br>平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

D
C
F
B
E

【解析】

连接
FB
．三角形
AFB
面积是三角形
CFB
面积的2
倍，而三角形
AFB
面积是三角形
AEF
面积的
2< br>倍，
.
A
.
所以三角形
ABC
面积是三角形AEF
面积的
3
倍；
又因为平行四边形的面积是三角形
ABC< br>面积的
2
倍，
所以平行四边形的面积是三角形
AFE
面积的< br>（
3

2
）

6
倍．因此，平行四边形的面 积为
8

6

48
(
平
方厘米
)
．


【例
4
】

已知
△DEF
的面积为
7
平方厘米，
BE

CE
,< br>AD

2
BD
,
CF

3
AF，求
△
ABC
的面积．

A
F
D
B
E
C
【解析】

S
△
BDE
:
S
△
ABC

< br>(
BD

BE
)
:
(
BA

BC
)

(1

1)
:
(2

3)

1:
6
，
S
△
CEF
:
S
△
ABC

(
CE

CF
)
:< br>(
CB

CA
)

(1

3):
(2

4)

3:8
S
△
ADF< br>:
S
△
ABC

(
AD

AF)
:
(
AB

AC
)

(2

1)
:
(3

4)

1:
6

设
S
△
ABC

24
份，
则
S< br>△
BDE

4
份，
S
△
ADF
< br>4
份，
S
△
CEF

9
份，
S△
DEF

24

4

4

9

7
份，
恰好是
7
平方厘米，所以
S
△
ABC

24
平方厘米


【例
5
】

如图，三角形
ABC
的面积为
3
平方厘米， 其中
AB
:
BE

2:5
，
BC
:
CD

3:
2
，三角形
BDE
的面积
是多少？< br>
A
B
C
D
E
A
B
C
D< br>E

【解析】

由
于

ABC
< br>
DBE

180

，所以可以用共角定理，设
AB

2
份，
BC

3
份，则
BE

5
份，

BD

3

2

5
份，由共角定理
S
△
ABC
:
S
△< br>BDE

(
AB

BC
)
:
(BE

BD
)

(2

3)
:
(5

5)

6
:
25
，设
S
△
ABC

6
份，恰好是
3
平方厘米，所以
1份是
0.5
平方厘米，
25
份就是
25

0. 5

12.5
平方厘米，三角
形
BDE
的面积是
1 2.5
平方厘米


【例
6
】

(2007
年”
走美”
五年级初赛试题
)
如图所示，
正方 形
ABCD
边长为
6
厘米，
AE

角形
D EF
的面积为
_______
平方厘米．

D
A
1
1
三
AC
，
CF

BC
．
33
E
C

F
1
1
2
【解析】

由
题意知
AE

AC
、
CF

B C
，可得
CE

AC
．根据”共角定理”可得，

3
3
3
S
△
CEF
:
S
△
ABC

(
CF

CE
)
:
(
CB
AC
)


1

2

:< br>(3

3)

2
:
9
；而
S
△
ABC

6

6

2

18
；所以
S
△
CEF

4
；
B
同理 得，
S
△
CDE
:
S
△
ACD

2
:3
;
，
S
△
CDE

18

3

2

12
，
S
△
CDF
6

故
S
△
DEF

S
△
CEF

S
△
DEC

S
△
DF C

4

12

6

10
(平方厘米
)
．


【例
7
】
如图，已知三角形
ABC
面积为
1
，延长
AB
至
D
，使
BD

AB
；延长
BC
至
E，使
CE

2
BC
；延长
CA
至
F< br>，使
AF

3
AC
，求三角形
DEF
的面积 ．

.

鸵鸟图片-急中生智

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