常见线性递推数列通项的求法
全运会场馆-
文档来源为
:
从网络收集整理
< br>.word
版本可编辑
.
欢迎下
载支持
.
常见线性递推数列通项的求法
对于由
递推式所确定的数列通项公式问题，
往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或
等比
数列，从而使问题简单明了。这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线
性递推数列求通项的
基本求法。
一、一阶递推数列
1
、
a
n
1
pa
n
q
型
形
如
a
n
1<
/p>
pa
n
q
（
p
1
且
q
为不等于
0
的常数）的数列，可令
a
< br>n
1
x
p
(
a
n
x
)
即
a
n
1
pa
n
(
p
1
)
x
与
a
n
1
pa
n
q
比较得
x
q
q
，
从而构
造一个以
a
1
为首项以
p
为公
p
< br>
1
p
1
比的等比数列
a
n
q
p
1
例<
/p>
1
．在数列
{
a
n
}
中，
a<
/p>
1
1
,
a
n
1
3
a
n
1
,
求
a
n
.
解：在
a
n
1
3
a
n
1
的两边
同加待定数
，得
a
< br>n
1
3
a
n
1
3
(
a
n
+
（
－
1
< br>）
/3
）
，令
< br>
(
1
)
1
1
1
1
,
得
.
a
n
1
3
< br>
(
a
n
).
数列
{
a
n
}
是
公比为
3
的等比数列
,
3
2
2
2
< br>2
1
n
1
1
1
n
1
∴
a
n
=
3
,
a
n
(
3
< br>1
).
2
2
2
2
、
a
n
1
c
a
n
g
n
型
< br>(1)
c
1
< br>时：解题思路：利用累差迭加法，将
a
n
a
n
1
g
(
n
1
)
，<
/p>
a
n
1
a
n
2
=
g
(
n
2
)
，…，
a
2
a
1
=
g
(
1
)
,
各式
相加，正负抵消，即得
a
n
.
例
2
．在数列
a
n
中，
a
1
0
且
a
n
1
a
n
2
n
1
，求通项
a
n
.
解：依题意得，
a
1
0
，
a
2
a
1
1
,
a
3
a
2
<
/p>
3
,
,
a
n
a
n
1
2
n
1
1
2
n
3<
/p>
，把以上各式
相加，得
【评注】由递推关系得，若
g
n
是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若<
/p>
a
n
1
a
n
非
常数，而是关于
n
的一个解析式，可以肯定数列<
/p>
a
n
不是等差数列，将递推式中的
n
分别用
n
1
,
n
2
,
,
4
,
3
,
2
代入得
n
1
个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得
a
n
，而右边往往可以转化
为一个或几个特殊数列
的和。
（
2
）
c
1
时：
2
例
3
．在数列
a
n<
/p>
中，
a
1
1
,
a
n
1
3
a
n
< br>n
,
求通项
a
< br>n
.
2
2
解：作新数列
{
b
n
}
，使
b
n
a
n
(
An
Bn
C
),
即
a
n
b
n
(
An
<
/p>
Bn
C
),<
/p>
（
A
，
B
，
C
为待定
2
2
2
2
常数）
。由
a
n
1
3
a
n
n
可得：
b
n
1
< br>
A
(
n
1
)
B
(
n
1
)
C
=
3
(
b
n
An
Bn
C
)
< br>n
,
2
所以，
b
n
1
3
b
n
(
2
A
1
)
n
(
2
B
2
A
)
< br>n
2
C
A
B
，
设
2A+1=0
，
2B-2A=0
，
2C-A-B=0
，可
< br>1
文档来源为
:
从网络收集整
理
.word
版本可编辑
.
欢迎下载支持
.
得：
A
=B=C=-1/2
，
b
n
1
3
b
n
，
b
1
a
1
(
A
<
/p>
AB
C
)
5
，所以
{
b
n
}
是公比为<
/p>
3
的等比数列，
2
b
n
5
n
1
5
1
3
，
a
n
3
n
< br>
1
(
n
2
n
1
)
。
2
2
2
当一个数列
是一阶递推或二阶递推齐次数列时，可通过线性代换把问题化为等差或等比数列，本题是
2
2
设
a
n<
/p>
1
[
A
(
n
1
)
B
(
n
1
)
C
]
=
3
[
a
n<
/p>
(
An
Bn
C
)]
，用待定系数法求
A
、
B
、
C
即可。
【评注】求递推数列的通项的主要思路是通过转化
, <
/p>
构造新的熟知数列
,
使问题化陌生为熟悉
.
