几何五大模型之五(燕尾定理).
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2021年02月01日 20:15
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燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形
ABC
中，
AD
，
BE
，
CF< br>相交于同一点
O
，
那么，
S
ABO
:
S
ACO
BD
:
DC
A
E
O
B
F
D
C
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为
ABO
和
< br>ACO
的形状很象燕子的尾巴，所
以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中 都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于
任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应 底边之间提供互相联系的途径
.
通过一道例题
证明燕尾定理：
如右图，
D
是
BC
上任意一点，请你说明：
S
1
:
S
4
S
2
:
S
3
BD
:
DC
AS
2
E
S
3
B
S
1
S
4D
C
【解析】
三
角形
BED
与三 角形
CED
同高，分别以
BD
、
DC
为底，所以有
S
1
:
S
4
BD
:
DC
；
三角形
ABE
与三角形
EBD
同高，
S
1< br>:
S
2
ED
:
EA
；
三角形
ACE
与三角形
CED
同高，
S
4
:
S
3
ED
:
EA
，所以
S
1
:
S
4
S
2
:
S
3
；
综上可得，
S
1
:
S
4
< br>S
2
:
S
3
BD
:
DC
.
【例
1
】
（2009
年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形
ABC
的面积是
1
，
E
是
AC
的中点，点
D
在
BC
上，且
BD
:
DC
1:
2
，
AD与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于
．
A
E
B
D
F
C
【巩固 】如图，已知
BD
DC
，
EC
2
AE
，三角形
ABC
的面积是
30
，求阴影部分面积
.
A
E
F
B
D
C
【巩固】如图，
三角形
ABC
的面积是
200
cm
2
，
E
在
AC
上
，
点
D
在
BC
上，
且
AE
:
EC
3:5
,
BD
:
DC
2:3
，
AD
与
BE
交于点
F
．则四边形
DFEC
的面积等于
．
A
E
B
D
F
C
【 巩固】
如图，
已知
BD
3
DC
，
EC< br>
2
AE
，
BE
与
CD
相交于点
O
,
则
△
ABC
被分成的
4
部分面积各占
△
ABC
面积的几分之几？
A
E
O< br>B
D
C
1
1
【巩固】
(
2007
年 香港圣公会数学竞赛
)
如图所示，在
△
ABC
中，
CP
CB
，
CQ
CA
，
BQ
与
AP
相交于
2
3
点
X
，若
△
ABC的面积为
6
，则
△
ABX
的面积等于
．
C
Q
X
A
B
【巩固】如图 ，三角形
ABC
的面积是
1
，
BD
2
D C
，
CE
2
AE
，
AD
与
BE
相交于点
F
，请写出这
4
部分
的面积各是多少
?
P
A
E
F
B
D
C
【 巩固】
如图，
E
在
AC
上，
D
在
BC上，
且
AE
:
EC
2:3
,
BD< br>:
DC
1:
2
，
AD
与
BE交于点
F
．
四边形
DFEC
的面积等于
22
c m
2
，则三角形
ABC
的面积
．
A
E
F
B
D
C
【 巩固】三角形
ABC
中，
C
是直角，已知
AC
2
，
CD
2
，
CB
3
，
AM
BM
，那么三角形
AMN
(
阴影
部分)
的面积为多少？
A
M
N
C
D
B
【巩固】如图 ，长方形
ABCD
的面积是
2
平方厘米，
EC
2
DE
，
F
是
DG
的中点．阴影部分的面积是多少
平 方厘米
?
A
F
B
G
D
E
C
A< br>x
F
y
y
x
G
D
E
C
【例
2
】
如
图所示，在四边形
ABC D
中，
AB
3
BE
，
AD
3
AF
，四边形
AEOF
的面积是
12
，那么平行四边
形
BODC
的面积为
________
．
B
A
F
E
B
O
C
D
【例
3
】
ABCD< br>是边长为
12
厘米的正方形，
E
、
F
分别是
AB
、
BC
边的中点，
AF
与
CE
交于
G
，则四边形
AGCD
的面积是
_________
平方厘米．