最全的递推数列求通项公式方法
鼠标写字-
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数
列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较
强的数列问
题中，
数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本
文总结出几种求
解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型
1
<
/p>
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转
化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相
加法
)
求解。
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
1
2
，
a
a
1
n
1
n
n
2
n
，求
a
n
。
解：由条件知：
a
1
1
1
n
1
a
n
n
2
n
n
(
n
1<
/p>
)
n
1
n
1
分
别
令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n
1
< br>)
个
等
式
累
加
之
，
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
< br>a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
< br>(
1
1
2
)
(
1
2
1
3
)
(
1
3
1
1
1
4
)
< br>
(
n
1
n
)
所以
a
1
n
a
1
1
n
a
1
2
，
a
1
1
3<
/p>
1
1
n
2
1
n
2
n
变式
:
< br>（
2004
，全国
I
，个理
22
．本小题满分
14
分）
已知数列
< br>{
a
k
n
}
中
a
1
1
，且
a
2k
=
a
2k
－<
/p>
1
+(
－
1)<
/p>
K
,
a
2k+1
=
a
2k
+3
,
其中
k=1,2,3,
……
.
（
I
）求
a
3
,
a
5
；
（
II
）求
{
a
n
}
的通项公
式
.
解：
a
k
k
2
k<
/p>
a
2
k
1
(
1
)
，
a
2
k
1
a
2
k
3
<
/p>
a
k
2
k
1
a
2
k
3
a
2
k
1
(
1
)
k
<
/p>
3
k
，即
a
k
2
k
1
a
2
k
1
< br>3
(
1
)
k
a
3
a
1
3
(
1
)
，
a
2
< br>5
a
3
3
(
1
)
2
……
……
a<
/p>
2
k
1
a
2
k
1
3
k
(
1
)
k
将以上
k
个式子相加，得
a
3
1
2
k
1
a
1
(
3
3
2
<
/p>
3
k
)
[(
1
)
(
1
< br>)
2
(
1
)
k
]
(
3
k
1
)
2
[(
1
)
k
2
1
]
将
a
1
1
代入，得
1
即
a
2
k
1
a
2
k
1
k
1
1
3
< br>
(
1
)
k
1
，
2
2
1
1
a
2
k
1
(
1
)
< br>k
3
k
(
1
)
k
1
。
2
2
1
n
1
1
n
< br>2
1
2
3
(
1
)
1
(
n
为奇数
)
2
2
经检验
a
1
1
也适合，
a
n
n
n
1
3
2
1
(
1
)
2
1<
/p>
(
n
为偶数
)<
/p>
2
2
类型
2
a
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
解：由条件知
之，即
a
n
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
2
n
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
n
1
a
n
1
n
，分别令
n
< br>1
,
2
,
3
,
,
(<
/p>
n
1
)
，代入上式得
(
n
1
)
个等式累乘
a
n
n
1
a
a
a
2
a
3
a
4
1
1
2
3
n
1
< br>
n
n
< br>a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1
n
n
2
2
，
a
n
< br>3
3
n
3
n
1
例
:
已知
a
1
<
/p>
3
，
a
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
< br>a
n
。
3
n
2
又
a
1
解：
a
n
3
(
n
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
1<
/p>
3
1
a
1
3
(
n
1
)
2
3
(
n
<
/p>
2
)
2
3
2
2
3
2
3
n
4
3
n
7
3
n
< br>
1
3
n
4
5
2
6
3
8
5
3
n
1
。
变式
（
:
2004
，
全国
I,
理
15
．
）
已知数列
{
a
n
}
，
满足
a
1
=1
，
a
n
a
1
< br>2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥
< br>2)
，则
{
a
< br>n
}
的通项
a
< br>n
n
1
1
n
2
___
解：
由已知，得
a
n
1
a<
/p>
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
na
n
，用此式减去已知式，得
当
n
2
时，
a
n
1
a
n
na
n
，即
a
n
1
(
n
1<
/p>
)
a
n
，又
a
2
a
1
1
，
a
1
< br>
1
,
a
a
a
2
a
n
!
