求递推数列通项公式的常用方法
葵瓜子的营养价值-
求递推数列通项公式的常用方法
绍兴一中
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来
考查学生对知识
的探索能力，
求递推数列的通项公式一般是将递
推公式变形，
推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组
合是一种特殊数列，
把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，
下面就求递推数列通向公式
的常用方法举例一二，供参考：
一
公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有
a
n
S
n<
/p>
S
，等差数
列或
n
1
(
n
2
)
等比数
列的通项公式。
例一
已知无穷数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，并且
a
n
S
n
1(
，求
a
n
的通项公式？
n
N
*
)
【解析】
：
S
n
1
a
n
，
a
n
1
S
n
1
S
< br>n
a
n
a
n
1
，
a
n
1
1
1
a
n
，又
a
1
，
2
2
1
a
n
.
2
反思：利用相关数列
a
n
与
S
n
的关
系：
a
1
S
1
,
a
n
S
n
S
n
1
(
n
2)
与提设条件，建立递推关系，是本题
求解的关键
. <
/p>
跟踪训练
1.
已知数列
< br>
a
n
的前
n
项和
S
n
，满足关系
lg
S
n
1
n
n
(
n
1
,2
)
.
试
证数列
a
n
是等比数列
.
二
归纳法
：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫
归纳法
.
例二
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
2
a
n
1
1(
，求数列
n
2
)
a
n
的通项公式
.
【解析】
：
a
1
1
，
a
n
2
a
n
< br>1
1(
n
2)
，
a
2
2
a
1
1
3
，
a
3
2
a
2
1
7
< br>
猜测
a
n
2
n
< br>
1
(
n
N
*
)
，
再用数学归纳法证明
.
（略）
反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明
其正确性
.
跟踪训练
2.
设
a
n
是正数组成的数列，其前
n
项和为
S
n
，并且对于所有自然数
n
，
a
n
与
1
的等差中项等于
S
n
与
1
的等比
中项，求数列
a
n
< br>
的通项公式
.
三
累
加
法
：
利
用
a
n
a
(
a
)
< br>
(
n
a
1
2
a
1
n
求
a
1
)
通
项
公
式
的
< br>方
法
称
为
累
加
法
。
累
加
法
是
求
型
如
a
n
1
a
n
f
(
< br>n
)
的递推数列通项公式的基本方法（
< br>f
(
n
)
可求前
n
项和）
.
1
例三
< br>
已知无穷数列
a
n
的的通项公式是<
/p>
a
n
，若数列
b
n
满足
b
1
1
，
(
n
1
)
，求数列
b
n
的通项
2
公式
.
n
n
1
< br>1
【解析】
：
b
1
1
,
b
n
1
b
n
<
/p>
(
n
1)
,
b
n
b
1
(
b
< br>2
b
1
)
(
b
n
b
n
1
)
=1+
+
+
2
2
- 1 -
1
2
n
1
1
=
< br>2
2
n
1
.
反思
:
用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为
a
n
1
< br>a
n
f
(
n
)
.
1
1
跟踪
训练
3.
已知
a
1
,
a
n
1
a
n
(
n
N
*
)
,
求数列
a
n
< br>通项公式
.
2
2
四
累乘法
:
利
用恒等式
a
n
a
1
n
a
a
2
a
3
n
(
a
n
0,
n
2)
求通项公式的方法称为累乘法
,
累乘法是求型如
:
a
1
a
2
a
n<
/p>
1
a
n
1
g
(
n
)
a
n
的递推数列通项公式的基本方法
(
< br>数列
g
(
n
)
可求前
n
项积
< br>).
例四
已知
a
1
< br>1
,
a
n
n
(
a
n
1
a
n
)
(
n
N
*
)
,
求数列
a
n
通项公式
.
【解析】
：
a
n
n
(
a
n
1
a
n
)
,
1×
×
×
×
a
n
1
n
1
a
a
a
,
又有
a
n
a
1
2
3
n
(
a
n
0,
n
2)
=
a
n
n
< br>a
1
a
2
a
n
1
2
3
1
2
n
=
n
,
当
n
1
时
a
1
1
< br>，满足
a
n
< br>n
，
a
n
n
.
n-1
反思
:
用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为
a
n
1
g
(
n
)
a
< br>n
.
跟踪训练
4.
已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1)
a
n
1
(
n
2)<
/p>
.
则
a
n
的通项公式是
.
五
构造新数列
:
将递推公式
a
n+1
qa
n
d
（
q
,
d
为常数，
q
0
，
d
0
）通过
(
a
n
1
x
)
q
(
a
n<
/p>
x
)
与原递推
公式恒等变成
a
n
1
d
d
q
(
a<
/p>
n
)
的方法叫
构造新数列
.
q
< br>1
q
1
例五
已知数列
< br>
a
n
中
,
a
1
1
,
a
n<
/p>
2
a
n
1
1(
n
2)
,
求
a
n
的通项公式
.
