平方幻方
工商企业管理专业描述-
平
方
幻
方
高治源主编
二〇〇八年四月十二日
1.
平方幻方
平方幻方就是把幻方裡的每
一個數平方後所組成的幻方
，
如果本
身
是幻方，每個數平方後也是幻方，那就是「雙重平方幻方」了。
9
19
61
39
6
32
50
44
8
30
52
42
11
17
63
37
51
41
7
29
64
38
12
18
62
40
10
20
49
43
5
31
34
60
22
16
45
55
25
3
47
53
27
1
36
58
24
14
28
2
48
54
23
13
35
57
21
15
33
59
26
4
46
56
81
361
3721
1521
36
1024
2500
1936
64
900
2704
1764
121
289
3969
1369
2601
1681
49
841
4096
1444
144
324
3844
1600
100
400
2401
1849
25
961
1156
3600
484
256
2025
3025
625
2209
2809
729
784
9
1
1296
3364
576
196
4
2304
2916
529
169
1225
3249
441
225
1089
3481
676
16
2116
3136
平方幻方的发展史
高治源
（
716000
陕西延安
延安教育学院）
56
8
18
9
20
48
29
10
26
13
64
4
世界上第一个幻方来自于中国，中
国的洛书就是一个三阶幻方。但我国的
15
63
41
50
幻方后来传到了国外，幻方多彩的变幻
55
11
58
45
特征吸引了许多国外的数学家们。
在
16
、
61
42
27
39
1
7
世纪，西方构造幻方就非常盛行。在
62
37
51
3
19
世纪末，幻方的研究发生了巨大的变
化，在构造的难度上和奥妙的深度上都
图
1
已大大超过以往。
1890
年左右一个叫
G.
Pfeffermann
的法国人，首先发明
了第一个八阶和九阶“平方幻方”，在
1901
年，
法国数学家里利的专著中创作了
200
余幅平方幻
方，
从而展开了高次幻方研
究的新开端，因为平方幻方的各行各
列及两条对角线诸数的和、平方和均相等，
表现出更高级的美妙，
立即引起幻方迷们的重视。
平方幻方的发展历史，
就应该
从法国人
G.
Pfeffermann
谈起。
那是在
1891
年
1
月
15
日，法国的一个半月刊《
Les Tablettes du
Chercheur
》中，有一道难题引人注目，这正是法国人
G.
Pfeffermann
发表了
他在
1890
年构造的第一个平方幻方。
但他并非完全地将他的奇
巧发现告诉人们
,
而是以一个难题的形式部份地呈现了这个平
方幻方
,
如图
1
，是一个
8
阶方阵，
给出了
32
个数字，你可以将
1-64
中
56
34
8
57
18
47
9
31
的其它数字填入空格中，使
8
行
8
列
33
20
54
48
7
29
59
10
及两条对角线诸数的和等
于
260
，平
方和等于
11180
吗？
26
43
13
23
64
38
4
49
问题一出，大家异常惊讶，大
19
5
35
30
53
12
46
60
部分人会怀疑这个事实，许多人努力
15
25
63
2
41
24
50
40
了，但无法成功，只在等待下期的答
案。两星期之后
,
Pfeffermann
在杂志
6
55
17
11
36
58
32
45
中自然发表了他的伟大成就。
本刊并
61
16
42
52
27
1
39
22
发表了社论，称赞这是世界上第一个
平方幻方
（图
2
）
。
当时法国出名的
作
44
62
28
37
14
51
21
3
图
2
家
Edouard
卢卡斯
(1842-1891)
写文大
加赞赏。这之后，
G
.Pfeffermann
有了
一定的名声，
在
1890
和
1896
之间，他发表了很多幻方文章。
当你
住惯了一层小房时，突然住到新盖的二层小楼，你会感到更加舒服、
宽敞明亮，
这就是平方幻方给人们带来的喜悦。
因此，
人们
希望看到更多的这种
让人心灵愉悦的数字建筑。
于是在
1891
年
< br>7
月
15
日，
< br>G.
