-巨蟹座男生

2021年2月2日发(作者：新沂捆香蹄)
相遇追及问题

一、考点、热点回顾

一、追及问题

1.
速度小者追速度大者

类型

匀加速追匀速

图象

说明

①
t=t
0
以前，
后面物体与
前面物体间距离增大

②
t=t
0
时，
两物体相距最
远为
x
0< br>+
Δ
x

匀速追匀减速

③
t=t
0
以后，
后面物体与
前面物体间距离减小

④能追及且只能相遇一
次



匀加速追匀减速



2.
速度大者追速度小者

度大者追速度小者

匀减速追匀速

开始追及时，
后面物体与
前面物体间的距离在减小，
当
两物体速度相等时，即
t=t0
时刻：


①< br>若
Δ
x=x0,
则
恰
能
追
及，
两物 体只能相遇一次，
这
匀速追匀加速

也是避免相撞的临界条件
②
若
Δ
x则
不
能
追
及，此时 两物体最小距离为
x0-
Δ
x
③若Δ
x>x0,
则相遇两 次，设
t1
时刻Δ
x1=x0,
两物体第一

次相遇
，则
t2
时刻两物体第
二次相遇


匀减速追匀加速



①表中的Δ
x
是开始追及以 后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移；

②
x
0
是开始追及以前两物体之间的距离；

③
t
2
-t
0
=t
0
-t
1
;
④< br>v
1
是前面物
体的速度，
v
2
是后面物体的速度.
二、相遇问题

这一类
:
同向运动的两物体的相遇问题
,
即追及问题
. < br>第二类
:
相向运动的物体
,
当各自移动的位移大小之和等于开始时两物 体的距离时相遇
.
解此类问题首先应注意先画示意图
,
标明数值及物理量< br>;
然后注意当被追赶的物体做匀
减速运动时
,
还要注意该物体是否停止 运动了
.
求解追及问题的分析思路

(1)
根据追赶和被 追赶的两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程，并注意两物
体运动时间之间的关系．

(2)
通过对运动过程的分析，画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式． 追
及的主要条件是两个物体在追上时位置坐标相同．

(3)
寻找问 题中隐含的临界条件．例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等
时有最大距离；
速度 大者减速追赶速度小者，
在两物体速度相等时有最小距离，等等．
利用
这些临界条件常 能简化解题

过程．

(4)
求解此类问题的方法，
除了以上所述根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，
还有利用二次

函数求极值，及应用图象法和相对运动知识求解．

相遇问题

相遇问题的分析思路：

相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，
其 主要条件是两物体在相遇处的位置
坐标相同．

（
1)
列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系．

(2)
利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系．

(3)
寻找问题中隐含的临界条件．

(4)
与追及中的解题方法相同．


二、典型例题
【
例
1
】
物体
A
、
B
同时从同一地点 ，
沿同一方向运动，
A
以
10m/s
的速度匀速前进，
B< br>以
2m/s
的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求
A
、
B
再次相遇前两物体间的最大距离．


【
解析一
】

物理分析法

A
做

υ
A
＝
10 m/s
的匀速直线运动，
B
做初速度为零、加速度
a
＝
2 m/s
的匀加速直线运
动．根据题意，开始一小段时间内，
A
的速度大于B
的速度，它们间的距离逐渐变大，当
B
的速度加速到大于
A
的 速度后，它们间的距离又逐渐变小；
A
、
B
间距离有最大值的临界条
件是
υ
A
＝
υ
B
．

①

设两物体经历时间
t
相距最远，则
υ
A
＝
at

②

把已知数据代入①②两式联立得
t
＝
5 s
在时间
t内，
A
、
B
两物体前进的距离分别为


s
A
＝
υ
A
t
＝10×5 m＝
50 m
1
2
1
2

s
B
＝
at
＝
×2×5
m
＝
25 m
2
2
A
、
B
再次相遇前两物体间的最大距离为
< br>Δ
s
m
＝
s
A
－
s
B
＝< br>50 m
－
25 m
＝
25 m
【
解析二
】

相对运动法


因为本题 求解的是
A
、
B
间的最大距离，所以可利用相对运动求解．选
B为参考系，则
A
相对
B
的初速度、末速度、加速度分别是
υ0
＝
10 m/s
、
υ
t
＝
υ
A－
υ
B
＝
0
、
a
＝－
2 m/s
．



