递推数列求通项公式的典型方法
伤感的歌曲推荐-
递推数列求通项公式的典型方法
1
、
a
n+1
=a
n
+f
（
n
）型
累加法
:
a
n
=
（
a
n
-a
n-1
）
+
（
a
n-1
-a
n-2
）
+
„＋（
a
2
-a
1
）
+
a
1
=f
（
n-1
）
+f
（
n-2
）
+
„
f
（
1
）<
/p>
+ a1
例
1
已知数列｛
a
n
｝满足
a
1
=1,a
n+1
=a
n
+2n
（
n
∈
N
*
）
,
求
a
n
解
: a
n
=
（
a
n
-a
n-1
）
+<
/p>
（
a
n-1
-a
n-2
）
+
„
＋（
a
2
-a
1
）
+ a
1
=2
n-1
+2
n-2
+
„
+2
1
+1=2
n
-1
（
n
∈
N
*
）
例
在数列
{
a
1
n
}
中，
a<
/p>
1
3
,
a
n
1
a
n
n
(
n
1
)
，求通项公式
a
n
.
解：原递推式可化为：
a
1
1
n
1
a
n
n
n
1
则
a
1
1
< br>
1
2
,
a
1
1
2
a
1
3
a
2
2
3
a
1
1
1
1
4
<
/p>
a
3
3
4
，„„，
a
n
a
n
1
n
1
n
< br>逐项相加得：
a
a
1
1
n
1
1
n
.
故
a
n
4
n
<
/p>
2
、
a
n
1
a
g
(
n
)
型
n
累积法
:
a
a
a
1
a
n
n
a
.
n<
/p>
...
2
a
.<
/p>
a
1
n
1
a
n
2
1
所以
a
n
< br>
g
n
1
g
n
2
g
n
3
...
g
1
a
1
例
2:
已知数列｛
a
a
n
｝满足
n
1
a
n
n
N
*
,
a
1
1
.
求
a
n<
/p>
n
解
:
a
a
n
a
n
1
n
a
...
a
2
a
1
n
1
a
n
2
a
1
=
n
1
n
2
n
3
...
1
n
1
!
a
n<
/p>
n
1
!
n
N
例
2
设数列
{
a
2
2
n
}
是首项为
1
的正项数列，且
(
n
1
)
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
0
（
n=1,2,3
„）
，
则它的通项公式
是
a
n
=
▁▁
▁（
2000
年高考
15
题）
.
解：原递推式可化为：
<
/p>
[(
n
1
)
a
n
1
na
n
](
a
n
1
a
n
< br>)
=0
∵
a
n
1
a
n
＞
0
，
a
n
1
a
n
n
n
1
则
< br>a
2
1
,
a
3
2
,
a
4
3
,
„„，
a
n
n
1
a
1
2
a
2
3
< br>a
3
4
a
n
1
n
逐项相乘得：
a
n
a
1
，即
a
1
n
=
1
n
n
.
3<
/p>
．
a
n
1
pa
n
q
型（
p,q
为常数）
方法：
（
1
）
a
q
n
1
p
1
p
< br>
a
q
n
p
1
，再根据等比数列的相关知识求<
/p>
a
n
.
(2)
a
n
1
a
< br>n
p
a
n
a
n
1
再用累
加法求
a
n
.
(3)
a
n
1
a
n
< br>q
p
n
1
p
n
p
n
1
,
先用累加法求
a
n
p
n
再求
a
n
例
3<
/p>
．已知
a
n<
/p>
的首项
a
1<
/p>
a
（
a
为常数）
，
a
n
2
a
n
1
n
N
,
< br>n
2
，求
a
n
解
设
a
n
2
a
n
1
< br>
，则
1
a
n
1<
/p>
2
a
n
1
1
a
n
1
为公比为
2
的等比数列。
a
n
1
a
1
2
n
1
a
n<
/p>
a
1
2
n
1
1
题目
:
< br>在数列
{
a
1
< br>n
}
(
不是常数数列
)
中
,
a
n
1
2
a
2
且
a
1
n
1<
/p>
3
,
求数列<
/p>
{
a
n
}
的通项公式
.
解
法
一
:
因
为
a
1
1
1
n
1
2
a
n
< br>2
,
所
以
,
a
n
2
a
n
1
2
,
所
以
,
a
n
1
a
< br>n
2
(
a
n
a
n
1
)
,
所
以
,
数
列
{
a
1
的等比数列
.
又
a
11
11
1
1
1
n
1
a
n
}
< br>是公比为
2
2
a
1
6
,
所以
,
a
n
1
a
n
6
(
2
)
n
,
将
a
n
1
< br>2
a
n
2
代
入上式可得
a
< br>11
1
n
1
n
4
3
(
2<
/p>
)
.
[
评注<
/p>
]
这种方法叫做差分法
.
