寻常的近义词-改善

2021年2月2日发(作者：新交法)
沪科版八年级数学下册知识总结

一元二次方程知识点：

1.
一元二次方程的一般形式
: a
≠
0
时，
ax
2< br>+bx+c=0
叫一元二次方程的一
般形式，
研究一元二次方程的有关问题时，
多数习题要先化为一般形式，
目的是确定一般形式中的
a
、
b
、
c
；

其中
a
、
b,
、
c
可能是具体数，
也可能是含待定字母或特定式子的代数式
.
2.
一元二次方程的解法
:
一元二次方程的四种解法要求灵活运用，

其中
直接开平方法虽然简单，但是 适用范围较小；公式法虽然适用范围大，
但计算较繁，
易发生计算错误；
因式分解法适 用范围较大，
且计算简便，
是首选方法；配方法使用较少
.
3.
一元二次方程根的判别式
:
当
ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
时，Δ
=b
2
-4ac
叫一
元二次方程根的判别式
.
请注意以下等价命题：

Δ＞
0 <=>
有两个不等的实根；

Δ
=0 <=>
有两个相等的实根；

Δ＜
0 <=>
无实根；

Δ≥
0 <=>
有两个实根（等或不
等）
.
4.
一元二次方程的根系关系：

当
ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
时，如Δ≥
0
，有
下列公式：
(
1
)
x
1
,
2

b
b
2

4
ac
b

；
(
2< br>)
x
1

x
2


，
2< br>a
a
x
1
x
2

c
.

a
5.
一元二次方程的解法

（
1
）

直
接开平方法

（也可以使用因式分解法）


①
x
2

a
(
a

0)

解为：
x


a

②
(
x

a
)
2

b
(
b

0)
解为：
x

a


b

③
(
ax

b
)
2

c
(
c
0)

解为：
ax

b


c

④(
ax

b
)
2

(
cx

d
)
2
(
a

c
)

解为：
ax

b


(
cx
< br>d
)

（
2
）

因
式分解法
：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：< br>ax
2

bx

0(
a
,
b

0)

x
(
ax

b
)
< br>0

此类方程适合用提供因此，而
且其中一个根为
0
x< br>2

9

0

(
x

3) (
x

3)

0

x
2
3
x

0

x
(
x
3)

0


3
x
(2
x
1)

5(2
x

1)

0

(3
x

5)(2
x

1)

0

x
2

6
x

9

4

(
x

3)
2

4

4
x
2

12
x

9

0

(2
x

3)
2

0
x
2

4
x

12

0
< br>(
x

6)(
x

2)

0

2
x
2

5
x

12

0

(2
x

3)(
x

4)

0

（
3
）

配
方法

①二次项的系数为“
1
”的时候：直接将一次项的系数除于
2
进行配 方，如下所示：

P
2
P
2
)

(
)

q

0

2
2
3
3
示例：
x
2

3
x

1

0< br>
(
x

)
2

(
)
2< br>
1

0

2
2
x
2
< br>Px

q

0

(
x

② 二次项的系数不为“
1
”的时候：先提取二次项的系数，之
后的方法同上：

ax
2

bx

c

0 (
a< br>
0)

a
(
x
2

b
b
b
x
)

c

0

a
(
x

)
2

a
g
(
)
2

c

0

a
2
a
2
a
b
2
b
2
b
2
b
2

4
ac

a
(
x

)


c

(
x

)


2
a
4
a
2
a
4
a
2
示例：

x< br>2

2
x

1

0

(< br>x
2

4
x
)

1

0< br>
(
x

2)
2


2
2

1

0

（
4
）
公式法：一元二次方程
ax
2

bx

c

0 (
a

0)
，用配方法将其变
形为：

1
2
1
2
1
2
1
2
b
2
b
2

4
ac
(
x

)