Pfeffermann
在
8
阶平方
幻方发
5
30
12
60
22
3
81
42
34
47
17
59
64
8
55
72
77
52
13
21
4
63
51
29
9
14
37
54
15
71
76
57
32
20
7
33
38
2
68
73
43
12
26
16
58
46
41
36
24
66
80
5
10
27
74
44
49
53
31
19
78
56
70
39
61
69
30
表后的
6
个月
,
在同样的这家半月刊
中，他
又发表了
9
阶平方幻方
(
图
3)
,
仍然以难题的
形式出现在人们的面
前。
这个幻方
9<
/p>
行
9
列及两条对角线诸数的
和等于
369
，平方和等于
20049
。并且通过
中心的
4
条线诸数的立方和为
1,225,449
。
75
62
50
25
6
图
3
11
67
28
45
1
79
60
18
23
65
35
48
40
< br>这以后，人们开始探讨最小的平方幻方问题了。已知的最小的平方幻方是
8
阶平方幻方（二次幻方）
.
它是平方幻方中
最小的吗
?,Pfeffermann
在
1890
年发
现第一个
8
阶平方幻方后，
他就想探讨神秘的
7
阶或更小的平方幻方。
我们前面提
到的法国数学作家
Edouard
卢卡斯，他在这本半月刊里，发表了两篇证明
文章，
他的结论是三阶、
四阶平方幻方不存在，
即使用非连续的数字三阶平方幻方也不
会存在。
可是，
人们仍旧不肯罢休，
后来，
有人竟
然得到图
4
中的“平方数”幻方，它本
11²
23²
68²
53²
139²
107²
29²
41²
37²
127²
46²
58²
身并非幻方，只是
各数平方后，其<
/p>
3
13²
103²
149²
31²
17²
17²
31²
79²
32²
2²
113²
94²
行
3
列
一
条
对
角
线
的
3
数
和
相
等
59²
28²
23²
61²
71²
137²
47²
67²
61²
S
2
=38307,
图
< br>6
是
5
阶“平方数”幻方。
74²
82²
97²
11²
77²
8²
49²
大数学家欧拉在
1770
年就曾得到第一
113²
< br>
59²
41²
97²
83²
图
4
图
5
个四阶“平方数”幻方（图
5
）。如果
127²
< br>
29²
73²
7²
109²
不考虑
2
条对角线，用非连续自然数竟然可以
图
< br> 6
得到四阶行列平
1
35
46
61
=143
1²
35²
46²
61²
=7063
方
幻
方
来
，
在
37
71
13
22
=143
37²
71²
13²
22²
=7063
2003
年，法国高
>>>
次幻方网站站长
43
26
67
7
=143
43²
26²
67²
7²
=7063
Christian
Boyer
，
图
7
62
11
17
53
=143
62²
11²
17²
53²
=7063
已经构造出图
7
=7063
=7063 =7063 =7063
< br>的幻方，
其
4
行及
=143 =143 =143 =143
<
/p>
4
列四数之和是
=120
=3296
5x5
magic square...
