过年图片-爱国的名言警句

2021年2月1日发(作者：庖丁)
第九节

相似三角形，精品系列

课标呈现

指引方向

1
．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、 艺
术上的实例了解黄金分割．

2
．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．

3
．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成
比例．

4
．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；
两边成比例且夹角 相等的两个三角形相似；
三边成比例的两个三角形
相似
.*
了解相似三角形判 定定理的证明．

5
．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似
比；面积比等于相似比的平方．

6
．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．

7
．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．

考点梳理

夯实基础

a
c
1
．比例线段：对于四条线段
a< br>，
b
，
c
，
d
中，如果
b
＝
d
，就称
a
，
b
，
c
，
d
四条 线段是成比例线段，简称比例线段．

2
．比例线段的性质：

⑴基本性质：


a
c
a
b
2
＝
⇒
ad
＝
bc
(
bd
≠
0)
；< br>b
d
b
＝
d
⇒
b
＝
ad
；

a
c
a
±
b
c
±
d
⑵ 合比性质：
b
＝
d
⇒
b
＝
d
；

⑶等比性质：

a
＋
c
＋…＋
m
a
a
c
m
若
b
＝
d
＝…＝
n
(< br>b
＋
d
＋…＋
n
≠
0)
，那么
＝< br>
b
＋
d
＋…＋
n
b
3
．平行线分 线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应
线段成比例．

4
．相似三角形性质：
__________
⑴相似三角形的对应边
__________
，对应角
__________
．

⑵相似 三角形的对应高的比，
_________________
与
__________
都等
于相似比

⑶相似三角形周长的比等于
_______
，相似三角形面积的比等于
__________
．

【答案】
⑴成 比例，相等；⑵对应角平分线的比，对应中线的比；⑶
相似比，相似比的平方

5
．相似三角形的判定：

⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三
角形相似；

(2)
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：

( 3)
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应夹角相等，那
么这两个三角形相似：

(4)
如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相
等，那么这两个三角形相似．

6
．相似三角形的几种典型图形





7
．位似图形的定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶 点的连
线交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，
这个点叫做位似中心 ．

(1)
位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．



(2)
两个位似图形的位似中心只有一个．



(3)
位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的
比、< br>对应角平分线的比都等于位似比，
但面积的比等于位似比的


平
方．


考点一：比例线段



【例
l
】下列四条线段中，不能成比例的是




(C)


A
．
a=3
，
b=6
，
c=2
，
d=4


B
．
a=1< br>，
b=
2
，
c=
6
，
d=
3



C
．
a= 4
，
b=6
，
c=5
，
d= 10


D
．
a=2
，
b=
5
，
c=
15
，
d=
2
3

解题点拨：本题考查了成比例线段的定义，注意成比例线段的顺序．

考点二：平行线分线段成比例定理

【例
2
】
（
2 016
杭州）如图，已知直线
a
∥
b
∥
c
，直线< br>m
交直线
a
，
b
，
c
于点
A
，
B
，
C
，直线
n
交直线
a
，
b
，
c
于点
D
，
E
，
F
，若则
DE

()
EF
AB
1

，
BC
2

答案：
B

解题点拨：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意： 一
组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．


考点三：相似三角形的性质和判定

【例
3
】
（
2 016
河北）
如图，
△
ABC
中，
∠
A=78°．
AB=4
．
AC=6
．
将
△
ABC
沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似
．．．

的是（）



答案：
C



解题点拨：
本题考查了相似三角形的判定：
两组对应边的比相等且
夹角对应相 等的两个三角形相似：
有两组角对应相等的两个三角形相
似．



考点四：似三角形性质的实际运用

【例
4
】
（
2 015
陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问
小军：
“你有多高？”小军 一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照
明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．
于是，两人在灯下沿直线
NQ
移动，如图，当小聪正好站在广场的
A
点（距Ⅳ点
5
块地砖长）
时，
其影长
AD
怡好为
1
块 地砖长：
当小军正好站在广场的
B
点
（距
Ⅳ点
9
块 地砖长）时，其影长
BF
恰好为
2
块地砖长，已知广场地面