即由条件
a
n
1
pa
n
q
(
pq
< br>(
p
1)
0)
进行递推可得
a
n
pa
n
1
q
< br>,
进
一
步
可
得
a
n
1
a
n
p
(
a
n
a
n
1
)
,
< br>数
列
{
a
n
1
a
n
}
是
公
比
为
p
的
等
比
数
列
,
所
以
,
< br>a
n
1
(
a
2
a
1
)
p
n
1
q
n
1
a
n
(
< br>a
2
a
1
)
p
,
再
将
a
n
1<
/p>
pa
n
q
代入即可求得
a
n
p
1<
/p>
.
解法二
:
所
给数列对应的特征方程为
:
x
1
2
x
2
,
所以
,
特征根为
x
4
.
因为
a
1
n
1
< br>2
a
n
2
,
所
以
,
a
1
1
11<
/p>
n
1
4
2
(
a
n
4)
,
即
数
列
< br>{
a
n
4
}
是
公
比
为
2
的
等
比
数
列
,
又
a
1
4
3
< br>,
所
以
,
a
4
1
1
1
n
1<
/p>
11
1
n
1
n
3
(
2
)
.
故
a
n
< br>
4
3
(
2
)
.
[
评注
]:
这
种方法叫做特征根法
,
因为
p
1
,
所以满足
x
px
q
(
叫做此数列对应的特征方程
)
的
x
存
在
,
由
a
n
1
pa
n
q
可得<
/p>
a
n
1
x
(
pa
n
q
)
x
< br>p
(
a
n
x
)
,
所
以
,
数列
{
a
n
x
}
是以
a
1
x
为首
项
,
以
p
为
公
比
的
等
比
< br>数
列
或
各
项
均
为
0,
于
是
再
根
据<
/p>
条
件
a
n
x
(
a
1
x
)
p
n
1
,
所
以
,
a
n
(<
/p>
a
1
x
)
p
n
1
x
.
解法三
:
设
a
1
1
1
1
< br>1
n
1
2
(
a
n
)
,
即
a
n
1
2
a
n
< br>2
与已知
a
< br>n
1
2
a
n
2
对比可得
2
2
,
所<
/p>
以
,
4
.
所以
,
可得
a
1
1
n
1
4
2
(
a
n
4)
,
即数列
{
a
n
4}
是公比为
2
的等比数列或者各项均为
0
.(
下同解法二
).
[
评注
]:
这种方法通常叫做构造法
< br>.
即由已知递推式的特点构造一个等比数列
,
再求通项公式
.
设
a
n
1
p
(
a
n
< br>)
,
与原递推数列进行对比可以建立方程
,
求数所设实数
的值即可得
{
a
n
1
}
是以
a
1
为首项
,
以
p
为公比的等比数列
.
以上三种方法虽然各不相同
,
但是它们有一点是共同的
,
即构造一个等比数列
,
这就是本题的实
质所在
.
4
．
a
n
1
pa
n
f
n
< br>
型（
p
为常数）
方法：变形得
a
n
1
a
n
f
n
a
n
p
n
1
p
n
p<
/p>
n
1
，则
p
n
可用累加法求出，由此求得
a
n
.
例
< br>4
．已知
a
< br>n
满足
a
1
2
,
a
1
n
<
/p>
1
2
a
n
2
n
，求
a
n
解
a
n
1
2
n
1
a
n
2
n
< br>1
a
n
2
n
为等差数列。
a
n
2
n
a<
/p>
1
2
n
1
n
a
n
n
2
n
5.
a
n
2
p
a
n
1
<
/p>
qa
n
型（
p,
q
为常数）
方法：待定糸数法设
a
n
2
a
n
1
< br>
a
n
1
a
n
构造等比数列
例
5
．数列
a
n
中，
a
1
2
,
a
2
3
,
且
2
a
n
a
n
1
a
< br>n
1
n
N
,
n
2
，求
a
n
.
6
、取倒数法
例
6
已知数列
{
a
a
n
1
n
}
中，
其中
a
1
1
,
，且当
n
≥
2
时，
a
n<
/p>
2
a
1
，求通项公式
a
n
。
n
1
解
将
a
a
n
1
1
1
1
n
2
a
两边取倒数得：
n
1
1
a
2
，这说明
{
}
是一个等差数列，首项是
n
a
n
1
a
n
1
a
1
，公差为
2
，所
以
1
1
<
/p>
(
n
1
)
2
2
n
1
，即
1
.
1
a
a
n
n
2
n
1
7
、取对数法
例
若数列
{
a
2
n
}<
/p>
中，
a
1
=3<
/p>
且
a
n
1
a
n
（
n
是正整数）
，则它的
通项公式是
a
n
=
▁▁▁（
2002
年上海高考题）
.
解
由题意知
< br>a
2
1
n
＞
0
，将
a
n
1
<
/p>
a
n
两边取对数得
lg
a
n
1
2
lg
a
n
，即
lg
a
n
lg
a
<
/p>
2
，所以数列
n
{lg
a
n
}
是以
lg
a
1
=
lg
3
为首项，
公比为
2
的等比数列，
lg
a
n
1
n
lg
a
1
2
1
< br>
2
n
lg
3
，
即
a
3
2
n<
/p>
1
n
.