...squared
143
，
平
方
和
是
3
37
20
44
16
=120
3²
37²
20²
44²
16²
=3970
7063
。
这是一个
十分了不起的结
34
35
1
12
38
=120
>>>
34²
35²
1²
12²
38²
=3970
果，但我们仍然
41
8
24
40
=120
7
41²
8²
24²
40²
7²
=3970
会想，当数字变
10
36
47
13
14
=120
图
8
10²
36²
47²
13²
14²
=3970
大时，是否可得
32²
4²
28²
11²
45²
=3970
一个完整的四阶
32
4
28
11
45
=120
平方幻方呢？但
=120
=120
=120
=120
=120
=120
=3970
=3970
=3970
=3970
=3970
=4004
2004
年
10
月，英
国剑桥的路加博
士和法国的珍
-
克劳德罗莎数学老师，
分别证明了用非连续整数，
3
阶、
4<
/p>
阶、
5
阶、
6<
/p>
阶平方幻方都不存在，同样我们也看到我国的幻方爱好者张清
泉，
用很简单的方法证明了四阶平方幻方的情况。
要证明用连续自然
数不能构造
5
阶平方幻方十分简单，因为我们只能找到下列
8
组平方和等于平方幻和的数组：
1
30
9
26
23
22
< br>G1=1,10,14,18,22
；
G2=2,8,1
4,20,21
；
29
18
31
2
27
4
G3=2,10,13,16,24
；
G4=4,5,16,18,22
；
17
5
12
24
32
21
G5=4,6,13,2
0,22
；
G6=4,8,10,21,22
< br>；
16
34
13
25
3
20
G7=4,8,12,16,25
；
G8=5,6,12,
18,24
。
而要构造
5
阶平方幻方需要
12
组数
组。
现在接近的
5
33
10
35
6
19
8
阶平方幻方，只有
6
条线成立。如果用非连续自然
15
14
11
28
7
36
数
Christian Boyer
也
得到只有一条对角线不等于平
图
9
方
幻和的
5
阶平方幻方（
图
8
）
。
< br>对于
6
阶平方幻方，
Pfeffermann
早在
1894
年就获得了图
9
的结果，
这个幻
方只有
6
列各数的平方和都等
于
2701
。如果用非连续自然数我们可以得到只有
一条对角线不等于平方幻和的平方幻方，中国的张清泉于
2004
年
5
月不仅构造
成这样
的不完全
6
阶平方幻方（图
10
），而且构造出一个无理数六阶平方幻方
来，图
11
是他在中国幻方论坛上发表的成果
。
九宫图
的
巧
妙
布
局，还可以
构造出六阶
行列平方幻
方来。
图
12
11
√
3+8
19
38
2
√
5
3+8
11
√
3+6
24
7
√
3+6
3+20
99
13
√
42
101
21
38
100
13
44
102
7
√
3+5
2
87
10
√
67
3+8
5
√
3+9
12
√
61
3+21
6
√
3+23
89
61
2
88
69
√
3+6
8
90
23
39
6
√
2
√
40
3+21
√
10
20
√
3+9
103
3+8
14
41
12
√
97
3+5
18
105
6
14
3+6
42
97
√
3+18
√
85
5
3+18
√
3+16
10
3+4
7
√
6
3+16
91
12
62
3
3
√
66
5
93
62
4
√
85
68
7
√
3+15
18
43
102
11
3+19
√
11
√
98
15
√
17
3+3
37
16
2
45
3+16
104
18
37
3+1
图
5
√
98
10
√
3+3
6
√
3+18
10
12
√
3+1
6
√
19
63
7
86
65
2
√
3+15
1
90
64
9
86
3+16
66
1
92
图
11
2
6
7
2
6
7
6
7
2
6
7
2
7
2
6
7
2
6
8
4
3
8
4
3
4
3
8
4
3
8
3
8
4
3
8
4
图
12
2
7
6
8
3
4
6
2
7
4
8
3
7
6
2
3
4
8
2
7
6
8
3
4
6
2
7
4
8
3
7
6
2
3
4
8
中的两个方阵，
是由九宫图
中的两个平方和相等的数
组（
2
、
6
、
7
）
，
（
8
、
4
、
3
）
布局成的，
A
方与
B
方是正
交的（即对应格并置
后，全
方阵中没有重复的数对）
，
两方
并置后，每个数
对
代
入
公
式
y=6
（
a-2
）
+
（
b-1
）计算
可
得
一
个
六
阶
行
列
平方幻方，它的两条
对<
/p>
角
线
各
数
平
方
和
不相等，但它
却是一
个六阶完美幻方。我
们
可
以
用
这
种
方
法
得到
4m+2
阶平方幻
方，而且
10
阶以上
的
幻
方
可
构
造
出
完
全的平方幻方。中国
1
131
58
72
190
142
209
197
144
186
64
48
125
15
39
167
19
216
80
93
151
165
103
86
220
27
179
37
74
141
129
198
4
195
50
56
181
12
208
127
145
62
88
30
160
41
104
177
219
217
169
92
35
156
16
78
200
192
136
52
73
2
130
126
14
63
54
150
184
206
94
157
215
77
166
21
43
33
25
180
89
221
159
102
55
3
194
135
204
71
139
147
65
202
121
182
13
51
175
213
44
105
24
161
79
87
155
22
91
32
223
171
124
67
5
137
46
201
193
183
205
60
149
11
69
132
20
42
76
172
163
212
100
96
224
153
174
90
34
26
148
210
70
191
134
57
9
7
49
122
185
66
196
138
164
81
99
18
214
45
170
176
31
222
28
97
85
152
189
47
199
6
140
123
61
75
133
146
10
207
59
187
211
101
178
162
40
82
29
17
84
36
154
168
95
225
图
13
李文
构造
14
、
22
，
26
、
34
、
38
阶平方幻方，图
13
是他的
14
阶平方幻方。
< br>
二次幻方的研究历史已有百余年，并且已经证明，
<
/p>
2
至
7
阶二次幻
方不存
在
[1]
.