2
a
4
a
2
①当


b
2
4
ac

0
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的
b

b
2

4
ac
实根：
x
1,2


2
a
②

当

b
2

4
ac

0
时，右端是零． 因此，方程有两个相等的实根：
x
1,2


b

2
a
③

当


b
2

4
ac

0
时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax
2

bx

c

0 (
a

0)
，并
确定出
a
、
b
、
c

②求出


b
2

4
ac
，并判 断方程解的情况。


b

b
2

4ac
③代公式：
x
1,2

（要注意符号）

2
a

※
5
．当
ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
时，有以下等价命题：

(
以下等价关系要求会用公式

x
1

x
2


b
a
，
x
1
x
2

c
a
；Δ
=b
2
-4ac
分析，不
要求背记
)
（
1
）两根互为相反数




b
= 0
且Δ≥
0

b = 0
且Δ≥
0
；

a
（
2
）两根互为倒数



c
=1
且Δ≥
0

a = c
且Δ≥
0
；

a
（
3
）只有一个零根



c
a
（
4
）有两个零根



c
a
= 0
且

b
≠
0

c = 0
且
b
≠
0
；

= 0
a
a
且

b
= 0

c = 0
a
且
b=0
；

（
5
）至少有一个零根



c
=0

c=0
；

（
6
）两根异号



c
＜
0

a
、
c
异号；

a
（
7
）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值


c
＜
0
且

b
＞
0


a
、
c
异
a
a
号且
a
、
b
异号；

（
8
）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值


c
＜
0
且

b
＜
0


a
、
c
异
a
a
号且
a
、
b
同号；

（
9
）有两个正根



c
＞
0
，

b
＞
0
且Δ≥
0

a
、
c
同号，
a
、
b
a
a
异号且Δ≥
0
；

（
10
）有两个负根



c
＞0
，

b
＜
0
且Δ≥
0

a
、
c
同号，
a
、
b
a
a
同号且Δ≥
0.
6
．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜
0
时，二次三项式在
实数范围内不能分解
.
ax
2
+bx+c=a(x-x
1
)(x-x
2
)
ax
2



.


或



b

b
2

4
ac

+bx+c=
a

x

2
a

2




x


b

b

4
ac

2
a


7
．求一元二次方程的公式：

x
2
-
（
x
1
+x
2
）
x + x
1
x
2
= 0.
注意：所求出方程的系数应化为整数
.
8
．平均增长率问题
--------
应用题的类型题之一

（设增长率为
x
）
：

(1)
第一年为
a ,
第二年为
a(1+x) ,
第三年为
a(1+x)
2
.
（
2
）
常利用以下相等关系列方程：

第三年
=
第三年

或

第一年
+
第二年
+
第三年
=
总和
.
9
．分式方程的解法：

两边同乘最简
验增根代入最简公分母
（或原方程的每个分母
），值

0
.
公分母
凑元，设元，
（
2
）
换元法
验增根代入原方程每个
分母，值
< br>0
.

换元
.
(
1
)
去分母法
10.
二元二次方程组的解法：

（
1
）代入消元
法
< br>

方程组
中含有一个二元一次方
程
;
（
2
）分解降次法



方程组
中含有能分解为
（
(
1
)(
2
)

0
(
3< br>)
注意：
应
分组为

(
3
)(
4< br>)

0

（
）
）

0
的方 程
;


(
1
)

0

(
2
)

0

(
1
)

0

(
2
)

0
.




(
3
)

0
(
4
)

0
(
4
)

0
(
3
)

0




※
11
．几个常见转化：< br>
2
2
2
2
2
(
1
)
x< br>1

x
2
2

(
x
1
< br>x
2
)

2
x
1
x
2
；< br>(
x
1

x
2
)

(
x< br>1

x
2
)

4
x
1
x< br>2
；
x

1
2

(
x
< br>)

2
；
x
x
2
1
1
或< br>x

2

(
x

)
2
< br>2
；
x
x
2
1

(
x
< br>x
)
2

(
x

x
)
2< br>
4
x
x
(
x
1

x
2< br>)

1
2
1
2
1
2
x
1< br>
x
2


；
2
2
(
x< br>1

x
2
)



(
x< br>1

x
2
)


(
x
1< br>
x
2
)

4
x
1
x
2< br>x
1
2

x
2
2

(
x< br>1

x
2
)
2

2
x
1< br>x
2
，

1
1
x
1

x
2
，

(
x
1

x
2
)
2

(
x
1

x
2
)
2

4
x
1
x
2
，



x
1
x
2
x
1
x
2
|
x
1

x
2
|

(
x
1

x
2
)
2

4
x
1
x
2
，

x< br>1
x
2
2

x
1
2
x
2< br>
x
1
x
2
(
x
1

x< br>2
)
，

x
2
x
1
x
1< br>2

x
2
2
(
x
1

x< br>2
)
2

4
x
1
x
2

等




x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2

(
2
)
x
1

x
2


1
.
分类为
x
1

x
2

2和
x
1

x
2


2

；


2


2

2
.
两边平方为（
x

x
）

4
1
2

x
1
4
x
1
4

(
1
)
分类为

和


16

x2
3
x
2
3
(
或
2

)


；

9
x
2

(2
)
两边平方一般不用
,
因为增加次数
.

