新人教版八年级数学下册知识点总结归纳(全面-实用)
温柔似野鬼°
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2021年02月02日 01:34
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不拘一格降人才-模仿的近义词是什么
--
八年级数学
(
下册
)
知识点总结
二次根式
【知识回顾】
1.
二次根式
:
式子
a
（
a
≥
0)
叫做二次根式。
2.
最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；
⑵被开方数中不含分母；
⑶分
母中不含根式。
3
．同类二次根式：
二次 根式化成最简二次根式后
,
若被开方数相同
,
则这几个二次根式就是同类二次
根式。
4.
二次根式的性质
:
a
（
a
＞
0
）
2
（１）
(
a
）
２
=
a
（
a
≥
0
）
；
（２）
a
0
）
（
a
=0
；
a
5.
二次根式的运算：
a
（
a
＜
0
）
（
1 )
因式的外移和内移
:
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以
用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式
,
那么先解因式
,•
变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到
根号里面．
（２
)
二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式再合并 同类二次根式
.
（
3
）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）
， 将被开方数相乘
(
除
),
所得的积
（商）仍作积
(
商
)
的被开方数并将运算结果化为最简二次根式
.
ab
=
a
·
b
(a
≥
0,b
≥
0
）
；< br>
b
b
（
b
≥
0,
ａ
>0
）
.
a
a
(4)
有理数的加法交换律、结合律，乘法 交换律及结合律，
•
乘法对加法的分配律
以及多项式的乘法公式
,
都 适用于二次根式的运算．
【典型例题】
１、概念与性质
例
1
下列各式
1)
1
1
,
2)
5,3)
x
2
2,
4)
4,5)
(
)
2
,6)
1
a
,7)
a< br>2
2
a
1
,
5
3
其 中是二次根式的是
__
＿
_
＿
____
（填序号
)
．
例２、求下列二次根式中字母的取值范围
1 / 1
--
x
5
（
1)
1
3
x
；
（２
)
(x
-
2)
2
例
3
、
在根式
1
）
a
2
b
2
;2)
x
;3)
x
2
xy
;4)
27
abc
,
最简二次根式是
(
）
5
A
．
1) 2
）
B.3
）
4)
Ｃ
.
１
) 3
）
D.
１
)
４
)
y< br>
1
8
x
8
x
1< br>
1
,
求代数式
x
y
x
y
例
4
、已知：
2
y
x
2
y
x
2
的值。
例
5
、
(
２
009
龙岩
)
已知 数
a
，
b
，若
(
a
b
)
2
＝
b-a,
则
(
)
A. a
＞
b
B. a
C.
a
≥
b
D.
≤
b
2
、二次根式的化简与计算
例
1.
将
根号外的
a
移到根号内，得
（
)
A.
；
Ｂ
. -
；
C. -
；
D
．
例
2.
把
(a
－ｂ
)
错误
!
化成最简二次根式
例
3
、计算
:
例
4
、先化简
,
再求值
:
1
1
b
5
1
5
a
b
b
a
(
a
b
)
，其中
a=
2
，ｂ
=
1< br>2
.
例
5
、如图
,< br>实数
a
、
b
在数轴上的位置
,
化简
：
a
2
b
2
(
a
b
)
2
4
、比较数值
（
1
）
、根式变形法
当
a
0 ,
b
0
时，①如果
a
b
，则
a
b
；②如果
a
b
，则
a
b
。
例１、比较
3
5
与
5
3
的大小。
(2
）
、平方法
当
a
0,
b
0
时，①如果
a
2
b
2
,< br>则
a
b
;
②如果
a
2
b
2
,
则
a
b
。
例
2
、比较
3
2
与
2
3
的大小。
1 / 1
a
--
(3)
、分母有理化法
通过分母有理化
,
利用分子的大小来比较。
例３、比较
2
1
与
的大小。
3
1
2
1
(4)
、分子有理化法
通过分子有理化
,
利用分母的大小来比较。
例
4
、比较
15
14
与
14
13
的大小。
（５）
、倒数法
例
5
、比较
7
6
与
6
5
的大小。
(6)
、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
例
6
、 比较
7
3
与
87
3
的大小。
(7)
、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质
:
①
a
b
0
a
b
；②
a
b
0
a
b
例
7
、比较
(
８
)
、求商比较法
它运用如下性质：当
a>0
，
b
＞
0
时
,
则：
①
1
a
b
;
②
1
a
b
b
b
a
a
2
1
2
与
的大小。
3
1
3
例８、比较
5
3
与
2
3
的大小。
5
、规律性问题
例
1.