西藏潘凤雏用计算机进一步证实了关于
7
阶二次幻方不存在
的结论
.
因此，
寻找满足如下条件的<
/p>
7
阶幻方，
称为接近的七阶二次幻方：<
/p>
（
1
）
有尽可能
多的行
为二次的（或者有尽可能多的列为二次的）
；
（
2
）在满足（
1
）的条件下，有尽可
能多的列（或行）为二次的；
（
3
）在满足（
1
）和（
2
）的条件下有尽可能多的对
< br>角线为二次的。
2001
年，
法国人
Christian Boyer
找到了第一个这样的幻
方；
2002
年，德
国人
Walter Trump
找到了
13
个接近的七阶二次幻方，其中一个与
Christian
1
38
17
33
23
44
12
的相同；
2004
年
4
月，另一个德国人
Bogdan
Golunski
找到了<
/p>
7
20
22
3
37
40
39
第
14
个接近的七阶二次幻方．
2004
年底
，潘凤雏利用计算机
46
14
21
13
25
43
6
证明了如下几个结论：
30
11
41
42
10
5
29
（
1
）
接近的七阶二次幻方恰有
7
行、５列或５行
、
7
列
27
35
2
32
45
8
19
<
/p>
和
1
条对角线为二次的．
（
2
）接近的七阶二次幻方有且只有
26
16
18
36
0
24
48
86
个等价类；
（
3
）
每个接近的七阶二次幻方的
等价类中有
192
31
34
47
9
28
4
15
个同构的幻方。
图
14
图
1
4
是潘凤雏构造的接近的
7
阶平方幻方
（只有三线不满
足要求）。但如果用
=196
=7244
7x7 magic
square...
...squared
51
8
29
21
26
11
50
7
42
37
31
24
5
=196
=196
=196
=196
51²
8²
29²
21²
26²
11²
32²
10²
53²
18²
33²
43²
50²
7²
42²
37²
31²
24²
5²
=7244
=7244
=7244
=7244
=7244
=7244
=7244
32
10
53
18
33
43
25
34
44
19
39
2
1
41
9
28
54
17
14
47
15
55
12
22
49
13
23
38
6
3
46
34²
44²
1²
41²
9²
>>>
25²
=196
图
19²
39²
2²
28²
54²
17²
=196
15
14²
47²
15²
55²
12²
22²
=196
=196
=196
49²
13²
23²
38²
3²
46²
6²
45²
30²
35²
27²
48²
45
30
35
27
48
=196
=196
=196
=196
=196
=196
=7244
=7244
=7244
=7244
=7244
=7244
=7244
=7706
非连续自然数，
Christian Boyer
也可以得到只有
1
条对角线不等于平方幻和的
7
阶
平方幻方（
图<
/p>
15
）
。
2
19
70
1
66
74
73
60
68
72
58
77
15
3
65
4
67
69
71
76
62
63
82
75
61
59
79
6
5
13
49
18
14
78
98
40
25
96
43
44
94
41
27
42
35
91
21
95
37
22
在我国，
8
阶、
9
阶平方幻方有
93
39
23
38
31
90
33
30
29
99
大量的构造方法，
刘志雄、
施学良、
34
100
36
83
45
24
26
28
97
32
丁宗智、孙友、高治源、李抗强、
8
85
64
57
7
56
80
48
16
84
< br>曹陵在他们自己出版的书中都有独
特的构造方法，
吴硕辛
创造的
mi
（
q
）
54
11
86
47
87
12
92
20
50
46
语言，可以演算出许多个
8
、
9
阶平
51
52
88
81
10
55
9
53
89
17
< br>方幻方，具有一种特别的秩序。孙
图
16
友用
2
次函数幻方，
可
得大量的
8
、
9
、
16
阶平方幻方，
他还研究了多元
二次幻方的问题，
有一些成果，
高治源用正交拉
丁方构造
8
、