1
,
3
3
,
4
4
,
< br>,
n
n
，将以上
n
个式子相乘，得
a
n
(
n
2
)
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
2
类型
3
<
/p>
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq<
/p>
(
p
1
)
0
)
）
。
解法（待定系数法
）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
换元法
转化为等比数列求解。
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
解：设递推公式
a
n
1
2
a
n
3
可以转化为
a
n
1
t
2
(
a
n
< br>
t
)
即
a
n
1
2
a
n
t
t
3
.
故递推公式为<
/p>
a
n
1
3
2
(
a
n
3
)
,
令
b
n
a
n
3
，
则<
/p>
b
1
a
1
3
4
,
且
q
，再利用
1
p
b
n
1
< br>a
n
1
3
2
.
b
n
a
n
3
n
1
n
1
所
以
< br>b
n
是
以
b
1
4
为
首
项
，
2
为
公
比
的
等
比
数
列
，
则
b
< br>n
4
2
2
,
所
以
a
n
2
n
1
3
.
变式
:
（
2006
，重庆<
/p>
,
文
,14
）<
/p>
在数列
a<
/p>
n
中，若
a<
/p>
1
1,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
<
/p>
_______________
n
1
（
key:
a
n
2
<
/p>
3
）
变式
:
（
2006.
福建
.
理
22
.
本小题满分
14
分）
*
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
< br>a
n
1
2
a
n
1(
n
N<
/p>
).
（
I
）求数列
a
n<
/p>
的通项公式；
（
II
）若数列
{
< br>b
n
}
滿足
4
1
4
（Ⅲ）证明：
b
1
b
< br>2
1
4
b
n
1
(
a
n
1)
b
n
(
n
N
*
),
证明：数列
{
b
n
}
是等差数列；
a
n
1
a
1
a
2
n
...
n
(
n
N
< br>*
).
2
3
a
2
a
3
a
n
1<
/p>
2
（
I
）解：<
/p>
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
),
a
n
< br>
1
1
2(
a
n
1),
a
n
1<
/p>
是以
a
1
1
2
为首项，
2
为公比的等比数列
< br>
a
n
1
2
n
.
n
*
即
a
n
2
1(
n
N
).
（
II
）证法一：
4
k
1
1
4
k
2
1
...4
k
n
1
(
a
< br>n
1)
k
n
.
3
4
(<
/p>
k
1
k
2
...
k
n
)
n
2
nk
n
.
< br>2[(
b
1
< br>b
2
...
< br>
b
n
)
n
]
n
b
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>1)]
(
n
< br>
1)
b
n
1
.
②
②－①，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)
b<
/p>
n
1
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
n
< br>
2
0,
nb
n
2
(
n
1)
b
n<
/p>
1
2
0.
③－④，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb
n
<
/p>
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
b
< br>n
0,
b
n
2
b
n
<
/p>
1
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
< br>
b
n
是等差数列
证法二：同证法一，得
(
n
1)
b
n
1
nb
n
2
0
令
n
< br>1,
得
b
1
2.
设
b
2
2
d
(
d
R
),
下面用数学归纳法证明
b
n
< br>2
(
n
1)
d
.
（
1
）当
n<
/p>
1,2
时，等式成立
< br>
（
2
）假设当
n
k
(
k
2)
时，
b
k
2
(
k<
/p>
1)
d
,
那么
b
k
k
1
k
1
b
2
k
1
k
k
1
[2
(
k
1)
d<
/p>
]
2
k
k
1
2
[(
k
1)
1]
d
.