由边长为
0.8
米的正方形地砖铺成，小聪的身高
AC
为
1.6< br>米，朋Ⅳ
INQ
，
ACINQ
，
BEINQ
．
请你根据以上信息，
求出小军身高
BE
的长．
（
结
果精确 到
0.01
米）




解题点拨：
本题 考查了相似三角形的应用，
解题的关键是从实际问题
中整理出相似三角形，
根据对应边 列出方程，
建立适当的模型来解决
问题．

解：由题意得：∠
CAD=
∠
MND= 90
°
,
∠
CDA=
∠
MDN,
∴△
CAD
∽△
MND,
∴
∴
CA
AD


MN
ND
1.6
1

0.8


MN
(5

1)

0.8
∴
MN= 9.6,
又∵∠
EBF=
∠
MNF=90
°，∠
EFB=
∠
MFN,
∴
△
EFB

△
MFN


∴
∴
EB
BF


MN
NF
EB
2

0.8


9.6

2+9


0.8
∴
EB
≈
1.75,
∴小军身高约为
1.75
米．


考点五：位似图形

【例
5
】
（
2016
十堰）如图，以点
O
为位似中心，将△
ABC
缩小后得
到△
A
’
B
’
C
’
，已知
OB= 30B
’< br>，则△
A'B'C
’与△
ABC
的面积比为

（）


A
．
1
：
3



B
．
1
：
4



C
．
1
：
5D
．
1
：
9
答案：
D
解题点拨：先求出位似比，
根据位似比等于相似比，再由相似三角 形
的面积比等于相似比的平方即可．

1
．
（
2016新疆）如图，在△
ABC
中，
D
、
E
分别是
A B
、
AC
的中点，
下列说法中不正确的是（）





A
．
DE

BC



B
．
△
ABC
1
2
AD
AE



C.
△
ADE
∽△
ABC



D.S
△
ADE
:S

AB
AC
= 1:2
答案：
D
2
．
（
2016
盐城）如图， 点
F
在平行四边形
ABCD
的边
AB
上，射线
CF
交
DA
的延长线于点
E
．在不添加辅助线的情况下，与△
A EF
相
似的三角形有（）


A
．
0
个




B
．
1
个




C
．
2
个




D
．
3
个

答案：
C
3
．（
2016
乐山）如图，在△
ABC
中，
D
、
E
分别是边
AB
、
AC
上的
点，且
DE
∥
BC
，若△
ADE
与△
ABC
的周长之比为
2:3
，
AD=4
，则
DB=_________
，



答案：
2
4
．
（
2016
齐齐哈尔） 如图，在△
ABC
中，
AD
上
BC
．
BE
上
AC
，垂
足分别为
D
，
E
，
AD
与
BE
相交于点
F
．

(1)
求证：△
ACD
∽△
BFD
；

( 2)
当
tan
∠
ABD=1
，
AC=3
时，求BF
的长．


解
:
（
1
）证明:
∵
AD
⊥
BC
，
BE
⊥
AC
，

∴∠
BDF=
∠
ADC=
∠
BEC=90
°，

∴∠
C +
∠
DBF=90
°，∠
C+
∠
DAC=90
°，

∴

∠
DBF=
∠
DAC,
∴△
ACD
∽△
BFD
(2)
∵
tan
∠
ABD=1
，∠
ADB=90
°。

AD

1

∴
BD


∴
AD

BD
,

∵△
ACD
∽△
BFD
AC
AD


1
BF
BD
∴

∴
BF

AC

3



A
组


基础训练

一、选择题

1
．
（
2016
重庆）△
ABC
与△
DEF的相似比为
1
：
4
，则△
ABC
与△
DEF< br>的周长比为




(



)