观察下列各式及其验证过程
:
,
验证：
；
验证
:
.
（
1
）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想
4
1 / 1
4
的变形结果，并进
15
--
行验证；
( 2)
针对上述各式反映的规律
,
写出用
n(
ｎ≥
2
，
且ｎ是整数）
表示的等式
,
并给出
验证过程．
1 / 1
--
勾股定理
1.
勾股定理
:
如果直角三角形的两直角边长分别为
a,b
，斜边长为
c,
那么a
２
＋
b
２
=c
2
。
2.
勾股定理逆定理
:
如果三角形三边长ａ
,
ｂ，
c
满 足ａ
2
+b
2
=c
2
。
,
那么这个三角形 是直角
三角形。
3
．经过证明被确认正确的命题叫做定理。
< br>ﻫ
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫
做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那 么另一个叫做它的逆命题。
(
例
:
勾股定理
与勾股定理逆定理
)
4.
直角三角形的性质
（
1
）
、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠
C=
９
0
°
∠
A+
∠
B=
９
0°
(2
）
、在直角三角形中，３
0
°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠
A
＝
30
°
可表示如下
:
BC=
∠
C=9
０°
(
３）
、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠
ACB=
９
0
°
可表示如下：
Ｃ
D=
D
为
AB
的中点
5
、摄影定理
在直角 三角形中
,
斜边上的高线是两直角边在斜边上的
摄影的比例中项
,
每 条直角边是它们在斜边上的摄影和
斜边的比例中项
∠
Ａ
CB=9
０
°
1
AB=
Ｂ
D=
ＡＤ
2
1
AB
2
CD
2
AD
•
BD
AC
2
AD
•
AB
ＣＤ⊥ＡＢ
BC
2
BD
•
AB
6
、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=
Ａ
C
•
BC
1 / 1
--
7
、直角三角形的判定
1
、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2
、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3
、勾股定理的逆定理
:
如果三角形的三边长
a
，
b,c
有关系
a
2
b
2
c
2
，那么这
个三角形是直角三角形。
8
、命题、定理、证明
１、命题的概念
判断一件事情的语句
,
叫做命题。
理解
:
命题的定义包括两层含义：
（
1
）命题必须是个完整的句子
;
（
2
）这个句子必须对某件事情做出判断。
２、命题的分类（按正确、错误与否分
)
真命题（正确的命题
)
命题
假命题（错误的命题
)
所谓正确的命题就是
:
如果题设成立
,
那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立
,
不能证明结论总是成立的命题。
３、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
４、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
5
、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
6
、证明的一般步骤
(1
）根据题意，画出图形。
(2
）根据题设、结论、结合图形
,
写出已知、求证。
(3)
经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9
、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
1 / 1
-- （１
)
三角形共有三条中位线
,
并且它们又重新构成一个新的三角形。< br>
（
2
）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理
:
三角形的中位线平行于第三边
,
并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用
:
位置关系
:
可以证明两条直线平行。
数量关系
:
可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论１
:
三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论
2:
三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论
3
：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论
4
：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论５
:
三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10
数学口诀
.
平方差公式
:
平方 差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相
混淆。
完全平方公式
:
完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方
,
首尾 二倍放中央
;
首±尾括号带平方
,
尾项符号随中央。
四边形
1
．四边形的内角和与外角和定理
:
（
1
）四边形的内角和等于
3
６
0
°；
B
（２
)
四边形的外角和等于
360
°．
C
A
D
A
4
２
.
多边形的内角和与外角和定理
:
(１）
n
边形的内角和等于
(
ｎ
-2)
１
80< br>°
;
（
2
）任意多边形的外角和等于
360
°
.
1
B
D
3
2
C
1 / 1
--
3
．平行四边形的性质：
（
）两组对边分别平行；
1
（
2
）两组对边分别相等；
< br>因为
A
Ｂ
C
Ｄ是平行四边形
（
3
）两组对角分别相等；
4
）对角线互相平分；
（
（
5
）邻角互补
.