8
、平方（开方）法
例
8
若数列
{
a
n
}
中
，
a
1
=2
且
a
n
3
a
2
n
1
（
n
2
）
，求它的通项公式是
a
n
.
解
将
a<
/p>
n
3
a
2
2
2
2
2
n
1
两边平方整理得
a
n
a
n
1
3
。数列
{
a
n
}
是以
a
1
=4
为首项，
3
为公差
的等差数列
。
a
2
2
n<
/p>
a
1
(
n
1
)
3
3
n
1
。因为
a
n
＞
0
，所以
a
n
3
n
1
。
9
、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路
.
其
变换的基本形式如下：
1
、
a
n
1
Aa
n
B
（
A
、
B
为常数）型，可化为<
/p>
a
n
1
=A
（
a
n
）的形式
.
例
9
若数列
{
a
S
n
n
}
中，
a
1
=1
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项之和，且
S
n
1
3
4
S
（
n
1
）
，求
n
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
.
解
递推式
S
S
n
n
1
3
4
S
可变形为
1
n
S
3
1
4
（
1
）
n
1
S
n
设（
1
）式可化为<
/p>
1
S
3
(
1
)
（
2
）
n
1
S
n
比较（
1
）式与（<
/p>
2
）式的系数可得
2
，则有
1
1
1
S
2
3
(
<
/p>
2
)
。故数列
{
2
}
是以<
/p>
n
1
S
n
S
n
1
2
3
为首项，
3
为公比的等比数列。
1
2
=
3
3
n
1
1
S
3
n
。所以
S
n
。
1
S
n
3
< br>n
1
2
，
a
1
1
2
3
n
当
n
n
S
n
S
n
1
< br>
3
n
2
3
n
1
2
3
2
n
8
3
n
12
。
数列
{
a
< br>
1
n
}
的通项公式是
a
n
2
3
n
(
n
1
)
3
2
n<
/p>
8
3
n
12
(
n
2
)
。
2
、
a
Aa
< br>n
n
1
n
n
1
n
B
C
（
A
、
B
、
C
为常数，下同）
型，可化为
a
n
1
C
=
A
(
a<
/p>
n
C
）
的形式
.
例
10
在数列
{
a
n
1
n
}
中，
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
4
< br>3
,
求通项公式
a
n
。
解：原递推式可化为：
a
n
1
3
n
2
(
a
1
n
<
/p>
3
n
)
①
比较系数得
=-4
，①式即
是：
a
n
n
1
n
1
4
3
2
(
a
n
4
< br>3
)
.
则数列
{
a
1
1
n
4
3
n
}
是一
个等比数列，其首项
a
1
4
3
1
5
，公比是
2.
∴
a
n
1
n
4
3
n
1
< br>
5
2
即
a
n
4
3
n
1
5
2
n
1
.
3
、
a
n
2
A
a
n
1
B<
/p>
a
n
型，可化
为
a
n
2<
/p>
a
n
1
(
A
)
(
a
n
1
a
n
)
的形式。
例
11
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
a
2
2
，
当
n
N
，
a
n
2
5
a
n
< br>
1
6
a
n
①
求通项公式
a
n
.
解：①式可化为：
a
n
2
a
n
< br>1
(
5
)(
a
n
1
<
/p>
a
n
)
比较系数得
=-3
或
=-2
，不妨取
< br>
=-2.
①式可化为：
a
n
2
2
a
n
1
3
< br>(
a
n
1
2
a
n
)
则
{
a
n
1
2
a
n
}
是一个等比数列，首项
a
2
2
a
1<
/p>
=2-2
（
-1
）
=4
，公比为
3.
∴
a
n
1
n
1
2
a
n
<
/p>
4
3
.
利用上题结果有：
a
n
4
3
n
1
5
2
n
1
.
4
、
a
n
1
Aa
n
< br>
Bn
C
型，可化为
a
n
1
1
n
2
A
[
a
n<
/p>
1
(
n
1
)
2
]
的形式。
例
12
在数列
{
a
3
n
}
中，
a
1
2
，
2
a
n
a
n
1
=6
n
3
①
求通项公式
a
n
.
解
①式可化为：
2
(
a
n
1
n
<
/p>
2
)
a
n
1
1
(
n
1
)
2
②
比较系数可得：
1
=
-6
，
2
9
，②
式为
2
b
n
b
n
1
{
b
}
是一个等比数列，首项
b
9
1
n
1
a
1
6
n
9
2<
/p>
，公比为
2
.
∴
b
9
1<
/p>
n
1
n
2
(
2
)
即
a
9
9
(
1
n
n
6
n
2<
/p>
)
故
a
1
n
n
9
(
2
)
6
n
9
.
