生活需要挑战-茶叶基础知识

2021年2月2日发(作者：老城隍庙)
习题
1
求如图所示周期三角波的傅立叶级数表示，并画出频谱图。

X(t)
A


T
0
解：
x(t)
的一个周期可表示为：

2
0
T
0
2
t

A

T
2
A
t


0

t

0

2
T
0

x
(
t
)



A

T
2
A
t

0

t

0

2
T
0
2
常值分量：
a
0

T
0

T
0< br>2
T

0
2
4
2
0
2
A< br>x
(
t
)
dt


(
A

t
)
dt

A

T
0
0
T
0
T
0
2
T

0
2
T
2
余弦分量的幅值：

a
n

T
0
4
2
0
2
A
x
(
t
)
cos
n

0
tdt


(
A

t
)
cos
n

0
tdt


T
0
0
T
0
4
A









n=
1,3,5
…

n
2

2
T

















4
A
2
n

sin


n
2

2
2
0

n=2,4,6
…

2
正弦分量的幅值：
b
n< br>
T
0

T
0
2
T

0< br>2
x
(
t
)
sin
n

0
tdt

0

这样，该周期三角波的傅立叶级数展开式为：

A
4
A

1
1

A
4
A

1
x
(
t
)


2

cos

0
t

2
cos
3

0
t

2
cos
5

0
t




2

2
cos
n

0
t

2


3
5

2

n

1
n
A
n


n





0
3

0
5

0




0
3

0
5

0


练习
2
求指数衰减振荡信号
x
(
t
)

e
解一
：


at
sin

0
t
的频谱函数。
1


at
X
(

)

e< br>sin

0
te

j

t
dt
2

0
1


(
a
j

)
t

e
sin

0
t dt

0
2

j
sin

0
t< br>
(
e

j

0
t

e< br>j

0
t
)
2
1
j

< br>(
a

j


j

0
)< br>t

(
a

j


j
< br>0
)
t
X
(

)

[
e< br>
e
]
dt


0
2

2

1
j

1
1




2

2

(
a

j

)

j

0
(
a

j

)

j

0


1
1
2
2

(
a

j

)
2


0
解二
：

sin
2

f
0t

j


(
f

f
0)


(
f

f
0
)

2
e

at

1

a
< br>j
2

f
x
(
t
)

< br>(
t

T
)

x
(
t
< br>T
)

x
(
t
)

y
(< br>t
)

X
(
f
)

Y
(< br>f
)


e

at
sin
2

f
0
t



1
j
j

1
1



(
f

f
0
)


(
f

f
0
)





a

j
2

f
2
2

(
a

j
2

f
)

j
2

f
0
(
a

j
2

f
)

j
2

f
0

4.
求指数衰减函数

画出信号及其频谱图形。

的频谱函数

，
（

）。并定性
解
：（
1
）求单边指数函数

的傅里叶变换及频谱



（
2
）求余弦振荡信号

的频谱。


利用

函数的卷积特性
,
可求出信号

的频谱为



其幅值频谱为



a a`

b b`

c c`
题图

信号及其频谱图

注：本题可以用定义求，也可以用傅立叶变换的频移特性求解。


练习
3
已知信号
x(t)
的傅立叶变换为
X(f),求
f
(
t
)

x
(
t
)cos
2

f
0
t
的傅立叶变换。

解一：
F
(

)

1
2




x
(
t
)
e

j
t
dt

1


j

t< br>x
(
t
)
cos

te
dt
0


2

1

1
j
t

j

t

j

t
x
(
t
)
(
e

e
)
edt



2

2



1



j
(



0
)
t

j
(



0
)
t

x
(
t
)
e
d t

x
(
t
)
e
dt










4


1


X
(



0
)

X
(



0
)

2

解二：

cos
2

f
0
t



(
f

f
0
)


(
f

f
0
)

/
2

且

x
(
t
)


(
t

T
)

x
(
t

T
)

x
(
t
)
cos
2
< br>f
0
t

X
(
f
)

< br>
(
f

f
0
)


(< br>f

f
0
)

/
2

X< br>(
f

f
0
)
/
2

X< br>(
f

f
0
)
/
2


解三：根据信号的线性性好频移性
,
其频谱为
:

ej

0
t

e

j

0t

1
1
1
j

0
t
j

0
t

X
(


0
)

X
(



0
)
F
[
x
(
t
)
cos
2
 
0
t
]

F

x
(
t
)

F
x
(
t
)
e

F
x
(
t
)
e


2
2
2


2





1
< br>求周期方波的傅立叶级数（复指数函数形式）
，画出
|
c
n
| -

和

-

图。



解：
(1)
方波的时域描述为：




























(2)
从
而



：


2 .

求正弦信号

解
(1)



(2)

















的绝对均值

和均方根值


。



例
1:
求正弦函数

的自相关函数。

解：（
1
）掌握自相关函数的定义，根据计算公式求解。

根据式
(2.22)
得




（
2
）为解积分，进行变量代换。

式中

－是正弦函数的周期，

带入上式，则得


。

令



例
2
:
求两个同频率的正弦函数

互相关函数

。

和

的
解：

（
1
）掌握
互相关函数的定义，写出其计算公式。

因为信号是周期函数，可以用一个共同周期内的平均值代替其整个历程的平均
值，故


2
.
求

的自相关函数
.
其中




解：瞬态信号的自相关函数表示为：




例
1:
.
某一阶测量装置的传递函数为

1Hz
、
2Hz
的正弦信号，试求其幅度误差。

解：
（
1
）掌握一阶系统的频率响应函数。



，若用它测量频率为
0.5Hz
、



当
τ
=0.04
，

w
=2
π
f
时



（
2
）掌握一阶系统幅度误差公式。

幅度误差
=(1-A(
w
))×100%

根据已知条件，有：

f
=0.5 HZ,
A(w)
=0.78%
f
=1HZ,
A(w)
=3.01%
f
=2HZ,
A(w)
=10.64%

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