【解析】<
/p>
:
利用
(
a
n
x
)
2(
a
n
1
x
)
,
求得
a
< br>n
1
2(
a
n
1
1)
,
a
n
1
是首项为
<
/p>
a
1
1
2
,
公比为
2
的等比数列
,
即<
/p>
a
n
1
2
n
,
a
n
2
n
1
反思
:.
构造新数列的实质是通
过
(
a
n
<
/p>
1
x
)
q
(
a
n
x
)
来构造一个我们所熟知的等差或等比数列
.
跟踪训练
5.
已知数列
中
,
a
1
1
,
a
n
<
/p>
3
六
倒数变换：将递推数列
a
n
< br>
1
n
1
a
n
-1
(
n
2
)
求数列
a
n
的通项公式
.
< br>ca
n
1
d
1
1
(
c
0
d
,
<
/p>
0
,
取倒数变成
)
的形式的方法叫倒数变换
.
a
n
1
c
a
n
c
a
n
d
a
n
,
求数列
a
n
的通项公式
.
2
a
n
< br>
1
例六
已知数列
a
n
(
n<
/p>
N
)
中
,
a
1
1
,
a
n
1
*
< br>
1
a
n
1
1
1
1
1
2
,
2
,
是以
1
为首项
,
公差为
2
的等
【解析】
:
将
a
n
1
取倒数得
:
a
n
1
a
n
a
n
1
a
n
2
a
n
1
a
1
a
n<
/p>
- 2 -
差数列
.
1
1
.
<
/p>
1
2(
n
1)
,
a
n
2
n
1
a
n
反思
:
倒数变换有两个要点
需要注意
:
一是取倒数
.
二是一定要注意新数列的首项
,
公差或公比变化了<
/p>
.
跟踪训练
6.
已知数列
a
n
中
,
,
a
n
1
2
a
n
,
求数列
a
n
的通项公式
.
a
n
2
小结
:
求递推数列的通项公式的方法很多
,
以上只是提供了几种常见的方法
,
如果
我们想在求递推数列中游刃有余
,
需要在平时的练习中多观察<
/p>
,
多思考
,
还要
不断的总结经验甚至教训
.
参考答案
:
1.
证明：由已知可得：
S
n
10
n
1
，当
n
2
时
a
n
S
n
S
n
<
/p>
1
9
10
n
1
，
n
1
时，
a
1
S
1
9
满足上式
.
a
n
的通项公式
a
n
9
10
< br>
n
1
,
n
2
时
a
n
10<
/p>
为常数
,
所以
a
n
为等比
数列
.
a
n
1
2.
解
:
由已知可求
a
1
1
,
a
2
3
,
a
3
5
,
猜测
a
n
2
n
1
.(
用数学归纳法证明
).
1
1
1
3.
由已知
a
n
1
a
n
,
a
n
a
1
(
a
2
a<
/p>
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
n
a
n
1
)
< br>=
2
2
2
1
2
n
1
n
2
3
1
2
2
n
<
/p>
1
.
4.
n<
/p>
2
时
,
a
n
a
1
2
a
2
3
a
< br>3
(
n
1)
a
n
1
,
a
n
1
a
1
2
a<
/p>
2
(
n
1)
a
n
1
na<
/p>
n
作差得
:
a
n
1
a
n
na
n
,
a
n
1
a
a
a
n
1
,
3
3
,<
/p>
4
4
,
,
n
n
a
n
a
2
a
3
a
n
1
1
n
< br>
1
n
!
a
n
.
3
4<
/p>
5
n
,
a
2
1
,
a
n
(
n
2)
,
a
n
n
!
2
a
2
n
2
2
2<
/p>
3
n
1
5.
a
n
6.
