高一物理相遇和追及问题(含详解)
绝世美人儿
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2021年02月02日 05:04
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相遇和追及问题
【要点梳理】
要点一、机动车的行驶安全问题：
1
、
反应时间：人从发现情况到采取相应措施经过的时间为反应时间。
2
、
反应距离：在反应时间内机动车仍然以原来的速度
v
匀速行驶的距离。
3
、
刹车距离：从刹车开始，到机动车完全停下来，做匀减速运动所通过的距离。
4
、
停车距离与安全距离：反应距离和刹车距离之和为停车距离。停车距离 的长短由反应距离和刹车距离
共同决定。安全距离大于一定情况下的停车距离。
要点二、追及与相遇问题的概述
1
、
追及问题的两类情况
(1)
速度小者追速度大者
(2)
速度大者追速度小者
第
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说明
: ①表中的
Δ
x
是开始追及以
后
,
后面物体因速度大而比
前面物体多运动的位移；
②
x
0
是开始追及以前两物
体之间的距离；
③< br>t
2
-t
0
=t
0
-t
1
；
④
v
1
是前面物体的速度
,v
2
是后面物体的 速度
.
特点归类：
(1)
若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度．
(2)
若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．
2
、
相遇问题的常见情况
(1)
同向运动的两物体的相遇问题
,
即追及问题
.
(2)
相 向运动的物体
,
当各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇
.
解此类问题首先应注意先画示意图
,
标明数值及物理量
;
然后注意当被追赶的物体做匀减速运动时
,
还要注意该物体是否停止运动了
.
【典型例题】
类型一、
机动车的行驶安全问题
例
1
、
为了安全，在高速公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离。已知某高速公路 的最高限速为
v=120km/h
。假设前方车辆突然停止运动，后面汽车的司机从眼睛发现这 一情况，经过大脑反应，指挥手、
脚操纵汽车刹车，到汽车真正开始减速，所经历的时间需要
0 .50s
（即反应时间）
，刹车时汽车所受阻力是
车重的
0.40
倍 ，为了避免发生追尾事故，在该高速公路上行驶的汽车之间至少应保留多大的距离？
【答案】
156m
【解析】
v
120km
/< br>h
33.3m
/
s
匀减速过程的加速度大小为< br>a
kmg
/
m
4m
/
s
2
。匀速阶段的位移
s
1
vt
1
1 6.7m
,
减速阶段的位移
s
2
v
2
/
2a
139m
，所以两车至少相距
s
s1
s
2
156m
。
【点评】刹 车问题实际上是匀变速直线运动的有关规律在减速情况下的具体应用，要解决此类问题，首先
要搞清楚在 反应时间里汽车仍然做匀速直线；其次也要清楚汽车做减速运动，加速度为负值；最后要注意
单位统一。
举一反三
【变式】酒后驾车严重威胁交通安全．其主要原因是饮酒会使人 的反应时间
(
从发现情况到实施操作制动
的时间
)
变长，
造 成制动距离
(
从发现情况到汽车停止的距离
)
变长，
假定汽车以108
km/h
的速度匀速行驶，
刹车时汽车的加速度大小为
8 m/s
，正常人的反应时间为
0.5 s
，饮酒人的反应时间为
1.5 s
，试问：
(1)
驾驶员饮酒后的反制距离比正常时多几米？
(2)
饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止需多少时间？
【答案】
(1)30 m
(2)5.25 s
【解析】
(1)
汽车匀速行驶
v
＝
108 km/h
＝
30 m/s
正常情况下刹车与饮酒后刹车，从刹车到车停止这段时间的 运动是一样的，设饮酒后的刹车距离比正常时
2
30 m
多
Δ
s
，反应时间分别为
t
1
＝
0.5 s
、
t
2
＝
1
.5 s
则
s< br>＝
v
(
t
2
－
t
1
)
代入 数据得
s
＝
(2)
饮酒的驾驶员从实施操作制动到汽车停止所用时 间
t
3
＝
(0
－
v
)
/
a
解得
t
3
＝
3.75 s
5.25 s
所以饮酒的驾驶员从发现情况到汽车停止所需时间
t
＝
t
2
＋< br>t
3
解得
t
＝
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类型二、
追及问题一：速度小者追赶同向速度大者
2
例
2
、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以
3m/s
的加速度开始加速行驶， 恰在这时一辆自
行车以
6m/s
的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：
（
1
）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过
多长时间两车相距最远？此时距离是多 少？
【答案】
2s 6m
【解析】
：
方法一：临界状态法
汽车在追击自行车的过 程中，
由于汽车的速度小于自行车的速度，
汽车与自行车之间的距离越来越大；
当汽车 的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小。很显然，当汽车的速度与自
行车的 速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间
t
两车之间的距离最大。则
v
汽
a
t
v
自
∴
t
方法二：图象法
v自
6
1
1
s
2s
x< br>m
x
自
x
汽
v
自
t
at
2
6
2m
3
2
2
m
6m
2
2
a
3
在同一个
v
-t
图象中画出自行车和汽车的速度
-
时间图线，如图所示。其中Ⅰ表示自行 车的速度图线，
Ⅱ表示汽车的速度图线，
自行车的位移
x
自
等于图线 Ⅰ与时间轴围成的矩形的面积，
而汽车的位移
x
汽
则等
于 图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难
看 出，当
t
=
t
0
时矩形与三角形的面积之差最大。
此
时
v
汽
a
t
0
自
v
，
t
0
v自
6
s
2s
a
3
，
< br>S
m
1
1
t
0
v
自< br>
2
6m
6m
2
2
方法三：二次函数极值法
设经过时间
t
汽车和自行车之间的距离
x
，则
1
2
3
2
3
2
x
x
x
v
t
at
6
t
t
(
t
2)
6
自
汽
自
2
2
2
当t
2s
时两车之间的距离有最大值
x
m
， 且
x
m
6m.