9
阶平方幻方，
给人们揭示了数组的一种奇妙的排列关系，
十分有趣。
施学良用差动易位法可构造
8
< br>、
9
、
16
、
32
阶平方幻方。
8
阶平方幻方、
9
阶平方
幻方我们可以说有大量的作品了，
其构造方法也是多
种多样的。
可是，
10
阶、
11
< br>阶、
12
阶平方幻方„„存在吗，多少年来，幻方专家<
/p>
们甚至不敢踏入它们的大门。
电脑的发
展给人们的发明创造插上了翅膀，芬兰
boAkademi
大学
有一位出
生于
1982
年叫
Fredrik
Jansson
的学
8
18
64
29
71
75
105
120
92
46
32
生，虽然他只是读大二学习物理，但
他也学习数学和计算机科学
。
2004
年
100
< br>
96
87
19
55
3
26
73
69
107
25
1
月，
他看到法国高次幻方网站后，
85
86
50
108
111
40
11
53
2
36
78
首先对
10
阶平方数组进行了研究，
他
83<
/p>
10
57
93
7
90
39
77
119
23
62
找到了
24,643,236
种数组，然后进行
5
103
22
114
21
104
68
59
54
72
38
编程设计，
这大约花了一个星期时间，
然后在自己的型号为
Athlon
2800
的
14
31
116
79
44
60
76
41
4
89
106
计算机上运行，计算时间不到
24
小
82
48
66
61
52
16
99
6
98
17
115
时，
10
阶平方幻方（图
16
），就在年
58
97
1
43
81
30
113
27
63
110
37
轻的大学生面前诞生了。随后他又用
同样的方法获得了
11
阶平方幻方。
在
4
2
84
118
67
109
80
9
12
70
34
35
中国，
汕头大学的陈沐天利用计算机，
95
13
51
47
94
117
65
101
33
24
20
也构造了一个
11
阶平方幻方
（图
17
）
，
88
74
28
0
15
45
49
91
56
102
112
这个幻方具有一种很美的对称
性。其
图
17
实，
< br>12
阶三次幻方
（图
18
）
早在
2002
年由德国的
Walter
Trump
先生构造<
/p>
成功，他的方法是有开创性的，因而给
Fredrik
Jansson
有许多启发。由于
12
阶
三次幻方本身是平方幻方，所以我们不再那样迫切探索
12
阶平方幻方了。
1
22
33
41
62
66
79
83
104
112
123
144
70
5
9
119
45
115
107
93
52
38
30
100
26
136
75
141
35
48
57
14
131
88
97
110
4
74
140
101
124
42
60
37
108
85
103
21
44
122
76
142
86
67
126
19
78
59
3
8
106
49
12
43
102
133
96
39
137
71
69
23
55
27
95
135
130
89
56
15
10
50
118
90
13
< br>阶、
14
132
117
68
91
11
99
46
134
54
77
28
13
阶、
15
阶平方
73
64
2
121
109
32
113
36
24
143
81
72
幻方已经成为
近一二年最热
58
98
84
116
138
16
129
7
29
61
47
87
门
的
研
究
目
8
0
34
105
6
92
127
18
53
139
40
111
65
标。
< br>1894
年，
51
63
31
20
25
128
17
120
125
114
82
94
法
国
数
学
家
图
18
G
.Pfeffermann
就构造出
广义（非常规）
14
阶平方幻方。但直至
2005
年
8
月，
< br>
法国人
Jacques
Gu
é
ron
才构造出仅差二行及一条对角线的接近
14
阶平方幻方。
2005
年
12
月，
Jacques Gué
ron
又构造出仅差一条对角线的最接近
1
3
阶、
14
阶
平方幻方。早在
1900
、
1903
、
1912
年法