一、复习回顾
引入问题：
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=1,
且
a
n+1
=
3
a
n
+1
,
求
a
n
。<
/p>
分析一：
归纳法。
由递推公式，
可求出
a
1
2
3
2
=4
，
a
3
=13
，
a
4
=40
。
则
a
2
-a
1
=3=3
，
a
3
-a
2
=9=3
，
a
4
-a
3
=27=3
。
由此猜测：
a
=3
n-1
（可用数学归纳法证明）
，
所以
a
n-2
n-3
3
2
n
-a
n-1
n-1
-a
n-2
=3
，
a
n-2
-a
n-3
=3
„„，<
/p>
a
4
-a
3
=3
，
a
3
-a
2
=3
，
3
n
a
-a
1
1
2
3
+
„„
+3
n-1
=
，得
a
1
2
1
=3
，把上式子累加，得，
a
n
-a
1
=3
+3
+3
n
=
2
。
分析二：构造法。由
a
+1
，得
a
1
1
1
n+1
=
3
a
n
n+1
+
2
=3
（
a
n
+
2
）
，即数列
{a
n
+
2
}
为一个公比为<
/p>
3
的等
比数列，则
a
+
1
1
n
-1
3
n
1
n
2
=(1+
2
)
·
3
=
2
。
分<
/p>
析
三
：
迭
代
法
。
a
2
n-1
n-2
n
=3a
n-1
+1=3(3a
n-2
+1)+1=3
a
n-
2
+3
1+1=
„
=3
a
1
+3
1+3
n-3
1
+
< br>„
+3
1+1=
3
n
1
< br>2
点评：
（
< br>1
）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归
纳法
求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；<
/p>
（
2
）分析二
中构造出新数列，由新数列求出
a
n
的
通项；
（
3
）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。
本文将由此例题展开，对它进行各种变形，力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。<
/p>
二、例题精讲
例
1.
已知数列
{a
2
n
}
中，
< br>a
1
=1
，对任意自然数
n
都有
a
n
a
n
1
n
(
< br>n
1)
，求
< br>a
n
。
分
析
：
由
已
知
，<
/p>
a
2
n
a
n
1
n
(
n
1)
，
a
< br>n
1
a
n
2
2
(
n
1)
n
，
„
„
，
a
2
3
a
2
3
4
，
a
2
2
a
1
2<
/p>
3
，累加，得
a
2
1<
/p>
1
1
1
n
-a
1
=
n
(
n
1)
(
n
1)
n
< br>
(
n
2)(
n
1)
...
2
3
=
2
<
/p>
1
2
1
n
1
。
点评：
（
1
）例
3
由例
1
中的常数项
1
变为
f(n)<
/p>
而得来；
（
2
）递推式为
a
n+1
< br>=a
n
+f(n)
，只要
f(1)+f(2)+
„„
+f(n-1)<
/p>
是可求的，可用累加法求出。
（
3
）今年安徽题中也有这样一题：已知数列
{
a
k
k
n
}<
/p>
中
a
1
=1
，且
a
2k
=a<
/p>
2k-1
+(-1)
，
< br>a
2k+1
=a
2k
+3
，其中
k=1,2,3
„„（
1
）求
a
3
，
a
5
（
2
）求数列
{a
n
}
的通项公式。这是一个
a
n+1
=a
n
+f
(n)
型的函数，只不过
偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的<
/p>
f(n)
不同而已，依照上法，可以轻松求解。
< br>
（
4
）运用类比推理的思想方
法，把例
3
与例
1
的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上
类同。
对递推式为
a
q
n+1
=pa
n
+q
（
p
、
q
为常数）时，可构造新数列
a
n+1
+
p
1
=
p(a
q
n
+
p
1
)
。其
证明的简略过
程如下：由
a
q
n+1
=pa
n
+q<
/p>
，令
a
n+1
+
x
=p(a
n
+x)
，化简，得
a
n+1
=pa<
/p>
n
+px-x
，因此
px-x=q
，即
x=
p
1
。得
证。
例
2
：已知数列
{a
n
}
中，
a
1
=1
，
a
n
n
1
a
a
，求
a
n
。
< br>
n
3
分析：把两边取倒数，可得
1
a
<
/p>
3
1
1
。令
b
1
n
，则
b
n+1
=3b
n
+1
，即引入问题，按上法
n
1
a
n
a
n
可求解。
点评：
（
1
）转换问题，化成基本型后求解（运用反思维定
势定势方法中的转移思维方法）
（
2
）对分式型递推数列可归纳如下：设
a
1<
/p>
=a
，
a
n
d
n
1
ca
aa
(
a
0)
n
b
①若
d=0
，则上式变形为
1
a
b
1
a
，令
b
1
b
a
n
,
则
b
n
1
b
n
,
即基本型。
n
1
c
a
n
c
a
n<
/p>
c
c
②若
d
，
c
≠
0,
且
bc
≠
ad
，令
a
n
= b
n
+t(t
为待定系数
)
转化为情形①。
例
3.