【点评】
(1)在解决追及相遇类问题时，要紧抓“一图三式”
，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式
和位移关系式，另外还要注意最后对解的讨论分析．
(2)
分析追及、 相遇类问题时，要注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚
好”
、“恰好”
、
“最多”
、
“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的 临界条件．
(3)
解题思路和方法
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举一反三
【变式
1
】小轿车在十字路口等绿灯亮后，以
1m/s
的加速度启动，恰在此时，一辆大卡车以
7m/s
的速度
从旁超过，做同向匀速运动，问（
1
）小轿车追上大卡车时已 通过多少路程？（
2
）两车间的距离最大时为
多少？
【答案】
98m 24.5m
【变式
2
】甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以
10 m/s
的速度匀速行驶，乙以
2
m/s
的加速度由静止启动，求：
【答案】
(1)10 s
2
倍
(2)5 s
相等
(1)
经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？
(2)
追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？
22
t
1
，
【解析】
(1)
乙车追上甲车时，
二 者位移相同，
设甲车位移为
x
1
，
乙车位移为
x
2
，
则
x
1
＝
x
2
，
即
v t
11
＝
a
解得
t
1
＝
10 s
，
v
2
＝
at
1
＝
20 m
/
s
，因此
v
2
＝
2
v
1
.
1
2
2
at
2
＝
10
t
2
－
t
(2)
设追上前二者之间的距离 为
x
，则
Δ
x
＝
x
1
－
x
2
＝
v
1
t
2
－
由数学知识知：当
t
2
＝
类型三、
追及问题二：速度大者减速追赶同向速度小者
例
3
、火车以速度
v
1
匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距
S
处有另 一列火车沿同方向以速度
v
2
（对地、
且
v
1
< br>v
2
）做匀速运动，司机立即以加速度
a
紧急刹车，要使两车不相撞，
a
应满足什么条件？
1
2
2
10
s
5
s
时，两者相距最远，此时
v
2
＝v
1
.
2
1
(
v
2
< br>v
1
)
2
【答案】
a
2
s
【解析】方法一：设两车恰好相撞
(
或不相撞
)
，所用时间为< br>t
，此时两车速度相等
1
v
1
t
at
2
v
2
t
s
v
1
at
v
2
2
(
v
2
< br>v
1
)
2
(
v
2
v
1< br>)
2
解之可得：
a
即，当
a
时，两车不会相撞。
2
s
2
s
1
2at
v
2
t
s
2
2
方法 二：要使两车不相撞，其位移关系应为：
v
1
t
(v
2
v
1
)
2
对任一时间
t
，不等式都成立的条件为
=
（
v
2
v
1
）
2as
0
由此得
a
2
s
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【点评】分析解决两物体的追及、相遇类问题，应首先在 理解题意的基础上，认清两物体在位移、速度、
时间等方面的关联，必要时须画出运动关联的示意图。这 类问题的特殊之处是常与极值条件或临界条件相
联系。分析解决这类问题的方法有多种，无论哪一种方法 ，分析临界条件、解决相关的临界条件方程或用
数学方法找出相关的临界值，是解决这类问题的关键和突 破口。
举一反三
【变式
1
】汽车正以
10m/ s
的速度在平直公路上前进，突然发现正前方
s
处有一辆自行车以
4m/s
的速度
2
做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做匀减速运动，加速度大小为< br>6m/s
，若汽车恰好不碰上自
行车，则
s
大小为多少？
【答案】
3m
【变式
2
】甲
､
乙两辆 汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动
,t=0
时刻同时经过公路旁的同一个路标
.
在描述两车运动的
v-t
图中
(
如图
),
直线< br>a
､
b
分别描述了甲
､
乙两车在
0~20 s
的运动情况
.
