利用递推关系数列求和的技巧与方法
泥巴怪兽-
利用递推关系求数列通项的九种类型及解法
1
.
形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型
（
1
）若
f(n)
为常数
,
即：
a
n
1
a
n
d
,
此时数列为等差数列，则
a
n
=
a
1
(<
/p>
n
1
)
d
.
（
2
）若
f(n)
为
n
的函数时，用累加法
.
方法如下：
由
a
n
1
a
n
f
(
n
)
得：
n
2
时，
< br>a
n
a
n
1
f
(
n
1
)
，
a
n
1
a
n
2
< br>
f
(
n
2
)
，
a
3
a
2
f
(
2
)
a
2
< br>
a
1
f
(
1
)
所以各式相加得
a
< br>n
a
1
f
(
n
1
)
f
(
n
2
)
f
(
2
)
< br>
f
(
1
)
n
1
即：
a
n
<
/p>
a
1
f
(
k
)
.
k
1
为了书写方便，也可用横式来写：
n
2
时，
a
n
a
n
1
f
(
n
1
)
，
a
n
(
a
n<
/p>
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
<
/p>
a
1
)
a
1
=
f
(
n
1
)
f
(
n
2
)
f<
/p>
(
2
)
f
(
1
)
a
1
.
例
1.
（天津文）
已知数列｛
a
n
1
< br>n
｝满足
a
1
< br>
1
,
a
n
3
a
n
1
(
n
2
)
,
证明
a
3
n
1
n
2
< br>证明：由已知得：
a
n
a
1
n
1
3
n
,
故
a
n
(
a
n
a
n<
/p>
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
a
1
)<
/p>
a
1
=
3
n
1
3
n<
/p>
2
3
1
3
n
1
3
n
1
2
.
< br>
a
n
2
.
例
2.
已知数列
a
n
的首项为
1
，且
a
n
1
a
n
2
n
(
n
<
/p>
N
*
)
写出数列
a
n
的通项公式
.
n
2
n
1
答案：
例
3
.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
，
a<
/p>
n
a
n
1
1
(
n
2
)
，求此数列的通项公式
.
n
(
n
1
)
答案：
a
n
2
1
n
评注：已知
a
1
a
,
a
n
1
a
n
f
(
n
< br>)
，其中
f(n)
可以是关于<
/p>
n
的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项
a
n
.
①若
f(n)
是关于
n
的一
次函数，累加后可转化为等差数列求和
;
②若
f(n)
是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和
;
③若
f(n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等比数列求和
;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和。
2.
形如
a
n
1
f
< br>(
n
)
型
a
n
a
n
1
n
1
，此时数列为等比数列，
a
n
=
a
1
< br>
q
.
q
（其中
q
是不为
0
的常数）
a
n
（
1
）当
f(n)
为常数，即：
（
2
）当
f(n)
为
n
的函数时
,
用累乘法
.
由
a
n<
/p>
1
a
f
(
n
)
得
n
2
时，
n
f
(
n
1
)
，
< br>a
n
a
n
1
a
n
a
n
1
a
2
a
1
=f(n)f(n-1)
f
(
1
)
a
1
.
a
n
1
a
n
2
a
1
a
n
例
1.
设
2
2
a
n
是首项为
1
< br>的正项数列，且
n
1
a
n
，则它的通项公式是
a
n
=
________.
1
na
n
a
n
1
a
n
0
（
n
=1
，
2
，
3
，„）
解：已知等式可化为：
(
a
n
1
a
n
)
(
n
1
)
a
< br>n
1
na
n
0
a
n
<
/p>
1
n
a
n
n
1
a
n
0
(
n
N
*
)
(n+1)
a
n
1
na
n
0
,
即
a
n
n
1
a<
/p>
n
1
n
n
2
时，
a
n
a
n
a
< br>n
1
a
n
1
n
2
1
1
1
=
2
a
< br>1
=
n
n
1
2
n
a
n
1
a
n
2
a
1
.
评注：本题是关于
a
n
和
a
n
1
的二次齐次式，可以通过因式分解
（一般情况时用求根公式）得到
a
n
与
a
n
1
的更为明显的关系式，从而求
出
a
n
.
例
2.
已知
a
n
1
解：因为
a
n
1
故
a
n
1
< br>na
n
n
1
,
a
1
1
,<
/p>
求数列
{
a
}<
/p>
的通项公式
.
n
na
n
n
1
,
所以
a
n
1
1
na
n
n
,
1
n
(
a
n
1
),
又因为
< br>a
1
1
,
即
a
1
1
0
，
所以由上式可知
a
n
1
0
,
所以
a
n
<
/p>
1
1
n
,
故由累乘法得
a
n
1
a
n
1
a
n
1
a
n
< br>1
1
a
1
a
2
1
3
(
a
1
1
)
a
< br>n
1
1
a
n
2
1
a
2
1
a
1
1
1
)
(
n
< br>
1
)!