在数列
{
a
3
n
}
中，
a
1
<
/p>
2
,
2
a
n
a
n
1
6
n
3
,
求通项
a
n
.
< br>解：原递推式可化为
2
(
a
n
xn
y
)
a
n
1
x
(
n
1
)
y
比较系数可得：
x=-6,y=9
,
上式即为
2
b
n
b
n
1
所以
<
/p>
b
a
9
1
n
是一个等比数列，首项
< br>b
1
1
6
n
9
2
,
公比为
2
.
b
9
1
n
1
1
n
2
(
2
< br>)
即：
a
n
6
n
< br>
9
9
(
2
)
n
故
a
1
n
n
9
(
2
)
6
n
< br>9
.
(2)
若
f
(
n
)
q
n
(
其中
q
是常数，且
n
< br>
0,1)
①若
p=1
时，即：
a
n
n
1
a
n
q
，累加即可
.
②若
p
1
时，即：
a
n<
/p>
1
p
a
n
q
n
，
求通项方法有以下三种方向：
i.
两
边同除以
p
n
1
.
即：
a
n
1
1
p
n
n
p<
/p>
n
1
a
n
p
(
q
)
,
令
b
n
p
n
，则
b
1
p
n
q
n
a
n
1
b
n
p
(
q
)
,
然后类型
1
，累加求通项
.
i
i.
两边同除以
q
n
< br>
1
.
即：
a
n
1
q
n
1
p
q
a
n
q
n
1
< br>q
,
令
b
a
n
p
n
q
n
,
则可
化为
b
n
1
q
b
1
n
q
.
然后转化为类型
5
来
解，
iii.
待定系数法：
设
a
q
n
< br>
1
n
1
p
(
a
n
p
n
)
.
通过比较系数，
求出
，转化为等比数列求通项
.
形如
a
n<
/p>
1
pa
n
qa
n
1
(
其中
p,q
为常数
)
型
（
1
）当
p+q=1
时
用转化法
例
4.
数列
{
a
n
}
中，若
a
1
8
,
a<
/p>
2
2
,
且满足
a
n
2
4
a
n
1
3
a
n
0
,
求
a
n
.
解：把
a
n
2
4
a
n
1
3
a
n
0
变形为
a
n
2
a
n
1
< br>
3
(
a
n
1
a
n
)
.
则数
列
a
n
<
/p>
1
a
n
是以
a
2
a
1
6
为首项，
3
为公比的等比数列，则
a
n
1
a
1
n
6
3
n
利用类型
6
的方法可得
a
n
11
3
n
.
（
2
）当
p
2
4
q
0
时
用待定系数法
.
例
5.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
2
5
a
n
1
6
a
n
0
，且
a
1
1
,
a
2
5
,
且满足
,
求
a
n
.
解：令
a
n
2
xa
n
1
y<
/p>
(
a
n
1
xa
n
)
,
即
a
n
2
< br>(
x
y
)
a
n
1
xya
n
0
,
与已知
a
x
y
5
x
2
x
n
< br>2
5
a
n
1
6
a
n
0
比较，则有
,
故
xy
6<
/p>
或
y
3
3
y
2
下面我们取其中一组
<
/p>
x
2
y
3
来运算，即有
a
n
2
2
a
n
1
3
(
a
n
1
< br>
2
a
n
)
,
则数列
a
n
1
2
a
n<
/p>
是以
a
2
2
a
1
3
为首项，
3
为公比的等比数列，故
a
< br>n
1
2
a
n
3
3
n
1
3
n
,
即
a
n
1
2
< br>a
n
n
3
,
利用类型
的方法，可得
a
n
n
3
2
n
.
评注：
形如
a
n
2
aa
n
1
ba
n
的递推数列
,
我们通常采用两次类型
(5)
的方法来求解
< br>,
但这种方法比
较复杂
,
我们采用特征根的方法
:
设方程
(
x
a
< br>)
x
b
的二根为
,
,
设
a
n
p
n<
/p>
q
n
,
再利
用
a
1
,
a
2
的值求得
p,q
的值即可
.
形如
a
r
n
1
pa
n
(
其中
p,r
为常数
)
型
（
1
）
p>0
，
a
n
0
用对数法
.
例
6.
设正项数列
a
满足
< br>a
2
n
1
1
，
a
n
2
a
n
1
（
n
≥
2
）
.
求数列
a
n
的通项公式
.
解：两边
取对数得：
log
a
a
a
a
a
2
n
1
2
log
2
n
1
，
log
2
n
1
<
/p>
2
(log
2
n
1
1
)
，设
b
n
l
o
g
2
n
1
，则
b
2
b
< br>列
，
b
n
1
n
n
1
，
b
n
是
以
2
为
公
比
的
等
比
< br>数
1
log
< br>1
1
1
b
n
1
2
<
/p>
2
n
1
2
，
log
a
n
1
2
n
1
，
log
a
n
1
1
，∴
a
2
n
1
1
2
2
n
2
n
2
练
习
数
列
a
< br>n
中
，
a
1
1
，
a
n
2
a
n
1
（
n
≥
2
）
，
求
数
< br>列
a
n
的
通
项
公
式
.