这就是说，当
n
k
1
时，等式也成立
<
/p>
根据（
1
）和（
2
）
，可知
b
1)
d
对任何
n
N
*
n
2
(
n
都成立
b
n
1
b
n
d
,
b
n
< br>是等差数列
k
（
III
）证明：
a
k
2
1
2
k
a
1
1
2
k
1
1
,<
/p>
k
1,
2,.
..,
n
,
k
1
2(2
k
1
)
2<
/p>
2
a
1
a
2
a
n
a
...
n
.
2
a
3
a
n
1
2
4
a
k
2
k
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
k
1
.
k
,
k
1,2,...,
n
,
k
1
k
k
a<
/p>
k
1
2
1
2
2(2
1)
2
3.2
2
2
2
3
2
a
a
1
a
< br>2
n
1
1
1
1
n
1
1
n
1
...
n
(
2
...
n
)
(1
n
)
,
a
2
a
3
a
n
1
2
3<
/p>
2
2
2
2
3
2
2
3
a
n
1
a
a
n
1
2
...
n
(
n<
/p>
N
*
).
2
3
a
2
a
3
a
n
1
2
< br>变式
:
递推式：
a
n
1
< br>pa
n
f
n
。
解法：只需
构造数列
b
n
，
消去
f
n
带来的
差异
．
n
类型
4
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(<
/p>
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（或<
/p>
a
n
1
pa
n
rq
n
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式
两边
同除
以
q
n
1
，得：
a
n
1
p<
/p>
a
n
1
引入辅助数列
q
n
1
q
q
n
q
b
n
（其中
b
n
a
n
n
q
）
< br>，得：
b
n
< br>1
p
1
b
n
再待
定系数法
解决。
q
< br>q
5
1
1
n
1
,
a
n
1
a
n
(
)
，求
a
n
。
6
3
2
1
1
n
1
2
n
n
1
n
<
/p>
1
解：在
a
n<
/p>
1
a
n
(
)
两边乘以
2
得：
2
a
n
1
(
2
a
n
)
1
3
2
3
2
2
n<
/p>
n
令
b
n
2
a
n
，则
b
n
1
b
< br>n
1
,
解之得：
b
n
3
2
(
)
3
3
b<
/p>
1
n
1
n
所以
a
n
n
3
(
)
2
(
< br>)
2
3
2
n
例
:
已
知数列
a
n
中，
a
1
变式
:
（
20
06
，全国
I,
理
22,
本小题满分
12
分）
设数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
4
1
2
a
n
2
< br>n
1
，
n
1,2,3,
3
3
3
n
2
n
（Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；
（Ⅱ）设
T
n
，
n
1,2,3,
S
n
解：
（
I
）当
n
1
时，
a
1
S
1
当
，证明：
T
2
< br>
i
i
1
3
4
4
2
a
1
a
1
2
；
3
3
3
，
即
< br>n
2
时
，
4
1
2
4
1
2
a
n
S
n
S
n
1
a
n
< br>
2
n
1
(
a
n
1
2
n
)
3
3
3
3
3
3
a
< br>n
4
a
n
1
2
n
，利用
a
n
1
pa<
/p>
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(<
/p>
q
1
)
0
)
）
。
5
n<
/p>
n
n
（或
a
n
1
pa
n
rq
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）的
方法，解之得：
a
n
4
2
4
1
2
1
n
n
(
Ⅱ
)<
/p>
将
a
n
4
2
代入①得
S
n
=
×
(4
n
－
2
n
)
－
×
2
n+1
+
=
×
(2
n+1
－
1)(2
n+1
－
2)
3
3
3
3
2
=
×
(2
n+1
－
1)(2
n
－
1)
3
2
n
3
2
n
3
1
1
T
n
=
=
×
n+1
=
×
(
n
－
n+1
)
n
S
n
2
(2
－
1)(2
－
1)
2
2<
/p>
－
1
2
－
1
所以
,
i
1
n
3
T
i
=
2
(
i
< br>
1
n
1
1
3
1
1
3
－
i+1
)
=
×
(
1
－
i+1
)
<
2
2
－
1
2
2
－
1
2
－
1
2
－
1
i
类型
5
递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
解法一
(
待定系数法
)
：先
把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
< br>(
a
n
1
sa
n
)
其中
s
，
t
满足
<
/p>
s
t
p
st
q
解法二
(
特征根法
)
：
对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa<
