数列递推式变形的六种策略
多加宝-
数列递推式变形的六种策略
以递推
形式给出的数列，
我们解决的基本策略是对递推式进行转化变形，
这一步实施起来起技巧性强，
往往成为解题的难点。为克服这类难点，笔者总结几种数
列递推式的变形策略，供参考。
策略一
待定系数法
例
1
已知数列｛
a
< br>n
｝满足
a
1
< br>=
1,
a
n
1
=2
a
n
+
1(
n
∈
N
)
（Ⅰ
）求数列｛
a
n
｝的通项公式；
（Ⅱ）
若数列
{b
n
}
满足
4<
/p>
1
4
2
4
n
b
1
b
1
b
1
（Ⅲ）略
.
(
a
n
1
)
b
n
(n
∈
N
*
),
证明
:{b
n
}
是等差数列。
解析：
（Ⅰ）令
a
n
1
2
(
a
n
< br>)
，则
a
n
1
2
a
n
，与
已知
a
n
+1
=2
a
n
+1
（
n
∈
N
）
比较，得
1
，
∴已知递推式可化为
a
n
+1
+1=2(
a<
/p>
n
+1),
∴
a
n
1
是以
a
1
+1=2
为首项，
2
为公比的等比数列。
∴
a
n
+1=2
n
，即
a
n
=2
n
－
1(
n
∈
N
*
).
（
II
）见后
.
例
2 <
/p>
已知数列
a
n
满足
a
1<
/p>
1
,
a
2
3,
a
n
2
3
a
n
< br>1
2
a
n
(
n
N
*
).
求数列
a
n
的通
项公式；
解析：令
a
n
2
a
n
1
(
a<
/p>
n
1
a
n
)
，则
a
n
2
(
< br>
)
a
n
1
a
n
3
2
1
与已知比较得
，解得
或
2
1
< br>
2
任取其中一组解（不妨取第一组）
，则条件化为
a
n
2
a
n
1
2
(
a
n
1
<
/p>
a
n
)
a
n
1
a
n
是以
a
2
a
1
2
为首项，
2
为公比的等比数列。
于是
a
n
<
/p>
1
a
n
2
(
n
N
),
a
n
a
< br>1
n
*
(
a
i
1
n
1
i
1
a
i
)
2
n
< br>1
.
归
纳
：
①
满
足
a
n
1
<
/p>
ca
n
d
（
c
、
d
为
常
数
且
c
0
）
< br>的
递
推
式
均
可
通
过
待
定
系
数
法转<
/p>
化
成
而许多数列的递推关系都可以转化为
a
n
1
a
n
1
2
(
a
n
< br>
)
的形式，
②例
2
来源于
2006
ca
n
d
的形式。
年高考福建文
22
题。一般地，形如
a
n
1
ca
n
da
n
1
（
c
、
< br>d
为常数）的递推关系均可利用待定系数法转
化成
a
n
1
a
n
(
a
n
a
n
1
)
形式
，用等比数列性质化为情形①
.
策略二
相减法
如
例
1
（
Ⅱ
）
证
明
：
由
已
知
及
（
Ⅰ
）
，
得
< br>4
(
b
1
b
2
b
n
)
n
2
nb
n
,
∴
2[(b
1
+b
2
+
…
+b
n
)-n]=nb
n
①
2[(b
1
+b
2
+
…
+b
n+
1
)-(n+1)]=(n+1)b
n+1
②
,
由
②
－
①
,
得
2(b
n+1
-1)=(n+1)b
n+1
-nb
n
,
(n-1)b
n+1
-nb
n
+2=0
③
,
<
/p>
nb
n+2
=(n+1)b
n+1
+2=0
④，
又将④－③，得
b
< br>n+2
+b
n
=2b
n+1
(n
∈
N
*
),
∴
{b
n
}
是等差数列
.
例
3
设数列
a
n
的前
n
项的
和
S
n
<
/p>
4
1
2
a
n
2
n
1
，
n
1
,
2
,
3
,
.
求通项
a
n
.