根据
υ
t
－
υ
0
＝
2
as
．有
0
－
10
＝2×
(-2)
×
s
AB



解得Ａ、
B
间的最大距离为
s
AB
＝
25 m
．

【
解析三
】

极值法

1
2
1
2
5
物体
A
、
B
的位移随 时间变化规律分别是
s
A
＝
10
t
，
s
B
＝
at
＝
×2×
t

＝
t
. < br>2
2
则
A
、
B
间
的
距
离< br>Δ
s
＝
10
t
－
t
，
可
见
，
Δ
s
有
最
大
值
，
且
最
大
值
为
2
4×
(
－
1)
×0－< br>10
Δ
s
m
＝
m
＝
25 m
4×
(
－
1)
【
解析四
】

图象法

根据题意作出
A
、
B
两物体的
υ
-
t
图象，如图
1-5-1
所示．由图可知，
A
、
B
再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是
υ
A
＝
υ
B
，得
t
1
＝
5 s
．

A、
B
间
距
离
的
最
大
值
数值
上
等
于
Δ
Oυ
A
P
的
面< br>积
，
即
1
Δ
s
m
＝
×5×10 m＝
25 m
．

2
【
答案
】
25 m
【
点拨
】相遇问题的常用方法

(1)
物理分析法：抓好 “两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，
按（解法一）中的思
2
2
2< br>2
2
2
路分析．

(2)
相对运动法：巧妙地选取参考系，然后找两物体的运动关系．

(3)
极值法：设相遇时间为
t
，根据条件列方程，得到关于
t
的一元二次方程，用 判别
式进行讨论，若△＞
0
，即有两个解，说明可以相遇两次；若△＝
0，说明刚好追上或相碰；
若△＜
0
，说明追不上或不能相碰．

(4)
图象法：将两者的速度时间图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解．



拓展

如图
1-5-2
所示是甲、乙两物体从 同一地点，沿同一方向做直线运动的
υ
－
t
图象，由图象可以看出

（

〕

A
．这两个物体两次相遇的时刻分别是
1s
末和
4s
末

B
．这两个物体两次相遇的时刻分别是
2s
末和
6s
末

C
．两物体相距最远的时刻是
2s
末

D
．
4s
末以后甲在乙的前面

【
解析
】从图象可 知两图线相交点
1s
末和
4s
末是两物速度相等时刻，从
0→2s， 乙追赶甲
到
2s
末追上，从
2s
开始是甲去追乙，在
4s< br>末两物相距最远，到
6s
末追上乙．故选
B
．

【
答案
】
B
【实战演练
1
】
（2011 ·新课标全国卷）
甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速
度方向一直不变。
在第一段时间间隔内，
两辆汽车的加速度大小不变，
汽车乙的加速度大小
是甲的两倍；
在接下来的相同时间间隔内，
汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，
汽车乙
的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。

【 思路点拨】
解答本题时可由运动学公式分别写出两汽车的速度和位移方程，
再根据两车加
速度的关系，求出两车路程之比。

【精讲精析】
设汽车甲在第一段时间间隔末（时 刻
t
0
）的速度为
v
，第一段时间间隔内行驶
的路程为s
1
，加速度为
a
，在第二段时间间隔内行驶的路程为
s
2
，由运动学公式有，

v=a t
0

①

1
2
s
1
=
a t
0

②

2
1
2
s
2
=v t
0
＋
2a t
0

③

2
设汽车乙在时刻
t
0
的速度为
v
′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为
s
1′、
s
2
′，
同理有，

v′=
2a t
0

④

1
2
s
1
′=
2a t
0

⑤

2
1
2
s
2
′=v′ t
0
＋
a t
0

⑥

2设甲、乙两车行驶的总路程分别为
s
、
s
′，则有

s= s
1
＋
s
2

⑦

s′= s
1
′＋
s
2
′

⑧

联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶路程之比为

s
5
=

s′
7
5
答案：


7
【实战演练
2
】
(2011
·
安徽省 级示范高中名校联考
)
甲、乙两辆汽车，同时在一条平直的公
路上自西向东运动，开始 时刻两车平齐，相对于地面的
v
－
t
图象如图所示，关于它们的运
动 ，下列说法正确的是
(

)

A
．甲车中的乘客说，乙 车先以速度
v
0
向西做匀减速运动，后向东做匀加速运动

B
．乙车中的乘客说，甲车先以速度
v
0
向西做匀减速运动，后做匀加速运动

C
．根据
v
－
t
图象可知，开始乙车在前，甲车在后，两车 距离先减小后增大，当乙车速
度增大到
v
0
时，两车恰好平齐
D
．根据
v
－
t
图象可知，开始甲车在前，乙车在后，两车距离 先增大后减小，当乙车速
度增大到
v
0
时，两车恰好平齐