/p>
n
，
a
1
,
a
2
给出的数列
a
n
，
方程
x
px
q
0
，
叫做数列
a
n
的特征方程。
若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个根，
当
x
1
x
2
2
n
1
n
1
时，数列
a
n
的通项为
a
n
Ax
1
Bx
2
，其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
< br>决定（即把
n
1
n
1
a
< br>1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，
代入
a
n
Ax
1
Bx
2
，
得到关于
A
、
B
的方程组）
；
当
x
1
x
2
时，
n
1
数列
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
< br>x
1
，
其中
A
，
B
由
a
1
,<
/p>
a
2
决定
（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
n
1
< br>和
n
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1<
/p>
，得到关于
A
、
B
的方程组）
。
解法一（待定系数——迭加法）
:
数
列
a
n
<
/p>
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
<
/p>
N
)
，
a
1
a
,
a
2
b
，求数列
a
n
的通项
公式。
由
3
a
n
2
< br>5
a
n
1
2
a
n
0
，得
<
/p>
a
n
2
a
n
1
2
(
a
n
1
a
n
)
，
3
且
a<
/p>
2
a
1
b
a
。
则数列
a
n
1
a
n
是以
b
a
为首项，
2
为公比的等比数列，于是
3
6
a
<
/p>
(
b
a
)(
2
1
n
1
a
n
3
)
< br>n
。把
n
1
,
2
,
3
,
<
/p>
,
n
代入，得
a
2
a
1
b
a
，
a
2
3
a
< br>2
(
b
a
)
(
3
)
，
a
a
b
a
)
(
2
4
3
< br>
(
3
)
2
，
a
(
b
a
)(
2
n
a
n
1
)
n
2
3
。
把以上各式相加，得
a
2
1
(
< br>2
n
a
1
(
b
a
)[
1
<
/p>
(
)
(
3
)
n
1
2
2
3
)
n
2
3
3
]
<
/p>
(
b
a
)
。
1
2
3
a
2
n
1
3
](
b
a
)
a
3
(
a
b
)(
2
n
[
3
3
(
)
3
)
n
1
3
b
2
a
。
<
/p>
解法二（特征根法）
：数列
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2<
/p>
a
n
0
(
n
0
,
n
N
)
，
的特征方程是：
3
x
2
5
x
2
0
。
x
1
1
,
x
2
2<
/p>
3
,
a
n
1
n
1
2
n
Ax
1
Bx
2
A
< br>
B
(
3
)
n
1
。
又由
a<
/p>
1
a
,
a
2
b
，于是
a
A
B
A
3
b
2
b
<
/p>
A
2
3
B
a
B
3
(
a
b
)
故
a
n
3
b
<
/p>
2
a
3
(
a
b
)(
2
)
n
1
3
< br>例
:
已知数列
a
n
中，
< br>a
1
1
,
a
2
2
,
a
2
n
2
3
a
1
n
1
3
a
< br>n
，求
a
n
。
解：由
a
2
n
2
3
a
1
n<
/p>
1
3
a
n
可转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
即
a
n
(
s
t
)
a
sta
s
t
2
3
s
< br>1
s
1
2
n
1
n
1
t
1
或
< br>3
st
3
3
<
/p>
t
1
a
1
a
,
a
2
b
7
< br>s
1
这
里
不
妨
选
用
1
（
当
然
也
可
选
用
t
3
< br>1
s
3
，
大
家
可
以
试
一
试
）
，
则
t
1
1
< br>1
公比为
的等比数列
,
a
n
2
a
n
< br>
1
(
a
n
1
a
n
)
a
n
1
a
n
是以首项为
a
2
a
1
1
，
3
< br>3
1
n
1
所以
a
n
1
a
n<
/p>
(
)
,
应用类型
1
的方法
，分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，代入上式得
3
1
(
1
)
n
1
(
n
1
)
个等式累加之，即<
/p>
a
1
0
(
1
1
n
a
1
(
)
3
3
)
1
<
/p>
(
3
)
n
2
3
1
1
3
又
a
1
，所以
a
7
3
1
n
<
/p>
1
1
n
4
4
(
3
)
。
变式
:
（
< br>2006
，福建
,
文
,22,
本小题满分
14
分）
已知数列
a
a
a
*
n
满足
a
1
1,
2
<
/p>
3,
a
n
2
3
a
n
1
2
n
(
n
< br>
N
).
