(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
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常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
【典型例题】
[
例
1]
a
n
1
ka
n
b
型。
（
1
）
k
1
时，
a
n
1
a
n
b
{
a
n
}
是等差数列，
< br>a
n
b
n
(
a
1
b
)
（
2
）
k
1
时，设
a
n
1
m
k
< br>(
a
n
m
)
∴
a
n
1
ka
n
km
m
比较系数：
km<
/p>
m
b
∴
m
b
k
1
∴
{
a
n
b
< br>b
}
a
1
k
1
是
等比数列，公比为
k
，首项为
k
1
∴
a
n
b
b
b
b
(
a
1
)
< br>k
n
1
a
n
(
a
1
)
k
n
1
k
1
k
1
k
< br>
1
k
1
∴
[
例
2]
a
n
1
ka
n
f
(
n
)
型。
（
1
）
k
1
时，
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，若
f
(
n
)
可求和，则可用累加消项的方法。
例：已
知
{
a
n
}<
/p>
满足
a
1
1
，
解：
a
n
1
a
n
1
n
(
n
1
)
求
{
a
n
}
的通
项公式。
∵
a
n
1
a
n
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
< br>
1
1
1
1
1
a
n
1
a
n
2
n
1
n
< br>n
2
n
1
∴
a
n
a
n
1
a
n
2
a
n
< br>3
a
3
a
2
1
1
n
3
n
2
……
1
1
1
a
2
a
1
1
2
3
2
a
n
a
1
1
1
1
a
n
< br>
2
n
∴
n
对这（
n
1
）个式子求和得：
（
2
）
k
1
时，当
f
(
n
)
an
b
则可设
a
n
1
A
(
n
1
)
B
k
(
a
n
An
B
)
∴
a
n
1
ka
n
(
k
1
)
An
(
k
< br>1
)
B
A
(
k
1
)
A
a
b
a
a
B
A
2
< br>k
1
(
k
1
)
(
k
1
)
B
A
b
k
1
，
∴
解得：
∴
{
a
n
An
B
}
是以
a
1
A
B
为首项，
k
为公比的等比数列
n
1
a
An
B
<
/p>
(
a
A
B
)
k
n
1
∴
n
1
a
(
a
A
B<
/p>
)
k
An
B
将
A
、
B
代入即可
n
1
∴
（
3
）
f
(
n
)
q
（
q
0
，
1
< br>）
n
a
n
1
k
a
n
1
n
n
1
n
1
q
q
q
< br>等式两边同时除以
q
得
q
C
n
令
a
n
k
1
C
C
q
n
则
n
1
q<
/p>
n
q
∴
{
C
n
}
可归为
a
n
1
ka
n
b
型
[
例
3]
a
n
1
f
(
n
)
a
n
型。
（
1
）若
f
(
n
)
< br>是常数时，可归为等比数列。
（
2
）若
f
(
n
)
可求积，可用累积约项的方法化简求通项。
例：已知：
a
1
1
2
n
1
a
n
a
n
1
3
，
2
n<
/p>
1
（
n
2
）求数列
{
a
n
}
的通项。<
/p>
a
n
a
n
1
a
n
2
a
3
a
2
2
n
1
2
n
3
2
n<
/p>
5
5
3
3
a
2
a
1
2
n
1
2
n<
/p>
1
2
n
3
7
5
2
n
1
解：
a
n
< br>
1
a
n
2
a
n
3
a
n
a
1
3
1
2
n
1
2
n
< br>
1
∴
a
n
k
[
例
4]
m
a
n
1
m
a
n
< br>
1
型。
1
1
1
1
1
k
k
(<
/p>
)
k
a
n
1
m
∴
a
n
a
n
1
m
考虑函数倒数关系有
a
n
C
n
令
练习：
1.
已知
{
a
n
}
满足
a
1
3
，
a
n
1
2
a
n
1
求通项公式。
解：
设
a<
/p>
n
1
m
2
(
a
n
m
)
a
n
1
2
a
n
<
/p>
m
∴
m
1
∴
{
a
n
1
1
}
是以
4
为首项，
2
为公比为等比数列
n
1
n
1
∴
<
/p>
a
n
1
4
2
∴
a
n
2
1
1
a
n
则
{
C
n
}
可归为
a
n
1
ka
n
b
型。
*
2.
已知
{
a
n
}
的首项
a
1
1
，
a
n
1
a
n
2
n
（
n
N<
/p>
）求通项公式。
解：
a
n<
/p>
a
n
1
2
(
n
1
)
a
n
1
a
n
2
2
(
n
2
< br>)
a
n
2
a
n
3
2
(
n
3
)
……
a
3
a
2
2
2
a
2
a<
/p>
1
2
1
a
n
a
1
2
[
1
2
(
n
1
)]
n
2
n
2
a
n
n
1
n
∴
3.
已知
{
a
n<
/p>
}
中，
解：
<
/p>
a
n
1
n
a
n
n
2
且
a
1
2
求数列通项公式。
a
n
a
n
1
a
n
2
< br>a
3
a
2
n
1
n
2
n
3
n
4
2
1
2
< br>
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
2
a
1
n
1
n
< br>n
1
n
2
4
3
n
(
n
1
)
a
n
2
4
a
n
n
(
< br>n
1
)
∴
n
(
n
1
)
∴
a
1
4.
数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
解：
a<
/p>
n
1
2
n
1
a
n
n
1
2
a
n
，
a
1
2
，求
{
a
n
}
的通项
。
1
a
n<
/p>
1
2
n
1
a
n
1
1
1
n
1
n
1
2
a
n
∴
a
n
1
a
n
2
1
1
1
b
n
< br>1
b
n
n
1
b
n
b
n
1
n
a
n
∴
2
∴
2
b
n
设
∴
b
n
b
n
1
< br>1
2
n
1
b
n
1
b
n
2
b
n
< br>
2
b
n
3
b
3
b
2
2
n
1
1
2
n
2
……
1
2
3
b
2
b
1
1
2
2
1
1
n
1
[
1
(
)
]
2
< br>1
1
2
2
n
1
1
1
1
2
2
b
n
b
1
2
3
< br>
n
1
2
2
2
2
1
1
1
2
n
1
2
n
b
n
< br>n
a
n
n
n
2
2
2
2
∴
2
1
∴
5.
已
知：
a
1
1
，
n
2
时，
解：
a
n
1
a
n
1
2
n
1
< br>2
，求
{
a
n
}
的通项公式。
1
a
n
< br>An
B
[
a
n
1
A
(
n<
/p>
1
)
B
]
2
设