答案：<
/p>
a
2
2
n
n
2
2
（
2
）
p<0
时
用迭代法
.
课堂小结
：
学生的体会是多方面、多角度的，因此小结内容也很灵活。
知识方面：数列的概念、数列的通项公式
能力方面：掌握研究问题的一般方法，主要有：观察、发现、归纳、总结、类比
思考问题：
是否每一个数列都能写出它的通项公式？每一个数列
的通项公式是否唯一？根据前
n
项
写
出的不同形式的通项公式所确定的数列是否是相同的？求递推数列通项公式是数列知识的一个
重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的
< p>通项公式一般是将递推公式变形，
推得原数列是一种特殊的数列或原数列的
项的某种组合是一种特
殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等
比数列。
利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较
高的价值，下面介绍一下利用构造法求递
推数列的通项公式的方法和策略
.
一、构造等差数列法
例
1.
在数列
{a
n
}
中，
a
1
3
，
na
n
1
(
n
2
)
a
n
2
n
(
n
< br>
1
)(
n
2
)
，求通项公式
a
n
。
< br>解：对原递推式两边同除以
n
(
n
1
)(
n
2
)
可得：
a
n
1
(
n
2
)(
n
1
)
a
n
(
n
1
)
n
2
①
令
b<
/p>
n
a
n
(
n
1
)
n
②
则①即为
b
a
n
}
为首项是
b
1
3
n
1
b
n
2
，则数列
{b
1
(
1
1
)
×
1
2
，公差是
b
n
1
b
n
2
的等<
/p>
差数列，因而
b
3
2
2
(
n
1
)
2
n
1
2
，代入②式中得
a
1
n
n
2
n
(
n
1
)(
4
n
1
)
。
故所求的通项公式是
<
/p>
a
1
n
2
n
(
n
1
)(
4
n
1
)
< br>
二、构造等比数列法
1.
定义构造法
利用等比数列的定义
q
a
n
1
a
，通过变换，构造等比数列的方法。
n
2
例
2.
设在数列
{a
n
}
中，
a
n
1
2
，
a
2
n
1
< br>a
2
a
，求
{a
n
}
的通项公式。
n
解：将原递推式变形为
a
(
a
n
2
)
2
n
1
2
2
a
①<
/p>
n
2
a
(
a
n
2
)
n
1
2
2
a
②
n
①
/
②得：
a
n
1
<
/p>
2
a
[
a
n
2
n
1
2
a
]
2
，
n
2
即
lg
a
n
1
2
a
2
lg[
a
n
2
]
③
n
1
2
< br>a
n
2
设
b
n
2
n
lg[
a
a
n
2
]
④
③式可化为
a
n
1
a
2
，则数列<
/p>
{b
a
2
2
2
n
}
是以
b
1
＝
lg[
1
2
]
lg
2
2
< br>2
lg(
2
< br>1
)
为首项，
n
a
1
公比为
2
的等比数列，于是
b
1
)
×
2
n
1
2
n
lg(
2
1
)
，代入④式得：
a
n
2
n
2
lg(
2
a
n
2
＝
n
(
2
< br>
1
)
2
n
，解得
a
2
[(
2
1
)
2
1
]<
/p>
n
(
2
1
)
2
n
1
为所求。
2.
a
n
1
Aa
n
B
< br>（
A
、
B
为常数）型递推式
可构造为形如
a
n
1
A
(
a
n
)
的等比数列。
例
3.
已知数列
{
a<
/p>
n
}
，其中
a<
/p>
1
1
，
a
n
1
3
a
n
2
，求通项公式
a
n
。
解：原递推式可
化为：
a
n
1
1
3<
/p>
(
a
n
1
)
，则数列
{
a
n
1
}
是以
a
1
1
2
为首项，公比为
3
的等比数列，于是
< br>a
n
1
n
1
(
a
1
1
)
×
3
2
×
3
n
1
，故
a
n
2
×
3
n
1
1
。
3.
a
n
1
Aa
n
B
·
C
n
（
A
、
B
、
C
为常数，下同）型递推式
可构造为形如
a
1
n
1
·
C
n<
/p>
A
(
a
n
·
C
n
)
的等比数列。
例
4.