【答案】
A
【详解】甲车中的乘客以甲车为参考系，相当于甲车静止不动，乙车以初 速度
v
0
向西
做减速运动，速度减为零之后，
再向东做加速运动，所 以
A
正确；
乙车中的乘客以乙车为参
考系，相当于乙车静止不动，甲车以初速 度
v
0
向东做减速运动，速度减为零之后，再向西
做加速运动，所以
B
错误；以地面为参考系，当两车速度相等时，距离最远，所以
C
、
D
错
误．

考点
2
相遇问题

相遇问题的分析思路：

相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，
其 主要条件是两物体在相遇处的位置
坐标相同．

（
1)
列出两物体运动的位移方程、注意两个物体运动时间之间的关系．

(2)
利用两物体相遇时必处在同一位置，寻找两物体位移间的关系．

(3)
寻找问题中隐含的临界条件．

(4)
与追及中的解题方法相同．

【
例
2
】
甲、 乙两物体相距
s
，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度
为
a
1
的匀加速直线运动，
乙在后做初速度为
υ
0
，
加速度为
a
2
的匀加速直线运动，
则

（


）

A
．若
a
1
＝
a
2
，则两物体可能相遇一次

B
．若
a
1
＞
a
2
，则两物体可能相遇二次

C
．若
a
1＜
a
2
，则两物体可能相遇二次

D
．若
a< br>1
＞
a
2
，则两物体也可相遇一次或不相遇

1
2
1
2
【
解析
】

设乙追上甲 的时间为
t
，追上时它们的位移有
υ
0
t
＋
a2
t
－
a
2
t
＝
s

22
上式化简得：
(
a
1
－
a
2
)t
－
2
υ
0
t
＋
2
s
＝0
2
υ
0
±
4
υ
0
－
8< br>s
(
a
1
－
a
2
)
解得：
t
＝

2(
a
1
－
a
2
)
(1)
当
a
1
＞
a
2
时，差别式“△”的值由< br>υ
0
、
a
1
、
a
2
、
s< br>共同决定，且
△＜
2
υ
0
，而△的值
可能小于零、等 于零、大于零，则两物体可能不相遇，相遇一次，相遇两次，所以选项
B
、
D
正确．

－
2
υ
0
±
4
υ
0－
8
s
(
a
2
－
a
1
)（
2
）当
a
1
＜
a
2
时，
t
的表达式可表示为
t
＝

2(
a
2
－a
1
)
显然，△一定大于零．且
△＞
2
υ
0< br>，所以
t
有两解．但
t
不能为负值，只有一解有物理意
义，只 能相遇一次，故
C
选项错误．

(3)
当
a
1＝
a
2
时，解一元一次方程得
t
＝
s
/
υ
0
，一定相遇一次，故
A
选项正确．

【
答案
】
A
、
B
、
D
【
点拨
】注意灵活运用数学方法，如二元一次方程△判别式．本题还可以用
v
—
t
图像分析
求解。



拓展

A、
B
两棒均长
1
ｍ，
A
棒悬挂于天花板上，
B
棒与
A
棒在一条竖直线上，直立在地面，
A
棒
的下端与B
棒的上端之间相距
20
ｍ，如图
1-5-3
所示，某时刻烧断 悬挂
A
棒

的绳子，同时将
B
棒以
v
0< br>=20
ｍ
/
ｓ的初速度竖直上抛，若空气阻力可忽略不计

2
，且
g
=10m/s
，试求：

（
1
）
A
、
B
两棒出发后何时相遇？
< br>（
2
）
A
、
B
两棒相遇后，交错而过需用多少时间？

【解析】
本题用选择适当参考系，能起到点石成金的效用。

由于
A
、
B
两棒均只受重力作用，则它们之间由于重力引起的速度改变相同，它们 之间只有
初速度导致的相对运动，故选
A
棒为参考系，则
B
棒相对< br>A
棒作速度为
v
0
的匀速运动。

则
A
、
B
两棒从启动至相遇需时间

t
1

L
20

s

1
s

v
0
20
2
2
2
当
A
、
B
两棒相遇后，交错而过需时间


t
2

2
l

2
s

0
.
1
s

v
0
20
A
l
=1
【
答案
】
(1) 1
s
(2) 0.1
s





L=20
B
l
=1
图
1-5-3

< br>【例
3
】
（易错题）
经检测汽车
A
的制动性能：以标 准速度
20m/s
在平直公路上
行驶时，制动后
40s
停下来。现< br>A
在平直公路上以
20m/s
的速度行驶发现前方
180m
处 有一
货车
B
以
6m/s
的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发 生撞车事故？