D
O
C
A
B
4
．平行四边形的判定：
（
1
）两组对边分别平行
（
2
）两组对边分别 相等
（
3
）两组对角分别相等
ABCD是平行四边形
.
（
4
）一组对边平行且相等
（
5
）对角线互相平分
D
O
C
A
B
5.
矩形的性质
:
（
）具有平行四边形的所
有通性
;
1
因为Ａ
B
Ｃ
D< br>是矩形
（
2
）四个角都是直角
;
3
）对角线相等
.
（
D
C
O
A
D
B
C
ﻩ
6.
矩形的判定
:
（
1
）平行四边形
一个直角
（
2
）三个角都是直角
四边形
ABCD
是矩形
.
（
3
）对角线相等的平行四
边形
D
C
A
B
O
A
D
B
C
7.
菱形的性质
:
因为ＡＢＣ
D
是菱形
（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（< br>
2
）四个边都相等；
3
）对角线垂直且平分对
角
.
（
A
O
C
D
A
B
B
1 / 1
--
８．菱形的判定：
（< br>1
）平行四边形
一组邻边等
（
2）四个边都相等
四边形四边形
ABC
Ｄ是菱形
.
（
3
）对角线垂直的平行四
边形
A
D
O
C
B
9
．正方形的性质：
因为
AB
ＣＤ是正方形
（
）具有平行四边形的所
有通性；
1
（
2< br>）四个边都相等，四个
角都是直角；
3
）对角线相等垂直且平
分对角
.
（
D
C
D
C
O
A< br>B
(1
）
A
B
（２）
（
3)
10.
正方形的判定
:
（
1
）平行四边形< br>
一组邻边等
一个直角
（
2
）菱形
一个直角
四边形
ABC
Ｄ是正方形< br>.
（
3
）
矩形
一组邻边等
D
C
（
3
）∵Ａ
BCD
是矩形
又∵
AD=
ＡＢ
∴四边形ＡＢ
CD
是正方形
A
B
1
１．等腰梯形的性质
:
1
（< br>）
两底平行，两腰相等；
因为
ABC
Ｄ是等腰梯形
（
2
）同一底上的底角相等
；
3
）对角线相等
.
（
A
O
B
C
D
１２
.
等腰梯形的判定
:
（
2
）梯形
底角相等
四边形Ａ
BC
Ｄ是等腰梯形
（
3
）梯形
对角线相等
（
1
）梯形
两腰相等
D
A
(3)
∵
ABCD
是梯形且
AD
∥
BC
ﻩ
∵
A
Ｃ＝Ｂ
D
B
O
C
∴
ABCD
四边形是等腰梯形
1 / 1
--
14
．三角形中位线定理
:
三角形的中位线平行第三边
,
B
C
A
E
D
并且等于它的一半
.
１
5.
梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底
,
并
且等于两底和的一半
.
E
D
C
F
B
A
一
基本概念：四边形，四边形的内角
,< br>四边形的外角，多边形
,
平行线间的距离，平
行四边形
,
矩形
,
菱形
,
正方形，中心对称，中心对称图形
,
梯形，等腰梯 形
,
直角梯
形
,
三角形中位线
,
梯形中位线
.
二
定理
:
中心对称的有关定理
※１
.
关于中心对称的两个图形是全等形
.
※
2.
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
.
※
3.
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分
,
那么这两个图形关
于这一点对称．
三
公式：
1.S
菱形
=
ab
＝
ch.
（ａ、
b
为菱形的对角线
，
c
为菱形的边长
，
h
为
c
边上的高）
２．Ｓ平行四边形
=ah.
a
为平行四边形的边
,
ｈ为ａ上的高）
3
．Ｓ梯形
＝
(a
＋ｂ）
h=Lh
．< br>(a
、
b
为梯形的底
,
ｈ为梯形的高
,
Ｌ为 梯形的中位线）
四
常识：
n
(
n< br>
3
)
※
1.
若ｎ是多边形的边数
,
则对角 线条数公式是
:
．
2
矩
形
正
方
形
平
行
四
边
形
菱
形
1
2
1
2
2.
规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”
.
3.
如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系
.
1 / 1