曲边梯形的面积(优秀教案)
温柔似野鬼°
949次浏览
2021年02月02日 15:13
最佳经验
本文由作者推荐
如何食疗补肾-吴尊韩庚
..-
曲边梯形的面积
(
优秀教案
)
————————————————————————————————
作者：
————————————————————————————————
日期：
2
1.5.1
曲边梯形的面积
一、教学目标
1
、知识与技能目标：
（
1）
通过问题情景，
经历求曲边梯形面积的过程，
初步了解、
感受定积分概 念的实际背景。
（
2
）理解求曲边梯形面积的
“
四步曲< br>”——
分割、近似代替、求和、取极限。
2
、过程与方法目标：
（
1
）通过问题的探究体会
“
以直代曲、无限逼近
”
的思想。
（
2
）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3
、情感、态度与价值观目标：
在探究中进一步感受极限的思想，体会直与 曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，
体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦， 感受数学的魅力。
二、学情分析
本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：
一是学生已学习过如何通过割补的方法计 算不规则直边图形的面积；学生在必修
3
的阅
读与思考内容中对刘徽的
“割圆术
”
求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：
一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，
一些数学名词难以准确理解，
因此需要借助民语教
材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌 握和学习；此外，
学生的汉语表达能力较差，需
要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何
“
以直代曲
”
，即学生如何将割圆术中
“
以直代曲，无限逼近
”
的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就 是：如何选择适当的直边图形（矩形、
三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作 和计算。
三、重点难点
教学重点：
探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：
把
“
以直代曲
”
的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解
“
无限逼近
”
的思想方法。
四、教学过程
一、问题情境—生活中的数学原型
【教师提问】
观察下面的图片，
从图片中截取一个平面图形，
观察图形，
如何求图形的面积？
图片一：
3
图形一：
【教 师提问】
观察下面的图片，
从图片中截取一个平面图形，
观察图形，
如何求图 形的面积？
图片二：
图形二：
4
【教师提问】
观察下面的图片，
从图片 中截取一个平面图形，
观察图形，
如何求图形的面积？
图片三：
图形三：
【思考】
“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？
5
【设计意图】
1.
从生活实际出发，
让学 生充分感受数学与生活息息相关，
生活中处处都能找到数学的原型。
2.
学 生通过分割和补足的方法求解直边图形，回顾“割补思想”
，为接下来探究如何对曲边
梯形以直 代曲做铺垫。
3.
对比“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别，为学生准确理解曲 边梯形的概念做铺垫。
4.
通过设立问题引发学生思考，从而引出本节课题。
二、概念辨析—“连续函数”与“曲边梯形”的概念
【学生活动】翻开课本
38
页，仔细研读书中“连续函数”与“曲边梯形”的概念。
【设计意图】
让学生回归课本进行自主学习，并发现概念中的关键内容。
三、知识回顾—割圆术
【讲授】
割圆术是由魏晋时期的数学家刘 徽首创，
所谓
“割圆术”
是用圆内接正多边形的面积去无
限逼近圆面积，并以 此求取圆周率的方法。
【教师提问】
1.
你能否总结出割圆术求圆面积的思想方法？
2.
将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼，能否应用到求曲边梯形的面积中？
【解答】
割圆术求圆面积的思想方法：
1.
将圆等分成
n
个小扇形。
2.
用小三角形面积近似代替小扇形面积。
3.
求小三角形面积之和。
4.
随着
n
的增大，小三角形面积之和不断逼近圆面积。
将割圆术求圆面积的思想方法进行提炼
1.
分割
2.
近似代替
3.
求和
4.
取极限
【设计意图】
回顾割圆术中正多边形逼近圆 的方法，
引发学生思考：
这种
“以直代曲”
的思想启发我们，
是否也 能用直边形逼近曲边梯形的方法，
求曲边梯形的面积。
同时，
通过在提炼思想方法的< br>
6
过程中，培养学生分析、归纳的习惯。
四、特例探究—类比割圆术的思想方法，求特殊的曲边梯形的面积
【思考】如何求由 直线
x=0,x=1,y=0
和曲线
y=x
²所围成的曲边梯形的面积
S
？
（一）分割
【自主探究】思考：应采用什么样的方式分割下面的曲边梯形才能有利于“以直代曲”？
【学生活动】
1.
分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.
通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】
方案一：
7
方案二：
【教师提问】选取方案一进行探究。
1.
如何将大曲边梯形等分成
n
个小曲边梯形？
2.将区间
[0,1]
等分成
n
个小区间，这
n
个小区间分 别是什么？
3.
单独研究第
i
个小区间，则第
i
个小区间是什么？
【解答】
1.
在区间
[0
，
1]
上等间隔地插入
n-1
个点，过这些点做
x
轴的垂线。
2.
将区间
[0,1]
等分成
n
个小区间，这< br>n
个小区间分别是：
3.
单独研究第
i
个小区间，则第
i
个小区间是：
8
【设计意图】
学生通过类比割圆术中
“ 将圆等分成
n
个小扇形”
这一步骤，经历分割曲边梯形的过程，
同
时 通过对比，
选出最佳方案进行进一步探究。
在探究的过程中，
充分带动学生的自主学习 意
识，并加强学生对“四步曲”中“分割”的理解和认识。培养学生学习数学的兴趣以及团队
协 作的精神。
（二）近似代替
【自主探究】思考：对每个小曲边 梯形如何“以直代曲”？（单独研究第
i
个小曲边梯形）
【学生活动】
1.
分小组讨论，并在纸上做出方案。
2.
通过对比各组方案，选出最佳方案。
【教师展示】
方案一：
方案二：
9
方案三：
方案四：
【思考】选取方案二进行探究。
怎样求出小矩形的面积？
【解答】
第
i
个区间的长度为：
10
第
i
个小矩形的高为：
（即区间左端点的函数值）
第
i
个小矩形的面积为：
【设计意图】
学生通过类比割圆术中“用小三角形面积近似代替小扇形面积”这一步骤，经历将第
i
个小
曲边梯形“以直代曲”的过程，同时通过对比，选出最佳方案进行进一步探究，并引导学生
带着 疑问进入下面的学习。
在探究的过程中，
培养学生善于思考的习惯，
以及自我创新的能
力。
（三）求和
【共同探究】思考：怎样求出
n
个小矩形的面积之和？
【师生互动】
引导学生分析如何求出
n
个小矩形的面积之和，共同探求解题思路。
具体求解过程由学生参
与，师生共同补充。
【提示】
给出公式：
1
2
2
2
L
(
n
1)
2
(n
1)
n
(2
n
1)
6
【讲授】
此处求出的小矩形面积之和称作曲边梯形面积的不足近似值。
【解答】
小矩形面积之和为：
11