（
I
）证明：数列
a
n
1
< br>
a
n
是等比数列；
（
II
）求数列
a
n
的通项公式；
（
III
）若数列
b
b
1
b<
/p>
2
1
n
满足
4
1
4
...4
b
n
1
(
a
n
1)
b
n
(
n
< br>
N
*
),
证明
b
n
是等差数列
（
I
）证明
：
a
n
2<
/p>
3
a
n
1
2
a
n
,
a
n
2
a
n
1
2(
a
n
1
a
n
),
a
1
1,
a
2
3,
a
n
2
a
n
1
a
2(
n
N
*
).
n
1<
/p>
a
n
a
2
为首项，
2
为公比的等比数列
n
1
a
n
是以
a
2
a
1
（
II
）解：由（
I
）得
a
n
(
n
N
*
n
1
a
n
2
),
a
n
(
a
n
a
n
1<
/p>
)
(
a
n
1
a
n
2
)
...
(
a
2
a
1
)
a
1
n
1
2
2
n
2
...
2
1
2
n
1(
n
N
*
).
< br>
（
III
）证明：
4
b
1
1
4
b
2
1
...4
b
< br>n
1
(
a
n
n
1)
b
,
<
/p>
4
(
b
1
b
2
...
b
n
)
2
nb
n
,
< br>
2[(
b
1
< br>
b
2
...
b
n
)
n
]
nb
n
,
①
8 <
/p>
2[(
b
1
<
/p>
b
2
...<
/p>
b
n
b
n
1
)
(
n
1)]
(
n
1)
b
< br>n
1
.
②
②
－①，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1
)
b
n
1<
/p>
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
n
2
< br>0.
③
nb
n
<
/p>
2
(
n
1)
b
n
1
2
0.
④
④－③，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb
n
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
< br>
b
n
0,
b
n
2
b<
/p>
n
1
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
b
n
是等差数列
< br>
类型
6
递推
公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
或
S
n
f
(
a
n
)<
/p>
)
解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
S
1
<
/p>
(
n
1
)
a
n
S
n
S
n
1
<
/p>
(
n
2
)
与
a
n
S
n
S
n
1
f
(<
/p>
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消去
S
n
(
< br>n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
<
/p>
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
进行求解。
例：
已知数列
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关
系；
（
2
）求通项公式
a
n
.
解：
（
1
）由
S
< br>n
4
a
n
1
2
n
2
得：<
/p>
S
n
1
4
a
n
1
1
2
n
1
于是
S
n
1
S
n
(
a
n
a
n
1
)
(
所以
a
n
1
a
n
a
n
1
1
2<
/p>
n
2
1
a
n
1
2
n
1
2
1
1
a
n
n
.
2
2
1
n
1
)
n
（
2
）应用类型
4
（
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
）的方
法，上式两边同乘以
2
由
a
1
<
/p>
S
1
4
a
1
n
1
得：
2
n
1
< br>a
n
1
2
n
a
n
2
1
n
2
a
n
是以
2
为首项，
2
为公差的等差数列，
< br>
a
1
.