已知数列
{
a
n
}
，其中
a
a
n
1
1
，且
a
n
1
2
n
·
a
，求通项公式
a
n
。
n
3
解：将原递推变形为
1
a
3
n
1
a
2
n
，设
b
1
n
＝
。①
n
a
n
< br>得
b
n
n
1
3
b
n
2
②
设②式可化为
b
n
1
n<
/p>
1
·
2
3
(
b
1
n
·
2
n
)
，比较得
< br>
5
于是有
b
1
5
2
n
1
3
(
b
1
n
1
·
n
5
·
2
< br>n
)
数列
{
b
1
n
5
·
2
n<
/p>
}
是一个以
b
1
2
3
1
5
·
2
1
1
5
5
为首项，公比是－
3<
/p>
的等比数列。
所以
b
1
n
·
2
n
3<
/p>
(
3
)
n
1
，即
b
1
n
1
5
5
n
< br>5
·
2
5
(
3
)
n
，代入①式中得：
a
5
n
2
n
(
3
)
n
为所
求。
4.
a
n
1
<
/p>
Aa
n
Bn<
/p>
C
型递推式
可构造为形如
a
n
1
1
n
2<
/p>
A
[
a
n
1
(
n
1
)
2
]
的等比数列。
例
5.
在数列
{
a
n
}
中，
a
3
1
2
< br>，
2
a
n
a
n
1
6
n
3
，求通项公式
a
n
。
解：原递推式可化为
2
(
a
n
1
n
2
)
a
n
1<
/p>
1
(
n
1
)
2
，比较系数可得：
1
6
，
2
9
，上式即为
2
b
n
b
n
1
，
{
b
n
}
< br>是一个等比数列，首项
b
1
<
/p>
a
1
6
n
9
9
2
，公比为
1
2
。
所以
b
9
1
n
n
2
(
2
)
1
。
即
a<
/p>
9
9
·
(
1
n
1
n
n
6
n
2
)
，故
a
n
9
·
(
2
)
6
n
9
为所求。
三、函数构造法
对于某些比较复杂的
递推式，
通过分析结构，
联想到与该递推式结构相同或相近的公
式、
函数，
再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式
的方法。
例
6.
在数列
{
a
3
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
a
n
3
a
n
，求通项公式
a<
/p>
n
。
分析：首
先考虑所给递推式与公式
(
a
b
)
3
a
3
3
a
2
b
3
ab
2
b
3
的联系。
解：设
a
1
3
1
x
x
，则
a
2
a
3
a
1
(
x
x
1
)
3
< br>3
(
x
x
1
)
x
3
x
3
1
同理
a
9
3
x
x
9
，
a
27
4
x
27
x
，„。
即
a
3
0
0
1
1
1<
/p>
x
x
3
，
a
2
x
3
x
3
，
a
3
x
3
2
x<
/p>
3
2
，
x
3
3
3
4
x
x
3
„
，猜想
a
n
x
3
n
1
x
3<
/p>
n
1
。下面用
数学归纳法加以证明（证明略）
。
由
于
a
即
x
<
/p>
x
1
1
1
，
1
，解得
x
3
±
5
3
±
5
3
n
1
2
，于是
a
n
(
2
)
(<
/p>
3
±
5
3
n
1
2
)
为所求。
转化为常见类型求解：
例
2
设数列
a
n
满足
下列条件，试求各通项：
（
1
）
a
1
1
,
na
n
1
(
< br>n
1
)
a
n
1
(
n
1
,
2
,
3
)
（
2
）
a
1
< br>1
,
a
n
2
a
n
1
(
1
)
n
1
(
n
2
,
3
,
< br>4
)
（
3
）
a
a
n
1
1
,
a
2
10
,
a
a
n
1
(
n
3
,
4
,
5
)
n
<
/p>
1
a
n
2
解：
（
1
）
na
a
n
1
a
n
n
1
(
n
1
)
a
n
1<
/p>
n
1
n
1
n
(
n
1
)
令
b
a
n
n
n
,
则
b<
/p>
1
a
1
1
，
b
n
1
b
1
n
n
(
n
1
)
本题用
n
(
n
1<
/p>
)
除递推式两边，再进行变量代换，就可转化为“
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型”
，
可得
b<
/p>
1
n
2
n
a
n
nb
n
2
n
< br>1
（
2
）递推式两边同除以
2
n
，得
a
n
2
n
a
n
1
2
n
1
(
1
n
2
)
，就
可转化为“
a
n
1
a
n
f
(
n
)<
/p>
型”
，当
然，也可以在递推式两边同除以
(
1
)
n
，得
a
n
2
a
n
1
a
n
a
n
1
(
1
)
n
(
1
)<
/p>
n
1
即
(
1
)
n
2
(
1
)
n
1
1
，
则可
转化为“
a
p
a
1
n
n
1
n
1
n
q
型”
，所以得
a
n
3
2
(
1
)
（
< br>3
）递推式两边同取对数，得
lg
a
1
n
l
g
a
n
1<
/p>
2
(lg
a<
/p>
n
1
lg
a
n
2
)
令
b
lg