我们要
根据不同的递推关系式
,
采取不同的变形手段
,
从而达到转化的目的
.
n
例
4
．在数列
a
n
中，
a
1
1
,
a
n
1
3
a
n
2
,
求通项
a
n
.
n
1
3
(
a
n
k
2
n
)
，
a
n
1
< br>3
a
n
k
2
n
,
又
a
n
1
3
a
n
2
n
,
k
< br>
1
,
解：设
a
n
1
k
2
a
n
1
2
n
1
3
(
a
n
< br>
2
n
)
，
{
a
n
2
2
}
是以
3
为首项，
3
为公比的等比数列，
a
n
2
< br>n
3
3
n
1
3
n
,
a
n
3
n
2
n
。
3
、
< br>a
n
1
f
(
n
)
a
n
型
解
题
思
路
：
利
用
累
乘
法
,
将
a
n
a
a
f
n
1
,
n<
/p>
1
f
n
2
,
,
2
f
1
各
式
相
乘
得
，
a<
/p>
n
1
a
n
2
a
1
a
n
a
n
1
a
2
f
n<
/p>
1
f
n
2
f
1
，即得
a
n
.
a
< br>n
1
a
n
2
a
1
例
5
．在数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
n
，求通项
a
n
.
a
n
n
1
解：由条件等式
a
n
1
a
a
a
n
n
1
n
2
1
< br>1
1
，得
a
n
.
得，
n
n
1<
/p>
2
a
n
n
1
a
n
1
a
n
2
a
1
n
n
1
2<
/p>
n
n
【评注
】此题亦可构造特殊的数列，由
n
1
a
n
1
a
n
1
n
1
，则数列
na
n
是以
a
1
为首项，
得，
a
n
n
1
na
n
1
.
n
n
1
1
1
1
得
a
n
以
1<
/p>
为公比的等比数列，
na
n
a
1
< br>.
q
4
、
S
n
与
a
n
关系型（求差法）
数列有形如
f
(
S
n
,
S
n
1
)
g
(
a
n
)
的关系
（非递推关系）
，
可考虑用求差
S
n
S
n
1
a
n
后，
再用其它初<
/p>
等方法求得
a
n
.
例
6
．<
/p>
（
94
年全国高考试题）
设
{
a
n
}
是正数组成的数列，
其前
n
项和为
S
n
，
并且对于所有的自然数
n
,
a
n
与
2
的等差中项等于
S
n
与
2
的等比中项：
2
文档来源为
:
从网络收集整理
.word
版本可编辑
.
欢迎下载支持
.
（
1
）写出数列
{
a
n
}
的前
3
项；
（
2
）求数列
{
a
n
}
的通项公式
. <
/p>
出题者的意图是：通过（
1
）问求出数列
前
3
项再猜想出通项公式；
（
2
）再用数学归纳法证明猜想正
确
.
实际上用求差法求通项公式更简单
.
解：
（
1
）略
（
2
）由条件，得
a
n
2
2
S
n
,
即
(
a
n
2
)
2
8
S
n
< br>,
…
.
①
,
2
(
a
n
1
2<
/p>
)
2
8
S
n
1
.
…
②
,
①－
②得
8
a
n
(
a
n
2
)
2
(
a
n
1
2
)
< br>2
，
2
2
即
(
a
n
2
)
(
a
n
1
2
)
0
.
分解因
式得
(
a
n
a
n
1
)(
a
n
a
n
1
4
)
0
.
对于
< br>n
∈
N
,
a
n
＞
0
，
∴
a
n
a<
/p>
n
1
4
.
∴
{
a
n
}
是公差为<
/p>
4
的等差数列，
5
、
a
n
1
a
a
n
b
（
a
,
c
,
d
为非零常数）型
c
a
n
d
（
1
）
b
0
< br>时，上式可化为：
1
a
n
1
d
1
1
，即转化为第一种类型可求解。
c
< br>a
n
a
n
(
n
N
)
,
求
a
n
.<
/p>
a
n
3
例
6
．设数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
,
a
n
1
解：原条件变形为
a
n
1
a
n
3
a
n
< br>
1
a
n
.
两边同乘以
1
< br>1
1
,
得
1
3
.
a
n
<
/p>
a
n
1
a
n
a
n
1
3
∵
（
1
1
1
1
1
1
2
)
,<
/p>
3
n
1
，
∴
a
n
.
n
1
a
n
2
a
n
<
/p>
1
2
a
n
2
2
3
1
（
2
）
b
0
时，等式两边同加参数
t
，
b
dt
a
a
n
b
a
ct
…
…①
a
t
t
(
a
ct
)
则
n
1
c
a
n
d
c
a
n
d
a
< br>n
令
t
b
dt
2
，即
c
t
(
a
<
/p>
d
)
t
b
0
……
.
②
a
ct
记此方程的两根为
t
1
,
t
2
，
（
1
）
若
t
1
t
2
，将
t
1
,
t
2
分别代入①式可得
a
n
1
t
1
(
a
ct
1
)
a
n
t
1
a
t
2
，
a
n
1
t
2
(
a
ct
2
)
n
c
a
n
d
c
a
n
d<
/p>
以上两式相除得
a
n
1
t
1
a
ct
1
a
n
t
1
，
a
n
1
t
2
< br>a
ct
2
a
n
t
2
3
文档来源为
:
< br>从网络收集整理
.word
版本可编辑
< br>.