于是数列
1
1
2
2
n
n
所以
2
a
n
2
2
(
n
1
)
2
n
a
n
< br>n
1
2
变式
:
（
2006
，陕西
,
理
< br>,20
本小题满分
12
分
)
已知正项数列
{a
n
}
，
其
前
n
项和
S
n
满足
10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6
且
a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，
求数列
{a
n
}
的通项
a
n
9
解
:
∵
10
S
n
=
a
n
2
+5
a
n
+6
，
①
∴
10
a
1
=
a
1
2
+5
a
1
+6
，解之得
a
1
=2
或
a
1
=3
又
10
S
n
－
1
=
a
n
－
1
2
+5
a
n
－
1
+6(
n
≥2)
，②
由①－②得
10
a
n
=(
a
n
2
－
a
n
－
1
2
)+6
(
a
n
－
a<
/p>
n
－
1
)
，即
(
a
n
+
a
n
－
1
)(
a
n
－
a
n
－
1
－
5)=0
∵
a
n
+
a
n
－
1
>0
，
∴
a
n
－
a
n
－
1
=5
(
n
≥2)
当
a
1
=3
时，
a
3
=13
，
a
15
=73
a
1
，
a
3
，
a
15
不成等比数列∴
a
1
≠3;
当
a
1
=2
时，
a
3
=12
，
a
15
=7
2
，
有
<
/p>
a
3
2
=
a
1
a
15
，
∴
a
1
=2
，
∴
a
n
=5
n
－
3
变式
:
(2005,
江西
,
文
,22
．本小题满分
14
分）
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S<
/p>
n
－
S
n
－
2
=3
(
)
1
n
1
3
(
< br>n
3
),
且
S
1
1
,
S
2
<
/p>
,
求数列
{<
/p>
a
n
}
2
2
的通项公式
.
解
：
S
n
<
/p>
S
n
2
a
n
a
n
1
，
a
a
1
n
n
1
3<
/p>
(
2
)
n
1
(
n
3
)
，两边同乘以
(
1
)
n
，可得
(
1
)
n
a
1
< br>1
n
a
n
1
(
1
)
n
1
3
(
1
)
n
(
2
< br>)
n
1
3
(
2
)
n
1
令
b
(
1
)
n
n
a
< br>n
b
1
n
1
n
b
n
1
3
(
2
)
(
n
3
< br>)
b
b
1
n
1
n
2
3
(
2
)
n
2
……
……
<
/p>
b
b
3
(
1
3
2
2
)
2
1
1
1
n
2
b
1
<
/p>
(
2
)
n
1
1
n
2
1
2
n
b
2
3
[(
2
)
(
2
)
(
2
)
]
b
2
3
< br>
4
4
1
1
2
b
3
2
3
(
1
2
2
)
n
1
(
< br>n
3
)
又
a
，
a
3
5
1
S
1
1
2
S
2
S
1
< br>
2
1
2
，
b
a
5
1
(
1
)
1
1
1
< br>，
b
2
(
1
)
2
a
2
2
b
5
2
3
2
3
< br>(
1
2
)
n
1
4
3
(
1
n
2
)
n
1
(
n
< br>
1
)
。
4
3
(
1
)
n
1
,
n
为奇数
a
(
1
)
n
b
4
< br>(
1
)
n
3
(
1
)
n
(
1
n
n
2
)
n
1
< br>
,
2
4
3
(
1
2
)
n
1
,
n
为偶数
.
类型
7
a
n
1
< br>pa
n
an
< br>
b
(
p
1
、
0
，
a
0
)
10
解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
待
定
系
数
法
构
造
< br>等
比
数
列
，
即
令
a
n
1
x
(
n
1
)
y
p
(
a
n
< br>
xn
y
)
，
与
已
知
递
推
式
比<
/p>
较
，
解
出
x
,
y
,
从
而
转
化
为
a
n
xn
y
是公比为
p
的等比数列。
例
:
设数列
a
n
：
a
1
< br>4
,
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
(
n
2
)
，求
a
n
.