a
b
1
lg
a
2
lg
a
1
1
n
，则
b
1
1
n
lg
a
n
1
1
n
(
)
n
(
n
1
,
2
,
3
)<
/p>
b
n
1
2
b
n
2
(
n
3
,
4
,
5
,
)
2
<
/p>
lg
a
1
n
1
a
n
1
(
1
2
)
n
< br>1
n
1
lg
a
n
(
2
)
<
/p>
a
10
，已转
化为“
a
n
1
a
n
<
/p>
f
(
n
)
型”
，由累乘相消法可
n
1
1
2
2
<
/p>
1
n
1
得
a
n
10
10
2
4
(
1
2
)
n
1
1
n
1<
/p>
2
2
a
10
< br>
10
10
< br>
a
n
10
1
<
/p>
2
1
根据上述的介绍，下面问题你能解决吗？
练习：设数列
a
n
满足下列条件，试求各通项
：
（
1
）<
/p>
a
1
0
,
a
n
3
a
n
1
2
(
n
2
,
3
,
4
)<
/p>
（
2
）
a
1
a
,
a
n
1
a
n
n
(
n
1
,
2
,<
/p>
3
)
（
3
）
a
1
1
,
(
n
2
)(
a
n
1
)
na
n
1
(
n<
/p>
1
,
2
,
3
)
（
4
）
a
1
1
,
a
n
1
a
n
<
/p>
na
n
1
a
n
(
n
2
,
3
,
4
)
< br>
（
5
）
a
n
1
1
1
,
a
n
3
2
a
n
1
(
n
< br>2
,
3
,
4
)
（
6
）
a
1
0
,
a
2
1
,
a
n
2
< br>
3
a
n
1
2
a
n
1
(
n
1
,
2
,
3
,
)
（
< br>7
）
a
n
1
1
7
,
a
n
1
5
a
n
2
3
4
(
< br>n
1
,
2
,
3
,
)
（
8
）
a
4
a
n
1
1
1
,
< br>a
n
3
a
(
n
2
,
3
,
4
,
)
n
1
专题二
由递推公式求通项的技巧
（
1
）
递推式为：
a
n+1
=a
n
+f(n)
型„„（用迭加法
）
例
1
、已
知
{
a
1
1<
/p>
n
}
中
a
1
2
,
a
n
1
a
n
4
n
2
1
,
求
a
n<
/p>
（
2
）
递推式为：
a
n+1
=pa
n
+q
型
(p,q
为常数
)
„„
(
用特征根法转化成等比数列）
例
2
、
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
对于
n
N
,
有
< br>a
n
1
3
a
n
2
,
求
a
n
（
3
）
递推式为：
a
n+1
=pa
n
+q
n
型
(p,q
为常数
)
„„
(
同除
q
n
或
q
n+1
，再用特征根法转化成等比数列
)
例
3
、
{
a
< br>5
1
1
n
}
中，
a
1
6
,
对于
n
N
有
a
n
1
3
a
n
(
2
)
n
< br>
1
,
求
a
n
（
4
）
递推式为：
a
n+2
=pa
n+1
+qa
n
型
(p,q
为常数
)
„„
(
变行为：
a<
/p>
n+2
--
α
a
n+1=
β
(
a
n+1
--
α
a
n
)
例
4
、
{
a
n
}
中，
a
1
<
/p>
1
,
a
2
2
,
有
a
2
n
2
3
a
1
n
1
3
a
n
,<
/p>
求
a
n
(5)
递推式为
s
a
a
1
..........
..(
n
1
)
n
与
a
n
的关系式：此类
型可利
用
n
s
n
<
/p>
s
n
1
....(
n
2<
/p>
)
例
5
、设
{
a
n
}
中，
a
n
1
s
n
n
1
,
a
1
2
,
求
a
n<
/p>
例
6
、已知
{
a
1
n
}
中，
s
n
为其前
n
项的和，且
s
n
(
a
2
4
n
1
)
,
求
a
< br>n
(
6
)
型如
:
a
n
1
a
<
/p>
（用迭乘法）
n
例
7
、已知
a
n
n
1
n
1
a
n
，求
a
n
(
7
)
型如：
a
n
a
n
1
t
n
（此类题把
a
n
分成奇数项与偶数项）
例
8
、已知
{
a
1
n
}
中，
a
1
1
,
a
n
、
a
n
1
是方程
x
2
b
n
x
3
n
0
< br>的两根，
1
）求
a
n
的通项
2
）
{
b
n
}
< br>的前
n
项和
T
< br>n
的极限
(
8
)
双递推
同一个题中
，出现两个
递推式（用“减少变量
”法）
例
9
、已知数列
a
< br>2
2
2
n
0
，
b
n
0
，
a
n
、
b
n
、
a
n
1
成等差；
b
n
、
a
n
1
、
b
n
1
成等比，
且
< br>a
1
1
，
b
1
2
,
分别求出
a
n
，
b
n
的通
项
例
10
、已知
{
a<
/p>
n
}
、
{
b
n
}
满足
a
1
1
，
b
1
< br>2
,
a
n
、
b
n
、
a
n
1
成等比
，
b
n
、
a<
/p>
n
1
、
b
n
1
成等差，
分别求出
a
n<
/p>
、
b
n
的通项<
/p>
（
（