【错解】
设汽车
A
制动后
40s
的 位移为
x
1
，货车
B
在这段时间内的位移为
x
2< br>。

据
a

v

v
0
得车 的加速度
a
=-0.5m/s
t
又
x
1

v
0
t

1
at
2
得

2

x
1

20

40
< br>1

(

0
.
5
)
40
2

400
m

2
x
2

v
2
t

6

40

240
m

x
2
=
v
2
t
=6×40=240（
m< br>）

两车位移差为
400-240=160
（
m
）

因为两车刚开始相距
180m
＞
160m
所以两车不相撞。

【错因】
这是典型的追击问题。关键是要弄清不相撞的条 件。汽车
A
与货车
B
同速时，
两车
位移差和初始时刻两车距 离关系是判断两车能否相撞的依据。
当两车同速时，
两车位移差大
于初始时刻的距离时 ，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。而错解中的判据条件错误导致
错解。

【正解 】
如图
1
－
5
汽车
A
以
v
0=20m/s
的初速做匀减速直线运动经
40s
停下来。据加速度公
2< br>式可求出
a
=-0.5m/s
当
A
车减为与
B
车同速时是
A
车逼近
B
车距离最多的时刻，这时若能
超过
B
车则相撞，反之则不能相撞。



据
v
2
v
0
2

2
ax
可求出
A
车减为与
B
车同速时的位移


x
1

v
2

v
2
0
2
a

400
36
m

364
m

2

0
.
5
图
1-5-4

此时 间
t
内
B
车的位移速
s
2
,
则
t

x
2

v
2
t

6

28
m

168
m

v
2

v
0

a
△
x
＝
364-168
＝
196
＞
180
（
m
）

所以两车相撞。

【点悟】
分析

追击问题应把 两物体的位置关系图画好。如图
1-5-4
，通过
此图理解物理情景。
本题也 可以借图像帮助理解，
如图
1-5-5
所示，
阴影区是
A
车 比
B
车多
通过的最多距离，
这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相 撞。
小于、
等于则不相
撞。
从图中也可以看出
A
车速度成为 零时，
不是
A
车比
B
车多走距离最多的时刻，
因此不能作为临界条件分析。

【实战演练
1
】
(2011
·长 沙模拟
)
在平直公路上，自行车与同方向行驶的一辆汽车在
t=0
时
同时经过某一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：汽车
x=10t-t
2
，自行 车
x=5t
，
(x
的单位为
m
，
t
的单位 为
s)
，则下列说法
正确的是
( )
A.
汽车做匀加速直线运动，自行车做匀速直线运动

B.
经过路标后的较短时间内自行车在前，汽车在后

C.
在
t=2.5 s
时，自行车和汽车相距最远

D.
当两者再次同时经过同一位置时，它们距路标
12.5 m
【答案】选
C.
【详解】由汽车和自行车位移随时间变化的规律知，汽车做匀减速运 动，
v
0
=10 m/s
，
a=-2
m/s
2
，自行车做匀速直线运动，
v=5 m/s
，故
A
、
B
错误
.
当汽车速度和自行车速度相等时，
相距最远.
根据
v=v
0
+at
，
t=2.5 s
，< br>C
正确
.
当两车位移相等时再次经过同一位置
,
故
1 0t
′
-t
′
2
=5t
′
,
解得
t
′
=5 s,
x=25 m
，故
D
错误
. < br>【实战演练
2
】(2011·东北三校联考
)
从同一地点同时开始沿同 一直线运动的两个物体Ⅰ、
Ⅱ的速度—时间图象如图所示．在
0
～
t
2
时间内，下列说法中正确的是
(

)

A
．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小

B
．在第一次相遇之前，
t
1
时刻两物体相距最远

C
．
t
2
时刻两物体相遇

D
．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是
【答案】
B
【详解】速度
—
时间图象中Ⅰ物体的斜率逐渐减小，即Ⅰ物体的加速度逐渐减小，所以
Ⅰ物体所受合 外力不断减小，
A
错误；在
0
～
t
1
时间内，Ⅱ物 体的速度始终大于Ⅰ物体的速
度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，
B
正确；在速度
—
时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到
t
2
时刻，Ⅰ物体速度图线所围面积大于
Ⅱ物体速度图线所围面积，两物体平均速度不 可能相同，
C
、
D
错误．

v
1
＋
v
2
2

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