解：设
b
n
a
n
An
B
，
则
a
n
b
n
An
B
，将
a
n
,<
/p>
a
n
1
代入递推式，得
b
n
An
B
3
b
n
1
A
(
n
1
)
B
< br>
2
n
1
3
b
n
1
(
3
A
2
)
n
(
3
B
< br>3
A
1
)
A
1
A
3
A
2
< br>B
3
B
3
A
1
B
1
取
b
n
a
n
n
1
…（１）则
b
n
3
b
n
1
< br>,
又
b
1
6
，故
b
n
6
3<
/p>
n
1
2
3
n
n
代入（１）得
a
n
2
3
n
1
2
说明：
（
1
）
若
f
< br>(
n
)
为
n
的二次式，
则可设
b
n
a
n
< br>
An
Bn
< br>
C
;(2)
本题也可由
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
a
n
1
3<
/p>
a
n
2
2
(
n
1
)
1
（
n
3
）
两式相减得
a
n
a
n
1
3
(
a
n
1<
/p>
a
n
2
)
2
转化为
b
n
2
pb
n
1
qb
n
求之
.
变式
:
（
2006
，山东
,
文
,22,
本小题
满分
14
分）
已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
1
< br>在直线
y=x
上，其中
n=1,
2,3
…
、点（
n
、
2
a
n
1
a
n
）
2
(
Ⅰ
)
令
b
n
< br>a
n
1
a
n
3
,
求证数列
b
n
是等比数列；
< br>
的通项；
(
Ⅱ
)
求数列
a
n
b
n
的前
n
项和
,
是否存在实数
，使得数列
、
(
Ⅲ
)
设
S
n
、
T
< br>n
分别为数列
a
n
为等差数列？若存在，试求出
< br>
若不存在
,
则说明理由
S
n
T
n
n
解：
（
I
）由已知得
< br>
a
1
1
,
2
a
n
1
a
n
n
,
2
11
3
3
1
3
a
2
,
a
2
a
1
1
1
< br>
,
4
4
2
4
又
b
n
a
n
1
a
n
1,
b
n
1
a
n
2
a
n
1
1,
a
n
1
(
n
1)
a
n
n
a
n
1
a
n
1
b
1
2
n<
/p>
1
a
n
1
a
n
2
b
2
a
1
.
n
a
n
2
a
n
1
1
a
n
1
< br>
a
n
1
a
n
1
n
1
2
{
b
3
1
n
}
是以
4
为首项，以
2
为公比的等比数列
（
II<
/p>
）由（
I
）知，
b
3
1
n
<
/p>
1
3
1
n
4
(
2
)
2
2
n
,
a
3
1
n
<
/p>
1
a
n
1
2
2
n
,
a
1
3
1
2
a
1<
/p>
2
2
,
a
a
3
1
3
2
1
2
,
2
2
a
a
3
1
n
n
1
1
2
< br>
2
n
1
,
将以上各式相加得：
a
3
1
< br>1
1
n
a
1
(
n
1)
2<
/p>
(
2
2
2
2
n
1
),
1
a
3
(1
1
n
1
)
< br>1
3
n
a
1
n
1
2
2
2
(
n
1)
(1
1
3
1
1
< br>2
2
2
n
1
)
2
n
n
2.
2
a
3
n
2
n
n
2.
（
III
）解法一：
存在
2
，使数列
{
S
n
T
n
n
}
是等差数列
S
1
1
1
n
a
1
< br>
a
2
a
n
3(
2
1
2
2
2
n
)
(1
2
n
)
2
n
1
(1
1
3
2
2
n
)
n
(
n
1)
2
n
1
1
2
2
3(1
1
n
2
3
n<
/p>
3
n
2
3
n
2
n
)
2
2
n
2
3.
12