(完整版)待定系数法求递推数列通项公式
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第
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最全的待定系数法求递推数列通项
用待定系数法求递推数列通项公式初探
摘要
:
本文通过用待定系数法分析求
解
9
个递推数列的例题，
得出适用待定
系数法求其
通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加
法、裂项
相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。
关键词
:
变形
对应系数
待定
递推数列
< br>数列在高中数学中占有重要的地位，
推导通项公式是学习数列必由之路，
特别是根
据递推公式推导出通项公式，
对教师的
教学和学生的学习来说都是一大难点，
递推公式
千奇百怪，推导
方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题
的关键在于如何变
形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和
公式法。
但是对比较复杂的递推公式，
用上述方法难以完成，
用待定系数法将递推公式
进行变形，
变成新的数列等差数列或
等比数列。
下面就分类型谈谈如何利用待定系数法
求解几类数列
的递推公式。
一
< br>、
a
n
1
pa
n
q
型
（<
/p>
p
、
q
为常数，
且
pq
0,
p
1
）
<
/p>
例题
1.
在数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
1
,
< br>试求其通项公式。
分析：
显然
，这不是等差或等比数列，但如果在
a
n
1
2
a
n
1
的两边
同时加上
1
，整理
为
< br>a
n
1
1
2(
a
n
1
)<
/p>
，
此时，
把
a<
/p>
n
1
1
和
a
n
1
看作一个整体，
或者
换元，
令
b
n
1
a
n<
/p>
1
1
，
那么
b
n
a
n
1
，
即
b
< br>n
1
2
b
n
，
b
1
a
1
1
2
，
因此，
数列
a
n
1
或
b
n
就是以
2
为首项，
以
2
为公比的等比数
列
a
n
<
/p>
1
2
n
，或者
b
n
2
n
，进一步求出
a
2
n
1
。
n
启示：
在这个问题中，容易看出在左右两边加上
1
就构成了新的等比数列
a
n
1
，那
不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？
其实，已知
a
n<
/p>
1
2
a
n
1
，可变形为
a
n
1
2(
a
n
)
的形式，然后展开括号、移
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最全的待定系数法求递推数列通项
项后再与
a
n
<
/p>
1
2
a
n
1
相比较，利用
待定系数法可得
2
1,
< br>
1
。
这样，对于形如
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
、
q
为常数，且
pq
0,
p
1
）的递推数列，
先变为
a
n
1
<
/p>
p
(
a
n
)
的形式，展开、移项，利用待定系数法有
(
< br>p
1)
q
，
q
p
<
/p>
1
即
a
n
1
q
q
p
(
a
n
)
p
< br>
1
p
1
q
q
a
,
公比为
p
的
等比数列
则数列
a
n
首项为
1
p
1
p
1
a
n
< br>
q
q
q
q
(
a
1
)
p
n
1
即
a
n
(
a
1
)
p
< br>n
1
p
1
p
1
p
1
p
1
因此，形如
a
n
1
pa
n
q
这一类
型的数列，都可以利用待定系数法来求解。
那么，若
q
变为
f
(
n
)
,
f
(
n
)
是关于
n
非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用
待
定系数法呢？
二
a
pa
qn
r
(
pq
0,
且
p
1)
型
n
1
n
例题
2.