关于两车之间的
位置关系
,
下列说法正确的是
( )
A.
在
0~10 s
内两车逐渐靠近
B.
在
10~20 s
内两车逐渐远离
C.
在
5~15 s
内两车的位移相等
D.
在
t=10 s
时两车在公路上相遇
【答案】
C
【解析】由题图知乙做匀减速运动
,
初速度
v
乙
=10 m/s,
加速度大小
a
乙
=0.5 m/s
;
甲做匀速直线运动
,
速度
v
甲
=5 m/s.
当
t=10 s
时
v
甲
=v
乙
,
甲
､
乙两车距离最大
,
所以
0~10 s
内两车越来越远
,10~15 s
内两车距离越
来越小
,t=20 s
时
,
两车距离为零
,
再次相遇
.
故
A< br>､
B
､
D
错误
.
因
5~15 s
时 间内
v
甲
=
v
乙
,
所以两车位移相等
,< br>故
C
正确
.
类型四、
相遇问题
例
4
、在某市区内，一辆小汽车在公路上以速度
v
A
向东行驶，一位观光游客 正由南向北从斑马线上横过马
路。汽车司机发现游客途经
D
处时，经过
0.7 s
作出反应紧急刹车，但仍将正步行至
B
处的游客撞伤，该
汽车最终在
C
处停下，如图所示。为了判断汽车司机是否超速行驶以及游客横穿马路的速度是否过快，警
方派一车胎磨损情况与肇事汽车相当的警车以法定最高速度
v
m
＝
在
14.0m
/
s
行驶在同一马路的同一地段，
肇事汽车的起始制动点
A
紧急刹车，经
14.0
ｍ后停下来。在事故现场测得
AB
＝
17.5
ｍ，
BC
＝
14.0
ｍ，
2
BD
＝
2.6
ｍ．肇事汽车的刹车性能良好，问：
（
1
）该肇事汽车的 初速度
v
A
是多大
?
（
2
）游客横过
马路的速度是多大
?
【答案】
21m/s 1.53 m/s
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【解析】
（
1
）警车和肇事汽 车刹车后均做匀减速运动，其加速度大小
a
mg
m
< br>
g
，
与车子的质量无关，可将警车和肇事汽车做匀减速运动的加速 度
a
的大小视作相等。
2
2
对警车，有
v
m
2
a
s
，则
2as
；对肇事汽车，有
v
A
2
2
v
m
v
m
17
.
5
14
.
0
ss
14
.
0
2
，即
2
，故
v
A
v
m
＝
21
ｍ
/
ｓ。
< br>
14
.
0
v
A
s
v
A
A B
BC
17
.
5
14
.
0< br>2
v
A
AB
BC
17
.
5
14
.
0
（
2
）对肇事汽车，由
v
2
as
s
得
2
，
14
.
0
v
B
BC
2
0
故肇事 汽车至出事点
B
的速度为
v
B
14
.
0
v
A
＝
14.0
ｍ
/
ｓ。
17
.
5
14
.
0
AB
1
(
v
A
v
B
)
2
＝
1
ｓ，
肇事汽车从刹车点到出事点的时间
t
1
又司机的 反应时间
t
0
＝
0.7
ｓ，故游客横过马路的速度
v
BD
2
.
6
m/s
≈
1.53ｍ
/
ｓ。
t
0
t
1< br>0
.
7
1
【点评】研究物体的运动，首先要分析清楚物体的 运动过程。特别是当物体有多个运动阶段时，必须明确
问题所研究的是运动的哪一个阶段。当问题涉及多 个物体的运动时，应先分别独立研究各个物体的运动，
然后找出它们之间的联系。
举一反三
【变式
1
】羚羊从静止开始奔跑，经过
50m< br>的距离能加速到最大速度
25m/s
，并能维持一段较长的时间。
猎豹从静止开 始奔跑，经过
60m
的距离能加速到最大速度
30m/s
，以后只能维持这速 度
4.0s
。设猎豹距离
羚羊
x
时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击 后
1.0s
才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段做匀加速运
动，且均沿同一直线奔 跑，求：
（
1
）猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，
x
值应在什么范围？
（
2
）猎豹要在其加速阶段追到羚羊，
x
值应在什么范围？
【答案】
(1
）
31.875m
≤
x
≤
55m
（
2
）
x
≤
31.875m
【变式
2
】
一辆值勤的警车停在公路边，
当警员发现从他旁边以
10
m /s
的速度匀速行驶的货车严重超载时，
2
决定前去追赶，经过
5.5
s
后警车发动起来，并以
2.5
m/s
的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必
须控制在
90 km/h
以内．问：
(1)
警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)
警车发动后要多长时间才能追上货车？
【答案】
(1)75 m
(2)12 s
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