confuse-吹牛

2021年2月2日发(作者：著名的钢琴家)















八年级数学下册知识点总结











第十六章

分式


1.

分式的 定义：如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字母，那么 式子
A
叫做分式。

B
A
A

C

B
B

C
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子 为零且分母不为零

A
A

C

2.
分式 的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于
0
的整式，分式的值不变。







C



（
C

0
）

B




B
3.
分式的通分和约分：关键先是分解因式

a
c
ac
a
c
a
d
ad


;< br>



4.
分式的运算：

b
d
bd
b
d
b
c
bc
分式乘法法则：分式乘分式，用 分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。


分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。


n
a
a
a
b
a

b
a
c
ad
bc
ad

bc
(
)
n
< br>n
,




分式乘方法则：


分式乘方要把分子、分母分别乘方。



b
b
c
c
c
b
d
bd
bd
bd
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分 ，变为同分母分式，
然后再加减

混合运算
:
运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。


n
5.
任何一个不等于零的数的零次幂等于
1
，

即
a

1
(
a

0
)
；当
n
为正整数时 ，
a

0
1


（
a

0
)

a
n
6.
正整数指数幂运算性质
也可以推广到整数指数幂．
(m,n
是整数
)

（
1
）同底数的幂的乘法：
a

a

a< br>（
2
）幂的乘方：
(
a
)

a
n< br>m
n
mn
m
n
m

n
；

;
n
（
3
）积的乘方：
(
ab
)

a
b
；

（
4
）同底数的幂的除法：
a

a

a
m
n
m

n
n
( a
≠
0)
；

a
n
a
n< br>（
5
）商的乘方：
(
)

n
()
；
(b
≠
0)
b
b
7.
分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

解分式方程的过程， 实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母）
，把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要 验
根。

解分式方程的步骤

：

(1)
能化简的先化简
(2)
方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
(3)
解 整式方程；
(4)
验根．


增根应满足两个条件：一是其值应使最 简公分母为
0
，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。


分式 方程检验方法：
将整式方程的解带入最简公分母，
如果最简公分母的值不为
0
，
则整式方程的解是原分式方程的解；
否则，这个解不是原分式方程的解。


列方程应用题的步骤是什么？
(1)
审；
(2)
设；
(3 )
列；
(4)
解；
(5)
答．

应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种：
(1)
行程问题：基本公式： 路程
=
速度×时间而行程问题中又分
相遇问题、追及问题．
(2)
数字问题

在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)
工程问题

基本公式：工作量
=
工时
×工效．
(4)
顺水逆水问题
v
顺水
=v
静水
+v
水
．
v
逆水
=v
静水
-v
水
．

8.
科学记数法：把一个数表示成
a

10
的形式（其中
1
< br>a

10
，
n
是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于
10
的
n
位整数时，其中
10
的指数是
n

1

用科学记数法表示绝对值小于
1
的正小数时
,
其中
10
的指数是第一个非
0
数字前 面
0
的个数
(
包括小数点前面的一个
0)
n
1
1
1
例
1
如果
abc=1,求证
ab

a

1
+
bc

b

1
+
ac

c

1
=1



9
1
1
b
a
2
已知
a
+
b
=
2
(
a

b
)
，则
a
+
b
等于多少？












第十七章

反比例函数


1.
定义：形如
y
＝
k
1

1
（
k
为常数，k≠0
）的函数称为反比例函数。其他形式
xy=k
y

kx
y

k


x
x

2.
图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象 既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线
y=x
和

y=-x
。对称中心是：原点

3.
性质
:
当k
＞
0
时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内
y
值随
x
值的增大而减小；






当
k
＜
0
时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内< br>y
值随
x
值的增大而增大。


4.|k|
的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

例
1
一张边长为
16
cm
正方形的纸片，剪去两个面积一 定且一样的小矩形得到一个“
E
”图案如图
1
所示．小
矩形的长x
（
cm
）与宽
y
（
cm
）之间的函数关系如 图
2
所示：

（
1
）求
y
与

x
之间的函数关系式；

（
2
）
“
E
”图案的面积是多少？

（< br>3
）如果小矩形的长是
6
≤
x
≤
12cm
， 求小矩形宽的范围
.


