在数列
a
n
中，
a
1
1
,
< br>a
n
1
2
a
n
3
n
1
,
试求其通项公式。
分析
：
按照例题
1
的思路，
在两边既要加上某一常数同时也要加上
n
的倍数，
才能使新
的数列有一致的形式。先
变为
a
n
1
(
n
1)
2(
a
n
n
)
1
，展开比较得
3,
即
a
< br>n
1
3(
n
1)
2(
a
n
3
n
)
<
/p>
4
进一步
a
< br>n
1
3(
n
1)
4
2(
a
n
3
n<
/p>
4)
则数列
a
n
3
n
4
是
a
1
3
1
< br>
4
8
首项为
a
1
3
1
4
8
公比为
2
的等比数列，所以
a
n
3
n
4
8
2
n
1
2
n
< br>2
，
a
n
2
n
2
3
n
4
同样，形如
a
n
1
pa
qn
r
的递推数列，设
a
n
1
x
(
n
1)<
/p>
y
p
(
a
n
xn
y
)
展开、
n
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最全的待定系数法求递推数列通项
(
p
1)
x
q
移项、整理，比较对应系数相等，列出方程
<
/p>
(
p
1)
y
x
r
q
x
p
< br>
1
解得
q
r
y
x
r
p
1
(
p
1)
2
p
1
即
a
n
1
q
q
r
q
q
r
(
< br>n
1)
p
a
n
<
/p>
n
p
1
2
p
1
(
p
1)
2
p
< br>
1
(
p
1)
p
1
q<
/p>
q
r
q
q
r
a
则数列
a
n
是以
为首项，以
p
为公比
n
1
2
2
p
1
(
p
< br>1)
p
1
p
1
(
p
1)
p
1
的等比
数列。于是就可以进一步求出
a
n<
/p>
的通项。
同理，
若
a
也
可以构造新的等比数列，
pa
f
(
n
)
其中
f
(
n
)
是关于
n
的多项式时，
n
1
n
利用待定系数法求出其通项。比如当
f
(<
/p>
n
)
qn
2
rn
s
=
时，可设
a
n<
/p>
1
x
(
n
1)
2
y
(
n
1)
z
p
(
a
n
xn
2
yn
z
)
展开根据对应系数分别相等求解方程即可。
f
(
n<
/p>
)
为
n
的三次、
四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。
而如果当
f
(
n
)
是
n
的指数式，即
f
(
n
)
q
n
r
时，递推公式又将如何变形呢？
三
a
pa
rq
n
s
型
(
pqr
0,
且
p
1,
q
1,
p
q
)
n
1
n
例题
3.
在数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
n
1
3
a
n
2
n
,
试求其通项
a
n
。
分析
1
：
由于
a
n
1
3
a
n
2
< br>n
与例题
1
的区别在于
2
n
是指数式，可以用上面的思路进行变
形，在两边同时加上
2
2
n
变为
a
n
1
2
n
1
3
a
n
3
2
n
即
a
n
1
2
n
1
3(
a
n
2
n
)
则数列
a
n
2
n
是首项为
3
< br>，公比为
3
的等比数列
a
n
2
n
3
n
，则
a
n
3
n
2
n
第
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最全的待定系数法求递推数列通项
分析
2
：
如果将指
数式先变为常数，两边同除
2
n
1
a
n
1
3
a
n
1
3
a
< br>n
1
n
1
n
1
< br>
2
2
2
2
2
n
2
就回到了我们的类型一。进一步也
可求出
a
n
3
n
2
n<
/p>
。
例题
4
.
在数列
a
n
中，
a
1
3
,
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
,<
/p>
试求
a
n
的通项
a
n
。
分析：若按例题
3
的思路
2
，在两边同时除以
2
n
1
，虽然产生了
了
a
n
a
n
1
、
，但是又增加
2
n<
/p>
1
2
n
4
2
n
1
，与原式并没有大的变化。所以只能运用思路
1
，在两边同时加上
10
2
n
整理
a
n
1
5<
/p>
2
n
1
3(
a
n
5
2
n
)
< br>4
进一步
a
n
1
5<
/p>
2
n
1
2
3(
a
n
5
2
n
< br>
2)
则数列
a
n
5
2
n
2
是首项为
15
，公比为
3
的等比数列
a
n
5
2
n
2
15
3
< br>n
1
5
3
n
即
a
n
5(3
n
2
n
)
2
启示：已知数列
a
n
的首项，
a
n
<
/p>
1
pa
n
rq
n
s
(
pqr
0
且
p
1,
q
1,
q
p
)
1
）当
s
< br>
0
,
即
a
n
1
pa
n
rq
n
由例题
3
知
，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造