欢迎下载支持
.
a
n
t
1
a
< br>ct
1
于是得到
，
为等比数列，其公比
为
a
ct
a
t
2
n
2
数列
a
n
的通项
a
n
可由
a
n
t
1
a
1
< br>t
1
a
ct
1
n
1
(
)<
/p>
求得；
a
n<
/p>
t
2
a
1
t
2
a
ct
2
a
n
t
< br>1
,
c
a
n
d
（
2
）若
t
1
t
2
，将<
/p>
t
t
1
代入①式可得
a
n
1
t
1
(
a
ct
1
)
考虑到上式结
构特点，两边取倒数得
c
(
a
n
t
1
)
d
< br>
ct
1
1
1
……
③
a<
/p>
n
1
t
1
a
ct
1
a
n
t
1
由于
t
1
t
2
时方程②的两根满足
2
t
1
于是③式可变
形为
a
d
，
∴
a
ct
1
d
ct<
/p>
1
c
1
c
1
a
n
1
t
1
a
ct
1
a
n
t
1
∴
c
1
为等差数列，其公差为
，
a
ct
a
t
1
n
1
数列
a<
/p>
n
的通项
a<
/p>
n
可由
1
1
c
(
n
1
)
求得．
a
n
t
1
< br>a
1
t
1
a
ct
1
这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而
求得其通项。
如果我们引入分式线性递推数列
a
n
1
a
a
n
b
ax
b
（
a
,
b
,
c
,
d
R
,
c
0
）的特征方程为
x
，即
c
a
n
d
cx
d
cx
2
(
d
a
)
x
b
0
，此特征方程的两根恰好是方程③两根的相反数，于是我们又有如下结论：
分式线性递推数列
a
n
1
a
a
n
b
ax
b
（
a
,
b
,
c
,
d
R
,
c
0
）
，其特征方程为
x
，即
c
< br>a
n
d
cx
d
cx
2
(
d
a
)
x
b
0
，
（
1
）若方程有两相
异根
s
1
、
s
2
，则
<
/p>
a
n
s
1
a
cs
1
成等比数列，其公比为
；
a
cs
2
a
n
s
2
（
2
）若方程有
两等根
s
1
s
2
，则
c
1
成等差
数列，其公差为
.
a
cs
a
s
1
n
1
例
7
、设数列
a
n
满足
a
1
2
,
a
n<
/p>
1
解：
对等式两端同加参数
t
得
5
a
n
4
,
求
a
n
2
a
n
7
4
文档来源为
:
从网络收集整理
.word
版本可编
辑
.
欢迎下载支持
.
7
t
4
2
t
5
a
n
<
/p>
7
t
4
5
a
4
2
t
5
,
令
t
7
t
4
,
解之可得
t
1
，
2
，
a
n
1
t
n
t
2
t
< br>5
2
a
n
7
2
a
n
7
2
a
n
7
2
t
5
a
n
< br>代入
a
n
1
t
(
2
t
5<
/p>
)
a
n
t
，
2
a
n
7
得
a
n
1
1
3
a
n<
/p>
1
a
2
a
1
1
a
n
1
,
a
n
1
2
9
n
,<
/p>
相除得
n
1<
/p>
,
2
a
n
7
2
a
n
7
a
n
2
2
3
a
n
2<
/p>
即
a
n
1
a
1
1
1
1
的等比数列，
是首项为
,
公比为<
/p>
a
1
2
4
3
a
n
2
a
n
1
1
1
n
4
3
n<
/p>
1
2
。
3
,
解得
a
n
a
n
< br>
2
4
4
3
n
1
1
二、二阶线性递推数列
2
2
1
．设递推公式为
a
n
1
pa
n
qa
n
1
,
其特征方程为
x
px
q
即
x
px
q
0
，
n
n
< br>（
1
）若方程有两相异根
A
、
B
，则
a
n
c
1
A
c
2
B
n
（
2
）若方程有两等根
A
B
,
则
a
n
(
c
< br>1
nc
2
)
A
其中
c
1
、
c
2
可由初始条件确定。
很明显，如果将
以上结论作为此类问题的统一解法直接呈现出来，学生是难以接受的，也是不负
责任的。
下面我们结合求一阶线性递推数列的参数法，探讨上述结论的“来源”
。
设
a
n
1
ta
n
s
(
a
n
ta
n<
/p>
1
)
，则
a
n
1
(
s
t
)
a
n
< br>
sta
n
< br>1
,
令
s
t
p
（
*
）
st
q
（
1
）
若方程组（
*
）有两组
不同的解
(
s
1
,
t
1
),
(
s
2
,
t<
/p>
2
)
,
则
a
n
1
t
1
a
n
s
1
< br>(
a
n
t
1
a
n
1
)
,
<
/p>
a
n
1
t
2
a
n
s
2
(
a
n
t
2
a
n
1
)
,
由
等比数列性质可得
a
n
1
t
1
< br>a
n
(
a
2
t
1
a
1
)
s
1
n
1
,
,
a
n
1
t
2
a
n
(
a
< br>2
t
2
1
a
1
)
s
2
n
1
t
1
t
2
,
由上两式消去<
/p>
a
n
1
可得
5