(
a
1
1
)
=
(<
/p>
n
1
)
(
n
2
)
2
1
(
a
1
所以
a
n
(
a
1
1
)
-1.
(<
/p>
n
1
)!
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
a
n
1
na
n
n
1
,
转化为
a
n
1
1
n
(
a
n
1
),
若令
b
n
a
n
< br>
1
,
则问题进一步转化为
b
n
1
nb
n
形式，进而应
用累乘法求出数列的通项公式
.
3.
形如
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型
，则数列
{
a
n
}
为“等和数列
”，它是一个周期数列，周期为
2
，其通项分奇数项和偶数项来
讨论
;
a
n
d
（
d<
/p>
为常数）
（
1
）
若
a
n
1<
/p>
（
2
）若
f(n
)
为
n
的函数（非常数）时，可通过构
造转化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
型，通过累加来求出通项
;
或用逐差法
(
两式相减
)
得<
/p>
a
n
1
a
n
1
f
(
n
)
f
(
n
1
)
，，分奇偶项来分求通项
.
例
1.
数列
{
a
n
}
满足
a
1
0
,
a
n
1
a
n
2
n
,
< br>求数列
{
a
}
< br>的通项公式
.
n
分析
1
：构造
转化为
a
n
1
解法
1
：令
b
n
则
b
n
<
/p>
1
a
n
f
(
n
)
型
(
1
)
n
a
n
b
n
(<
/p>
1
)
n
1
a
n
1
(
1
)
n
a
n
(
1
)
n
<
/p>
1
(
a
n
1
a
n
)
(
1
)
n
1
2
n
.
b
n
b
n
1
(
1
)
n
2
(
n
< br>1
)
n
1
b
n
1
b
n
2
(
1
)
2
(
n
< br>
2
)
n
2
时
,
b
b
(
1
)
2
2
< br>
1
1
2
b
1
a
1
0
各式相加
:<
/p>
b
n
2
(
1
)
n
(
n
1
)
(
1
)
n
1
(
n
<
/p>
2
)
(
1
)
3
2
(
1
)
2
1
n
2
2
(
n
1
)
(
< br>1
)
n
.
2
当<
/p>
n
为偶数时，
b
n
此时
a
n
b
n
n
2
(
n
1
)
n
< br>
1
2
当
n
为奇数时，
b
< br>n
此时
b
n
a
n
,
所以
a
n
n
1
.
故
n
1
< br>,
n
为奇数
,
< br>
a
n
n
,
n
为偶数
.
a
n
2
n
解法
2
：
a
n
1
n
2
时，
a
n
< br>
a
n
1
2
(
n
1
)
，
两式相减得：
a
n
1
a<
/p>
n
1
2
.
a
1
,
a
3
,
a
5
,
,
构成以
a
1
,
为首项，以
2
为公差的等差数列
;
a<
/p>
2
,
a
4
,
a
6
,
,
构成以
a
2
,
为首项，以
2
为公差的等差数列
a
2
k
1
a
1
(
k
1
)
d
2
k
2
< br>a
2
k
a
2
(
k
1
)
d
2
k
.
a
n
n
1
,
n
为奇数
,
n
,
n
为偶数
.
a
n
< br>
f
(
n
)
型
a
n
p
(p<
/p>
为常数
)
，则数列
{
a
n
}
为
“等积数列”，它是一个周期数列，周期为
2
，其通项分奇数项
和偶数项来讨论
;
a
n
1
< br>f
(
n
1
)
，两式相除后，分奇偶项来分求通项
.
评注：结果要还原成
n
的表达
式
.
4.
形如
a
n
1
（
1
）若
a
n<
/p>
1
（
2
）若
f(n)
为
n<
/p>
的函数（非常数）时，可通过逐差法得
a
n
例
1.
已知数列
< br>{
a
n
}
满足
注：同上例类似，略
.
5
．形如
a
n
1
1
a
1
3
,
a
n
a
n
< br>
1
(
)
n
,
(
n
N
*
)
,
求此数列的通项公式
.
2
ca
n
< br>
d
,
(
c
0
,
其
中
a
1
a<
/p>
)
型
（
1
）若
c=1
时，数
列
{
a
n
}<
/p>
为等差数列
;
（
2
）若
d=0
时，数列
{
a
n
}
< br>为等比数列
;
（
3
）若
c
1
且d
0
时，数列
{
a
n
}
为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求
.
方法如下：设
a
n
1
得
a
n
1
c
(
a
< br>n
)
,
ca
n
(
c
1
)
,
与题设
a
n
1
ca
n
d
,
比较系数得
<
/p>
d
,
(
c
0
)
c
1
d
d
c
(
a
n
1
)
所以有：
a
n
c
1
c
1
(
c
1
)
d
,
所以
因此数列
a
n
<
/p>
d
d
a
构成以
为首项，
以
c
为公比的等比数列，
1
c
1
c
1
d
d
(
a
1
)<
/p>
c
n
1
c
1
c
1
d
d
)
c
n
1
即：
a
n
(
a
1
.
c
1
c
1
所以
a
n
规律：将递推关系
a
n
<
/p>
1
ca
n
d
化为
a
n
1
d
d
d
c
(
a
n
)
,
构造成公比为
c
的等比数列
{
a
n
}
从而求得通项公
式
c
1
c<
/p>
1
c
1
a
n
1
d
d
c
n
1
(
a
1
)
1
<
/p>
c
c
1
有时我们从递推关系
a
n
1
为
c
的等比数列
{
a
n
1
复杂
.