A. 1:2



B. 1:3



C. 1:4



D. 1:16
答案：
C
2
．
（
2016巴中）如图，点
D
、
E
分别为△
ABC
的边
A B
、
AC
上的中
点，则△
ADE
的面积与四边形
B CED
的面积的比为




(



)

A
．
1
：
2



B
．
1
：
3



C
．
1
：
4



D
．
1
：
1
答案：
B
3
．< br>（
2016
云南）如图，
D
是△
ABC
的边
BC
上一点，
AB=4
，
AD=2
．
LDAC=LB
．
如果△
ABD
的面积为
15
．
那么△
ACD< br>的面积为




(



)


A
．
15



B
．
10C
．
答案：
D
4
．
（
2016
烟台）如图，在平面直角坐标系中，正方形
ABCD
与正方
形
BEFG
是以原点
()
力位似中心的位似图形，
且相似比为≥。< br>点
4 ,B,E
在戈轴上，若正方形
BEFG
的边长为
6，则
C
点坐标为




(



)
15
D
．
5
2

A
．
(3
，
2)



B
．
(3
，
1)C
．
(2
，
2)



D
．
(4
，
2)
答案：
A
二、填空题

5
．
（
2016
南京）如图，
AB
、
CD
相交于点
0
，
O C=2
，
OD=3
，
AC
∥
BD
．
EF< br>是△
ODB
的中位线，且
EF=2
，则
AC
的长为< br>___________


答案：

6
．
（
2015
天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高
度的示意图．< br>点
P
处放一水平的平面镜，
光线从点
4
出发经平面镜反
射后刚好到古城墙
CD
的顶端
C
处，已知
ABIBD
．< br>CDI
BD
，测得
AB=2
米，
BP=3
米，
PD= 12
米，那么该古城墙的高度
CD
是
______
米．

8
3


答案：
8

7
．（
2016
梅州）如图，在平行四边形
ABCD
中，点
E
是边
AD
的中
点，
EC
交对角线
BD
于点
F
，若
SL
。
。
。
=3
，则
S
△
BCF= _______
．


答案：
4

三、解答题

8
．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿
AB=
< br>2m
，
它的影子
BC=1.6m
，
木竿
PQ
的影子有一部分落在了墙上，
PM=
1.2m
，
MN=0.8m
，求木竿
PQ
的长度



解：如图，过
N
点作
ND
⊥
PQ于
D
，

∴
BC
DN


A B
QD
又∵
AB=2
，
BC=1.6
，
PM=1. 2
，
NM=0.8
，

∴
QD

AB
DN

1.5

B C
∴
PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3
（米）
．
答：木竿
PQ
的长度为
2.3
米



9
．
（
2016
杭州）如图，在△
ABC
中，点
D
，
E
分别在边
AB
，
AC
上，
LAED= LB
，射线
AG
分别交线段
DE
，
B C
于点
F
，
G
，且
(1)
求证：△
ADF
∽△
ACG
；

(2)
若
AD
1
AF

，求
的值．

AC
2
FG

AD
DF


AC
CG

解
: (1)
证明
:
∵∠
AED=
∠
B,
∠
DAE=
∠
DAE
，

∴

∠
ADF=
∠
C
，

∵
AD
DF


AC
CG
∴△
ADF
∽△
ACG
AD
AF


AC
AG
AD
1
A F
1
AF
又∵

，∴
=
，∴
=1

AC
2
AG
2
FG
(2)
∵△
ADF∽△
ACG
，∴



B
组提高练习

10
．
（
2016
东营）
如图，
在短形
A BCD
中，
E
是
AD
边的中点，
BEIAC
，垂足为点
F
，连接
DF
，分析下列四个结论：①△
AEF
∽△
CAB
；②
CF=2AF
；③
DF=DC
；④
tan
∠
CAD=
2
．其中正确的结论有


(

)


A
．
4
个




B
．
3
个




C
．
2
个




D
．
1
个

答案：
B

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