首项和公比已知或可求的等比数列。
思路一：在两边同时除以
q
n
1
，将不含
a
n
1
< br>和
a
n
的项变为常数，即
a
n
1
< br>p
a
n
r
q
n
1
q
q
n
q
r
q
a
n
< br>
为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列
n
最
终求解出
a
n
p
q
1
q
的通项。<
/p>
思路二：在两边同时加上
q
n
的倍数，最终能变形为
a
n
1
x
q
n
1
<
/p>
p
(
a
n
xq
n
)
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最全的待定系数法求递推数列通项
对应系数相等得
(
p
q
)
x
r
，即
x
r
< br>p
q
即
a
n
1
r
r
q
n
<
/p>
1
p
(
a
n
q
n
)
p
q
p
q
r
求出数列
a
n
q
n
的通项，进一步求出
a
n
的通项。
p
q
2
）当
s
0
时，即
a
n
1
pa
n
rq
n
s
由例
4
可知
只能在选择思路二，两边既要加
q
n
的
倍数，也要加常数，最终能变形为
a
n
1
xq
n
1
y
p
(
a
n
xq
n
y
)
比较得
x
，
y
的方程组
(
p
q
)
< br>x
r
(
p
1)
y
s
r
x
p
q
即
y
s
p
1<
/p>
于是
a
n
1
r
s
r
s
q
n
< br>1
p
(
a
n
q
n
)
p
q
p
1
p
q
p
< br>1
r
s
q
n
求出数列
a
n
的通项，进一步求出
a
n
的通项。
p
q
p
1
< br>
四：
a
n
2
pa
n
1
qa
n
<
/p>
f
(
n
)
型
(
已知
a
1
,
a
2
其中
f
(
n
)
可以为常数、
n
的多项式或
指数式）
以
f
(
n
)
=0
为例。
2
1
例题
5
.
在数列
a
n
中，
a
1
1,
a
2
2,
a<
/p>
n
2
a
n
1
a
n
,
试求
a
n
< br>
的通项。
3
3
分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把
a
n
1
看做常数进行处理，可变
1
为
a
n
2
a
n
1
(
a
n
1
a
n
)
，先求出数列
< br>
a
n
1
a
n
的通项
3
1
a
n
1
a
n
(
)
n
1
3
< br>然后利用累加法即可进一步求出
a
n
的通项
a
n
。
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最全的待定系数法求递推数列通项
对于形如
a
n
2
pa
n
1
qa
n
的递推数列，可以设
a
n
2
xa
n
< br>1
y
(
a
n
1
xa
n
)
展开
，利用
x
y
p
对应系数相等，列方程
xy
q
于是数列
a
n
1
xa
n
就
是以
a
2
xa
1
为
首项，
y
为公比的等比数列
，不
难求出
a
n
1
x
a
n
的通项进一步利用相关即可求出
a
n
。
同理，
a
n
2
p
a
n
1
<
/p>
qa
n
f
(
n
)
当
f
(
n
)
为非零多项式或者是指数式时，也可结合前
面的思路进行处理。问题的关键在
于先变形
a
n
2
xa
n
< br>1
y
(
a
n
1
xa
n
)
<
/p>
f
(
n
)
然后把
a
n
1
xa
n
看做一个整体就变为了前面的类型。
五
：
a
n
1
p
a
n
r
(
p
< br>1
且
p
R
，
r
0,
r
1)
型，
a
n<
/p>
为正项数列
例题
6
.
在数列
a
n
中
，
a
1
1<
/p>
,
a
n
1
2
a
n
2
，试求其通项
a
n
。
分析
：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在
于通过变形，
使两边次数相同，
由于
a
n
0
，
所以可联想到对数的相关性质，
对
a
n
1
2
a
n
2
两边取对数，即
lg
a
n
<
/p>
1
lg(2
a
n
2
)
lg
2
lg
a
n
2
2lg
a
n
lg
2
就是前面的类型一了，即
lg
a
n
<
/p>
1
lg
2
2(lg
a
n<
/p>
lg
2)
lg
a
n
lg2
(lg2)
2
n
1
lg2
2
变形得
a
n
2
2<
/p>
n
1
1
n
1
对于类似
a
n
1
p
a
n
r
(
p
1
且
p
< br>
R
，
r
0,
r
1)
的递推数列，由于两边次数不一致，
又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得
lg
a
n
1
lg
p
a
n
r
r
lg
a
n
<
/p>
lg
p
lg<
/p>
p
然后就是
前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列
lg
a
n
1
为已
r
1