分式型递推数列通项公式的求法
眼部护理方法-
一类分式型递推数列通项公式的求法
2012
年高考大纲全国卷考查了形
如
a
n
1<
/p>
=
Aa
n
B
递推数列通项公式的求法
.
Ca
n
D
由于此类题不仅涉及到转化和化归数学思想，
更要有较强的运算能力，
具有很强
的综合性，因而备受命题者的青睐
.<
/p>
不少同仁也研究过此类问题，如文
1<
/p>
,
推导过
程有
点烦琐
.
也用高等数学不动点知识来求解
,
这种解法对高中生来说很难接受
.
本文将从另外两个角度谈谈处理这类问题的方法
.
一
形如<
/p>
a
n
p
a
n
1
qa
n
2
递推数列通项公式求法
不少高中数学竞赛教程有此类问题的解法，这里直接引用，不再推导
.
结论
1
如
果
x
1
,
x<
/p>
2
是递推关系
a
n
p
a
n<
/p>
1
qa
n
2
（
a
0
,
a
1
给定）的特征方程
则
（<
/p>
1
）
当
x
1
x
2
时，
a
n
1
x
1
< br>
2
x
2
；
（
2
）
当
x
1
x
2
时，
x
2
px
q
的两个根，
a
n
(
1
2
n
)
x
1
< br>.
这里
1
,
2
,
1
,
2<
/p>
都是由初始值确定的常数
.
n
n
n
二
形如
a
n<
/p>
1
=
Aa
n
B
递推数列通
项公式求法
Ca
n
< br>
D
为了研究问题的一般性，这里
C
0
,
A
D
BC
0
.
设
f
(
x
)
值
a
1
f
a
1
< br>.
方法
1
构造法
两边同减去
< br>
,
a
n
1
=
Ax
B
，且
初始
Cx
D
Aa
n
B
(
A
C
)
a
n
B
D
=
< br>Ca
n
D
Ca
n
D
=
(
A
C
)(
a
n<
/p>
)
B
D
(
A
C
)
.
令
B
D
A
<
/p>
C
2
0
,
即
C
(
a
n
)
D
C
C
2
(<
/p>
D
A
)
B
0
,
可看成是方程
Cx
2
(
D
A
)
x
B
0
(1)
的根
.
由于此时
D
D
A
(
假设
x
,
代入方程
,
可得
AD
BC
,
与已知条件相矛盾
.
同理
x
).
C
C
C
Ax
B
所以方程
(1)
与方程
x
(2)
同解
.
此时不妨称
(2)
为特征方程
.
Cx
D
x
结论
2
(
1)
当特征方程有两个不等根
x
1
,
x
2
(
由初始值
a
1
f
a
1
,
可知方程的
根不可能
与
a
1
相等
)
时
,
a
n
1
x
1
(
A
Cx
1
)(
a
n
< br>x
1
)
(
A
Cx
2
)(
a
n
x
2
)
,
a
n
1
x
2
,
Ca
n
D
Ca
n
D