一阶线性递推数列的通项公式的5种求法
三星移动硬盘驱动-
一阶线性递推数列的通项公式的
5
种求法
研究一阶线性递推数列
a
< br>n
ca
n
1
d
，
（
c
0<
/p>
，
c
1
，
d
0
）
，
a
1
a
的通项公式各
种求法，分
析各种解法的适用条件，
比较各种解法的优劣，挖掘各种解法的本质，
< br>探寻各种
数列通项公式求法
.
解法一：等式两边同除法
a
n
a
n
1
d
a
n
< br>a
d
，令
，则
< br>，
，
b
b
b
b
n
1
n
n
1
n
n
1
n
n
< br>n
c
c
c
c
c
c
1
1
1
因此，
b
n
b
1
(
b
n
b
n
1
)
(
b
< br>n
1
b
n
2
)
(
b
2
b
1
)
d
(
n
n
< br>
1
2
)
，
c
c
c
a
n
ca
n
1
d
可化为
d
(
c
n
1
1)
a
d
d
< br>n
1
即：
b
n
，所以，
.
a
(
a
)
c
n
(
c<
/p>
1)
c
n
c
c
1
c
1
解法二：构造法
由解法一可知，
a
< br>n
d
d
(
a
)
c
n
1
，
c
1
c
1
那么
a
n
ca
n
1
< br>
d
一定可化为
a
n
m
< br>c
(
a
n
1
m
)
，
比较
a<
/p>
n
ca
n
1
d
和
a
n
ca
n
1
cm
m
< br>可知
m
令
b
n
a
n
d
d
d<
/p>
，
即
a
n
c
(
a
n
1
)
，
c
1
c
1
c
<
/p>
1
d
d
，则
b
1
a
，
b
n
cb
n
1
，
c
1
c
1
d
因此，数列
{
b
n
}
是以
b
1
a
为首项，以
c
为公比的等比数列
.
c
1
d
d
d
所以，
b
n
b
1
c
n
< br>1
(
a
.
)
c
n
1
，即：
a
n
(
a<
/p>
)
c
n
1
c
1
c
1
c
1
解法三：
“不动点”法
d
，
1
c
d
d
d
那么
a
n
ca
n
1
d
可以化为
a
n
ca
n
1
< br>
d
c
(
a
n
1
)
1
c
1
c
1
c
设
x
0
< br>是函数
f
(
x
< br>)
cx
d
的不动点，则
x
0
cx
0
d
，解得
x
0
下同解法二
.
解法四：
“升降下标作差”法
由
a
n
ca
n
1
d
„„„„①
可得
a
n<
/p>
1
ca
n
d
„„„„②
②
-
①得<
/p>
a
n
1
a
n
c
(
a
n
a
n
1
)
，
n
2
.
令
b
n
a
n
1
a
n
，则
b
n
cb
n
1
，且
b
1
a
2
a
1
ca
d
a
，
所以
b
n<
/p>
(
ca
d
a
)
c
n
1
，即
a
n
1
a
n
(
ca
d
a
)
c
n
1
，
a
n
a
1
(
a
n
a
< br>n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
< br>)
(
ca
d
a
)(1
c
c
2
<
/p>
c
n
2
)