3
3
3
1 <
/p>
4
1
2
4
1
2
解析
:
由
S
n
=
a
n
－
×
2
n+1
+
, n=1,2,3
，…
①
，
得
a
1
=S
1
=
a
1
－
×
4+
所以
a
1
=2.
3
3
3
3
3
3
4
1
2
再由①有
S
n-1
=
a
n-1
－
×
2
n
+
, n=2,3
，
4,
…
②
3
3
3
4
1
将①和②相减得
: a
n
=S
n
－
S
n-1
=
(a
n
－
a
n-1
)
－
×
(2
n+1
< br>－
2
n
),n=2,3,
…
3
3
整理得
:
a
n
+2
n<
/p>
=4(a
n-1
+2
n-1
),n=2,3,
…
,
因而数列
{
a
n
+2
n
}
是首项为
a
1
+2=4,
公比为
4
的等比数列<
/p>
,
即
:
a
n
+2
n
=4
×
4
n
1
= 4
n
,
n=1,2,3,
…
,
因而
a
n
=4
n
－
2
n
,
n=1,2,3,
…
,
－
例
4
已知
数列｛
a
n
｝中，
a
1
求数列
a
n
的通项
。
解析：由已知得
< br>a
1
1
、点（
n
、
2
a
n
1
a
n
）
在直线
y=x
上，其中
n=1,2,3
…
.
2
1
3
3
1
3
,
2
a
n
< br>
1
a
n
n
,
①
a
2
,
a
2
a
1
1
< br>
1
,
2
4
4
2
4
又
2
a
n
2
a
n
1
< br>(
n
1
)
②
由②－
①，得
2
(
a
n
2
a<
/p>
n
1
)
a
n
1
a
n
1
，
利用待定系数法将上式化为
a
n
2
a
n
1
1
1
(
a
n
1
< br>a
n
1
)
2
3
1
数列
a<
/p>
n
1
a
n
1
是以
为首项，以
为公比的等比数列
.
< br>4
2
3
1
3
a
n
1
a
n
1
n
,
采用叠加法易得
a
n
n
n
2
.
2
2
2
归纳<
/p>
：已知数列的前
n
项和与项的关系，一般
都用相减法，利用公式
a
n
1
S
n
1
S
< br>n
转化为项或和的
关系解决；利用数列及递推式的意义构
造等式，采用方程思想作差属基本策略（如例４）
。
策略三
同除法
例
5
设
a
0
为常数
，且
a
n
3
n
1
2
a
n
1
(
n
N
*
)
< br>（Ⅰ）证明：对任意
n
1
,
a
n
分
析
：
将
a
n
3
< br>n
1
2
a
n
1
1
n
[
3
(
1
)
n
1
2
n
]
< br>
(
1
)
n
2
n
a
0
；
（Ⅱ）
略
.
5
a
n
2
a
n
1
1
n
，
再
利
用
策
< br>略
一
易
得
两
边
同
除
以
3
n
,
得
n
3
3
3
1
3
a
n
1
2
a
< br>n
1
1
2
2
1
a
n
1
(
)
为公比，
(
a
)
为首项的等比数列
，即
……
.
故数列
是以
0
n
n
1<
/p>
n
3
5
3
3
5
3
3
5
3
5
例
6
已知数列
a
n
、
b
n
< br>中，
a
1
1
,
b
1
1
,
又<
/p>
a
n
1
8
a
n
6
b
n
,
b
n
1
6
a
n
4
b
n<
/p>
，求
a
n
和
b
n
.
解析：将已知两式相减，得
a
n
1
b
< br>n
1
2
(
a
n
b
n
)
，所以
a
n
b
n
2
n
，代入已知得
a
n<
/p>
1
2
a
n
6
(
a
n
b
n
)
2
a
n
6
2
n
，两
边同除
2
n
得
代入
a
n
b
n
2
n
，有
b
n
2
n
1
(
6
n
7
)
.
< br>a
n
1
a
n
6
，叠加得
a
n
2
n
1<
/p>
(
6
n
5
)
n
n
1
2
2
2