国人
Gaston
Tarry
在一个
著作中分别发
表三个接近的
15
阶平方
幻方。其最佳者是最后一个：仅二条对角线不满足二次
幻方。
在
2003
年
,
法国
Christian Boyer
对此作了改进，使这个幻方只有一条对
角线不符合要求了，
36
8
103
68
151 166 104
28
190
55
168
78
61
149
我国的李文也有同
样的结果，
15
阶平
114
48
4
177 132 146 124 148 129
77
18
164
11
73
方幻方的山顶只有
33
57
44
9
141 120 189 183 111
59
80
43
158 138
34
135 159 140
72
14
6
162
53
144 152 102
39
153
一步之遥了。
一个令人惊
150 193
171
67
15
84
63
76
115 119
89
26
21
176
奇的结果发生在我
116
195 112
0
5
173
82
66
54
145 105 108 154
50
们中国，
2006
年
1
181 109 155
42
157
20
113
37
92
69
41
32
191 126
月
17
日早晨，笔者
56
156 133 127
22
46
88
51
19
179 131 161 165
31
刚刚在睡梦中醒来，
65
106
95
110
47
100
58
192
91
178
1
174 136
12
就接到了汕头大学
40
107
29
184 101
83
122 134
2
180
10
147 130
96
计算机系陈钦梧、
陈
74
49
90
123 142 121
182
13
167
25
163
3
85
128
沐天两人的电话，
他
93
86
185
98
188
71
7
87
137
24
125 169
79
16
们分别高兴地告诉
187
17
62
160
75
27
175
70
35
81
143
64
97
172
我：
2006
年
1
月
14
186
99
23
60
117 194
52
118 170
30
139
94
38
45
日，
15
阶平方幻方
图
19
（图
20
）诞生了，
1
月
16
日
14
阶平方幻方（图
19
）也诞生了，三天当中，
汕头大学陈钦梧成功解
决两个长达一百年的难题，而此时笔者正在撰写此文。
159
27
193
145
140
57
101
216
15
100
42
30
186
91
178
168
62
213
128
131
37
143
92
215
83
22
47
82
43
214
184
45
105
106
98
17
51
163
52
125
176
188
219
4
147
201
203
154
58
64
0
85
149
14
66
60
155
169
113
189
223
7
171
95
39
74
110
199
190
24
59
67
120
146
156
134
44
87
86
76
211
121
183
72
116
2
12
208
130
198
97
161
204
3
115
175
18
174
32
136
196
29
153
80
107
135
170
122
19
6
191
73
112
151
33
218
205
102
54
89
117
144
71
195
28
88
192
50
206
49
109
221
20
63
127
26
94
16
212
222
108
152
41
103
13
148
138
137
180
90
第一个
16
68
78
104
157
165
200
34
25
114
150
185
129
53
217
1
阶平方幻方是
35
111
55
69
164
158
210
75
139
224
160
166
70
21
23
由
法
国
77
220
5
36
48
99
172
61
173
207
126
118
119
179
40
Gaston
Tarry
10
181
142
177
202
141
9
132
81
187
93
96
11
162
56
在
1903.