第十八章

勾股定理


1.
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为< br>a
，
b
，斜边长为
c
，那么
a
2
＋
b
2
=c
2
。

2.
勾股定理逆定理：如 果三角形三边长
a,b,c
满足
a
2
＋
b
2
=c
2
。
，那么这个三角形是直角三角形。


3.
经过证明被确认正确的命题叫做定理。


y
我们把题 设、
结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，
那么另一个 叫做它的逆命题。
（例：
勾股定理与勾股定理逆定理）




例如图
11
，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点
M
（ －
2
，
-
1
）
，且
P
（
-
1
，－
2
）为双曲线上的一点，
Q
为
坐标平面上一动点，
PA
垂直于
x
轴，
QB
垂直于
y
轴，垂足 分别是
A
、
B
．

（
1
）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

B
Q（
2
）
当点
Q
在直线
MO
上运动时，直线MO
上是否存在这样的点
Q
，
使得△
OBQ
与△
OAP
面积相等？如果存在，
请求出点
y


的坐标，如 果不存在，请说明理由；

A
O
x
Q
（
3
）如图
12
，当点
Q
在第一象限中的双曲线上运动时，作以
OP< br>、
OQ
为邻边的平行四边形
OPCQ
，求平行四边形
OPCQ
周长的最小值．



B
M
A
O
x
P
图
11
M
C
P



























第十九章

四边形


平行四边形定义：


有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。


平行四边形的 性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。

< br>平行四边形的判定
1.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
2.
对 角线互相平分的四边形是平行四边形；










3.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。


A
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。


D
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

C
B
矩形的性质：



矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
AC=BD


矩形判定定理：

1.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.
对角线相等的平行四边形是矩形。















3.
有三个角是直角的四边形是矩形。

菱形的定义

：邻边相等的平行四边形。

菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互 相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。


菱形的判定定理：

1.
一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

















3.
四条边相等的四边形是菱形。
S
菱形< br>=1/2×
ab
（
a
、
b
为两条对角线）


正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。

正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。

正方形既是矩形，又是菱形。


正方形判定定理：

1.
邻边相等的矩形是正方形。






2.
有一个角是直角的菱形是正方形。


梯形的定义：

一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。


直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形

等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。

等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。


等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。


解梯形问题常用的辅助线：如图

线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。

三角形的三条中线交于疑点，这一点就
是三角形的重心。

宽和长的比是5
-
1
（约为
0.618
）的矩形叫做黄金矩形。


2
例

如图，在△
ABC
中，∠
A、∠
B
的平分线交于点
D
，
DE
∥
AC
交
BC
于点
E
，
DF
∥
BC
交
AC
于点
F
．

（
1
）点
D
是△
ABC
的
________
心；


（
2
）求证：四边形
DECF
为菱形



图
7


例

已知
:
如图
,
在矩形
ABCD
中
,E
、
F
分别是边
BC
、
AB
上的点
,
且
EF=ED,EF
⊥
ED.
求证
:AE
平分∠
BAD.

E
B
C


F

A
D
（第
23
题）







第二十章

数据的分析


1.
加权平均数：加权平均数的计算公式。


权的理解
:
反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。

2.
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，
如果数据的个数是奇数，< br>则处于中间位置的数就是这组数据的
中位数
(median)
；如果数据的个数 是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。


3.
一组数据 中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（
mode
）
。

4.
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差
(range)
。


5.

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。


数据的收集与整理的步骤：
1.
收集数据
2.
整理数据
3.
描述数据
4.
分析数据
5.
撰写调查报告
6.
交流


6.
平 均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。

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