a
n
n
1
2
数列
一、
求递推数列通项公式
基础类型
类型
1
a
n
1
a
n
d
及
a
n
1
q
a
< br>n
a
n
1
a
n
f
(
n
)
a
n
f
(
n
)
，利用累加法
(
逐差相加法
)
求解
。
- 3 -
< br>解法：把原递推公式转化为
a
n
1
例
1:
已知数列
a
n
满足
a
1
1
，
a
n
1
a
n
2
1
，求
a
n
。
n
2
n
解：由条件知：
a
n
1
a
n
1
1
1
1
n
2<
/p>
n
n
(
n
1
)
n
n
1
分别令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，
代入上式得
(
n
1
)
个等式累加之，
< br>即
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3
)
< br>
(
a
n
a
n
1
)
1
1
1
1
1
1
1
1
< br>
(
1
)
(
)
(
)
(
)
所以
a
n<
/p>
a
1
1
2
2
3
3
4
n
1
n
n
1
1
1
3
1
a
1<
/p>
，
a
n
1
2
2
n
2
n
类型
2
a
n
1
f
(
n
)
a
n
a
< br>n
1
f
(
n
)
，
利用累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
3
n
a
n
，求
a
n
。
< br>
n
1
解法：把原递推公式转化为
例
2:
已知数列
a
n
满足
a
1
2
，
a
n
1
< br>a
n
1
n
a
n
n
1
解
：
由
条
件
知
，
分
别
令
n
1
,
< br>2
,
3
,
,
(
n
<
/p>
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n
1
)
个
等
式
累
乘
之
，
即
a
a
a
2<
/p>
a
3
a
4
1
2
3
n
1
1
n
<
/p>
n
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3<
/p>
4
a
1
n
2
2
，
a
n
3
3
n
3
n
1
a
n
(
n
<
/p>
1
)
，求
a
n
。
例
3:
已知
a
1
3
，
a
n
1
< br>3
n
2
又
a
1
解：
a
n
<
/p>
3
(
n
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
1
3
1
<
/p>
a
1
3
(
n
1
)
2
3
(
n
2
)
2<
/p>
3
2
2
3
2
3
n
4
3
n
7
5
2
6
3<
/p>
3
n
1
3
n
4
8
5
3
n
1
。
变式
:
（<
/p>
2004
，
全国
I,
理
15
．
）
已知数列
{
a
n
}
，
满足
a
1
=1
，
a
n
1
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥2)
，
则
{
a
n
}
的通项
a
n
___
n
1
n
2
解：由已知，得
a
n
1
当
n
a
1
2
a
2
3
a
3
< br>
(
n
1
)
a
n
1
na
n<
/p>
，用此式减去已知式，得
2
时，
a
n
1
a
< br>n
na
n
，即
a
n
1
(
n
1
)
a
n
，又
a
2
a
1
1
，
- 4 -
a
1
1
,
类型
3
a
a
a
2
a
n
!
1
,
3
3
,
4
4
< br>,
,
n
n
，
将以上
n
个式子相乘，得
a
n
(
n
2
)
2
a
1
a
2
a
3
a
n<
/p>
1
。
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）
解法（待定系数法）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
q
，再利用换元法转化为等比数列求解。
1
p
例
4:
已知数列
a
n
中，
< br>a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
a
n
1
2
a
n
3
< br>可
以
转
化
为
解
：
设
递
推
公
式
a
n
1
t
2
(
a
n
t
< br>)
即
a
n
1
2
a
n
t
t
3
.
故
递
推
公
式
为
a
< br>n
1
3
2
(
a
n
3
)
,
令
b
n
a
n
3
，则
b
1
a
1
3
4
,
且
等比数列，则
b
n
< br>b
n
1
a
n
1
3
2
.
所以
b
n
是以
b
1
4
为首项，
2
b
n
a
n
3
为公比的
4
2
n
1
< br>2
n
1
,
所以
a
n
2
n
1<
/p>
3
.
变式<
/p>
:
（
2006
，
重庆
,
文
,14
）
在数列
a
n
中，若
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
_______________
2
n
1
3
）
（
key:
a
n<
/p>
类型
4
数）
。
n
。
（或
a<
/p>
n
1
pa
n
rq
,
其中
p
，
q,
r
均为常
a
n
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以
q
n
1
，得：
a
n
1
p
a
n
1
< br>q
n
1
q
q
n
q
引
入辅助数列
b
n
（其中
b
n
a
n
n
q
）
，得：
b
n
1
p<
/p>
1
b
n
再待定系数法解决。
q
q
例
5:
已知数列
解：在
a
n
1
a
n
中，
a
1
5
,
a
n
1
1
a
n
(
1
)
n
1
，求
a
n
。
6
3
2
1
1
2
a
n
(<
/p>
)
n
1
两边乘以
2
n
1
得：
2
n
1
a
n
1
(
2
n
a
n
)
1
3
2
3<
/p>
2
2
n
n
令
b
n
2
a
n
，则
b
n
< br>1
b
n
1
,
解之得：
b
n
3
2
(
)
<
/p>
3
3
b
n
1
n
1
n
所以
a
n
n
3
(
< br>)
2
(
)
2
3
2
类型
5
递推公式为
< br>a
n
2
。
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
解
(
特征根法
)
：对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa
n
，
a
1
< br>
,
a
2
给出的数列
< br>
a
n
，方程
x
2
px
q
0
，叫做数列
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