< br>年构
46
133
38
194
182
124
209
8
123
167
84
79
31
197
65
造
的
。
构
造
图
20
16
阶平方幻方
比
较容易，
许多人在探索
16
阶三次幻方
过程中得到大量的
16
阶平方幻方。
在
中
国，高治源的
16
阶行三次幻方、王
忠汉、钱剑平的接近的
16
阶三次幻方，吉林
< br>滕越
80
多岁老人的
16
阶三次幻方探索手稿中，
都有
16
阶平方幻方的成就。
2005
年
< br>5
月，
34
52
30
40
28
124
26
64
146
83
85
115
142
172
174
111
231
229
227
223
38
50
147
12
23
88
193
133
217
205
45
8
25
31
252
81
89
56
77
79
132
61
234
110
207
219
42
178
168
226
212
169
245
151
125
201
5
249
112
91
59
49
96
215
106
103
154
208
166
145
241
15
16
161
198
43
58
10
196
180
176
232
199
62
78
82
118
247
214
114
97
44
13
20
238
242
143
139
175
179
195
4
54
203
253
107
127
119
255
55
99
71
185
102
155
244
213
160
130
150
164
94
18
240
93
163
239
17
237
19
86
221
14
21
47
68
189
210
236
67
66
24
9
76
186
202
138
72
6
74
158
2
181
191
190
75
84
109
233
128
248
65
70
137
157
251
129
131
135
183
187
53
3
149
69
182
171
173
36
100
120
122
126
192
148
243
156
101
188
108
254
204
224
228
230
140
159
197
144
1
80
121
90
73
32
7
46
48
87
57
37
220
113
95
60
92
98
117
27
29
33
165
162
153
104
11
22
105
216
41
209
250
184
136
256
152
246
170
211
225
167
177
35
2
235
63
7
123
51
1
60
200
59
8
39
62
61
206
218
134
194
222
141
116
图
21
15
40
32
49
9
34
26
55
幻方爱好者梦寐以求的规则的<
/p>
16
阶三次
18
42
45
21
24
48
43
19
幻方终于问世了，
2005
年
5
月
8
号我们
54
27
35
12
52
29
37
14
刚刚庆祝了中国幻方研究者协会
成立七
64
63
5
6
58
57
3
4
周年，
在
我国广东汕头大学有两位幻方研
50
25
33
16
56
31
39
10
究工作者，
他们的努力奋斗与合作，
为我
国幻方的发展创造了一项奇迹
，这一天
47
23
20
44
41
17
22
46
16
阶
三次幻方在汕头大学的一台电脑中
11
38
30
53
13
36
28
51
诞生了，
它来到这个世界上，
似乎无声无
图
2
2
息，
但他却震撼了两位探索者的心，
他们
高兴得几乎要喊叫出来，多少年的盼望，
多少个日
日夜夜的奋战，
多少次失败的考验，
终于感动了上天，
它终于悄然问世，
这正是：
众里寻她千百度„„蓦然回首，那人却在，
灯火阑珊处。从此
，陈钦梧、陈沐<
/p>
天两人的名字，与
16
阶三次幻方连在一
起，向世界各地传播！图
21
是
16<
/p>
阶三
次幻方。
值得提到的是我国李文有许多研究平方幻方的公式，
在中国幻方网站中，
就
发表了他的
25
阶平方幻方
和
35
阶平方幻方。
但他仍然有许多较
高阶的平方幻方
未发表。现在看来
13
阶平方幻方，
17
阶平方幻方，
18<
/p>
阶、
19
阶、
2
0
阶平方幻
方应该是人们下一步研究的热点，希望我国的幻方朋
友再夺取新的成就。
最后，
我们谈谈
完美平方幻方的问题，
我们知道完美幻方具有更美妙的特性，
它
的每条泛对角线都等于幻和。
自然，
我们希望得到一个完美平方
幻方，
但人们
努力许多年，没有什么结果。
1903
年，
Gaston Tarry
得到了一个
8
阶平方幻
方兼
完美幻方，觉得很高兴，
1939
年
H
. Schots, Belgium
得到一个
8
阶完美幻
方（
图
22
）
，其所有的泛对角线平方和相等，也是一次对
完美平方幻方的
努力。
16
104
150
168
81
99
145
249
256
105
155
88
234
25
22
229
237
30
17
226
231
24
27
236
250
141
6
183
253
119
1
26
247
132
11
71
244 122
101
120
57
184
60
142
152
233
149
121
201
72
204 131
106
48
59
75
199
219
102
230
154
33
203
187
55 214
162
37
94
76
85
210
169
21
175
44
83
188
92 223
87
212
171
68
164
39
96
29
90
221
166
180
173
42
159
217
206
67
50
46
147
238
111
216
62
179