例
1
．已知数列
{
a
n
}
中，
< br>a
1
分析：两边直接加上
ca
n
d
中把
n
换成
n-1<
/p>
有
a
n
ca
n
1
d
,
两式相减有
a
n
1
a
n
c
(
a
n
< br>
a
n
1
)
从而化为公比
a
n
}
,
进而求得通项公式
.
a
n
1
a
n
c
n
(
a
2
a
1
)
,
再利用类型
(1)
即可求得通项公式
.
我们看到此方法比较
1
1
a
n
,
< br>求通项
a
n
.
2
2
2
,
a
n
1
d
,
构造
新的等比数列。
c
1
1
1
1
解：由
a
n
1
a
n
,
得
a
n<
/p>
1
1
(
a
n
1
)
,
2
2
2
1
< br>所以数列
{
a
n
1
}
构成以
a
1
1
1
为首项，以
为公比的等比数列
2
1
n
1
1
n
1
1
.
所以
a
n
1
(
)
,
即
< br>a
n
(
)
2
2
方法二：由
< br>
a
n
1
ca
n
d
,
<
/p>
n
2
时，
a
n
ca
n
1
d
,
两式相减得
a
n
1
a
n
c
(
a
n
a
n
1
)
a
n
< br>
1
a
n
c
,
a
n
a
n<
/p>
1
数列
{
a
n
a
n
1
}
是以
a
2
a
1
=
(
c
1
)
a
1
d
为首
项，以
c
为公比的等比数列
.
a
n
a
n
1
(
a
2
a
1
)
c
n
2
<
/p>
a
n
1
a
n
2
(
a
2
a
1
)
c
n
3
<
/p>
a
n
a
1
(
a
2
a
1
)(
1
c
c
n
2
)
a
3
a
2
(
a
2
< br>a
1
)
c
a
2
a
1
a
2
a
1
1
c
n
1
< br>=(
a
2
a
1
)
1
c
方法三：迭代法
a
n
(
a
d
d
)
c
n
1
.
c
1
c
1
由
递推式
a
n
1
直接迭代得
a
n
=
c
3
ca
n
d
,
ca
n<
/p>
1
d
c
(
ca
n
2
d
)
d
< br>
c
2
a
n
2
d
(
c
1
)
a
n
3
d
(
1
c
< br>
c
2
)
=
c
n
1
a
1
d
(
1
c
c
2
< br>c
n
2
)
d
d
)
c
n
1
.
c
1
c
1
=
(
a
方法四：归纳、猜想、证明
.
先计算出
a
1
,
a
< br>2
,
a
3
,
再猜想出通项
a
n
,
最后用数学归纳法证明
.
注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同
.
6.
形如
a
n
1
.(1)<
/p>
若
pa
n
f
(
n
)
型
f
(
n
)
kn
b
(
其中
< br>k,b
是常数，且
k
0
)
方法：相减法
,
化成
:
递推式
b
n
1
例<
/p>
1.
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
cb
n<
/p>
d
,
形式
.
1
,
a
n
1
3
a
n
2
n
,
求通项
a
n
.
< br>解：
a
n
1
3
a
n
2
n<
/p>
,
①
n
2
时，
a
n
3
a
n
1
2
(
n
1
)
，
两式相减得
a
n
1
a
n
3
(<
/p>
a
n
a
n
1
)
2
.
令
b
n
a
n
1
a
n
,
则
b<
/p>
n
3
b
n
1
2
利用类型
5
的方法知
b
n
即
a
n
1
5
3
n
1
< br>
2
a
n
5
3
n
1
1
②
5
n
1
1
3
n
.
2
2
5
n
1
1
n
.
亦可联立
①
②解出
a
n
3<
/p>
2
2
3
例
2.
在数列
{
a<
/p>
n
}
中，
a
1
,
2
a
n
a
n
1
< br>6
n
3
,
求通项
a
n
.
2
再由累加法可得
a
n
解：原递推式可化为
2
(
a
n
xn
y
)
a
n
1
x
(
n
1
)
< br>
y
比较系数可得：
x=-6,y=9,
上式即为
2
b
n
所以
< br>b
n
1
2
2
b
n
是一个
等比数列，首项
b
1
a
1
6
n
9
9
,
公比为
1
.
b
n
<
/p>
9
1
n
1
1
(
)
即：
a
n
6
n
9
9
(
)
n
2
2
2
1
n
故
a
n
<
/p>
9
(
)
6
n
9
.
2