2
x
1
(
3
)
x
1
4

x
2
3
(
4
)
如
x
1

s in
A
,
2
可推出
x
1

x
2< br>2

1
.
x
2

sin
B
且

A


B

90

时
,
由公式
sin
2
A

cos
2
A
1
,
cos
A

sin
B
注意隐含 条件
:
x
1

0
,
x
2

0
.
(
5
)
x
1
,
x
2
若为几何图形中线段长
时
,
可利用图形中的相等关
系
(
例 如几何定理，相似形
,
面积
等式
,
公式
)
推导出含 有
x
1
,
x
2
的关系式
.
注意隐含条件< br>:
x
1

0
,
x
2

0< br>.
(
6
)
如题目中给出特殊的直
角三角形、三角函数、
比例式、等积式等条件
,
可把它们转化为某
些线段的比，并且
引入
“
辅助未知元
k
”
.
(
7
)
方程个数等于 未知数个
数时
,
一般可求出未知数的值
;
方程个数比未知数个数少一个时，一
般求不出未知数的值
,
但总可求出任何两个未
知数的关系< br>.

二次根式知识点：

知识点一：

二次根式的概念

形如
（
）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式
等代数式，但必须注意：因为 负数没有平方根，所以
是
为二次根式
的前提条件，
如
，
，< br>等是二次根式，
而
，
等
都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.



二次根式有意 义的条件：由二次根式的意义可知，当
a
≧
0
时，
有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于
或等于零即可。

2.



二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当
a
﹤< br>0
时，
（
即
没有意义。

（
）的非负性

（
）是一个非负数，
）表示
a的算术平方根，也就是说，
0
（
）
。

知识点三：二次 根式
注：因为二次根式
（
）表示
a
的算术平方根，而正数的算术平方 根
是正数，
0
的算术平方根是
0
，
所以非负数
（< br>）
的算术平方根是非负数，
即
0
（
）
，
这个 性质也就是非负数的算术平方根的性质，
和绝对值、
，则
，则
a=0,b=0
；若
）
的性质

，则
a=0,b=0
。

偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若
a=0,b=0
；若
知识 点四：二次根式（
（
）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的 性质公式
（
）是逆用平方根的定义得出的结
，则
，如：
，
论 。上面的公式也可以反过来应用：若
.
知识点五：二次根式的性质


文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1
、化简
时，一定要弄明白被开方数的底数
a
是正数还是负数，若是 正
；若
a
是负数，则等于
a
的相
数或
0
， 则等于
a
本身，即
反数
-a,
即
；

2< br>、
中的
a
的取值范围可以是任意实数，即不论
a
取何值，意义；

一定有
3
、化简
知识点六：
时，先将它化成< br>与
与
，再根据绝对值的意义来进行化简。

表示一个正数
a
的算
中

，
与
都是非负数，
的异同点

表示的意义是不同的，
表示一个实数
a
的平方的算术平方根；在
1
、不同点：
，而
即
而
无意义，而
，
术平方根的平方，而
中
a
可以 是正实数，
0
，负实数。但
。因而它的运算的结果是有差别的，

时，
=
；
时，
.
2
、
相同点：
当被开方数都是非负数，
即
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式



如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
2
、√
3< br>、
√
a
（
a
≥
0
）、√
x+y
等；



含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√
4
、√
9
、√
a^2
、
√（
x+y
）< br>^2
、√
x^2+2xy+y^2
等

（
3
）最终结果分母不含根号。

知识点八：二次根式的乘法和除法



1.
积的算数平方根的性质



√
ab=√
a
·√
b
（
a
≥
0
，
b< br>≥
0
）



2.
乘法法则



√
a
·√
b=
√
ab
（a
≥
0
，
b
≥
0
）



二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方
根的积，等于这两个 因式积的算术平方根。



3.
除法法则



√
a
÷√
b=
√
a
÷
b
（
a
≥
0
，
b>0
）



二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根
的商，等于这两个数商的算数平 方根。



4.
有理化根式。



如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数
式叫做有理化根式
,< br>也称有理化因式。

知识点九：二次根式的加法和减法



1
同类二次根式



一般地，把几个二次根式化为最 简二次根式后，如果它们的被开
方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。



2
合并同类二次根式



把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根
式。



3
二次根式加减时，
可以先将二次根式化为最简二次根式，
再将被
开方数相同的进行合并。

知识点十：二次根式的混合运算



1
确定运算顺序



2
灵活运用运算定律



3
正确使用乘法公式



4
大多数分母有理化要及时



5
在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化

知识点十一：分母有理化



分母有理化有两种方法



I.
分母是单项式



如
:
√
a/
√
b=
√
a
×√
b/
√
b
×√
b=
√
ab/b




II.
分母是多项式



要利用平方差公式



如
1/
√
a< br>＋√
b=
√
a
－√
b/(
√
a
＋√
b)(
√
a
－√
b)=
√
a
－√
b/a
－
b


如图




注意：
1.
根式中不能含有分母
2.
分母中不能含有根式。



勾股定理知识总结：

一．基础知识点：

1
：勾股定理

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