194
35
148
129
208
192
205
123
97
225
100
144
64
80
61 118
15
124
243
191
12
130
248
18
2
117
254
79
5 143
10
125
246
186
13
135
241
23
7
116
251
74
4 138
108
136
56
185
53
126
153
232
156
137
200
73
197 115
103
224
54
70
202
43
107
235
151
209
198
182
58
38
82
213
174
69
165
34
89
28
95
220
163
181
172
47
161
110
160
9
228
19
32
239
167
36
91
77
84
215
176
20
170
45
146
41
195
78
63
222
158
227
98
40
157
113
193
177
196
139
112
240
109
128
255
140
3
178
252
114
8
31
242
133
图
23
86
189
93 218
51
190
207 211
49
65
52 134
14
66
245 127
图
23
是钱剑平的
16
阶泛
对角线三次幻方，这幅
16
阶幻方其
1
6
行、
16
列
及
32
条泛对角线全等于
2056
。重要的是它的
32
条泛对角线的和、平方
和、
3
次幂和全部相等。这是一个重要的成果，可以说它是
16
阶三次幻方的一个对称
幻方。陈钦梧讲
：“虽然我在去年５月成功构造了
16
阶三次幻方，但对于泛对
角线幻方还没有充分的研究。
目前世界上还无人能构造出哪一阶
的二次兼泛对角
线幻方，可见问题的难度之大！您的成果已经向这一方向迈出成功重要的
一步，
祝您早日成功”！
钱剑平在他
的“有奖征解”（
2003
年
8
月
12
日）公告中称：
“预计，
16
阶（
2
、
3
）幻方存在，将对第一位取数
1
至
265
编出者给于奖励，
奖金标准人民币
100
元。（“
2
”指的是行列为
2
次；
“
3
”指的是泛对角线为
3
次）”，看来钱剑平的追求是执着的。
2000
年，中国幻方专家苏茂挺，经过艰苦努力，终于实现了幻方爱好者多
年的梦想。
两个
18
阶完美平方幻
方
（图
24
）
构造成功了，
虽然是非连续自然数，
但人们对此优为欣慰，因为
它的美妙令人赞赏。
1
225
711
1086
560
137
988
1378
1305
71
227
729
1114
500
87
946
1316
1237
130
1357
1162
251
741
1131
712
327
893
1321
469
90
564
147
968
1356
1285
6
449
25
1240
2
132
1375
1190
652
277
851
1259
401
20
201
699
1069
496
77
966
1338
1257
66
106
1345
1145
648
267
871
1281
421
85
191
719
1091
516
142
992
1368
1302
70
156
1387
1207
716
337
873
1299
261
721
1109
544
82
942
1326
96
1365
1167
668
332
897
1311
466
89
1121
561
146
1002
1348
1280
50
1291
444
69
1322
1250
5
166
1367
1185
696
272
847
1269
404
21
196
695
1079
499
78
932
1346
1262
22
256
745
101
1341
1155
651
268
837
1289
426
41
192
685
1099
521
98
997
1372
1292
67
161
1391
1197
713
336
907
260
755
1101
539
126
937
97
212
1331
1175
673
288
902
1315
456
86
750
1125
551
143
1001
1382
1272
45
906
1325
436
64
981
1317
1246
15
165
1401
1177
691
316
842
1265
414
24
240
690
1075
509
81
933
1312
1270
27
145
1336
1151
661
271
838
1255
434
46
195
686
1065
529
103
953
1377
1296
57
117
1396
1201
703
333
257
754
1135
531
121
100
1332
1141
681
293
858
1320
460
76
217
706
1130
555
133
998
1381
1306
37
323
903
1324
470
56
113
976
1361
1241
11
162
1400
1211
683
311
886
1260
410
34
235
734
1070
505
91
936
1313
1236
35
122
1352
1206
707
247
751
1134
565
140
1380
1146
657
281
841
1256
400
54
205
689
1066
495
111
958
1333
1301
61
30
110
1335
1142
647
301
863
1276
465
80
152
1397
1210
717
303
881
1304
405
图
24
平方
幻方的发展，
直接推动了高次幻方的研究热潮，
三次幻方，
四次幻方等，
也在世界各地展开了竞争。
值
得我们中国幻方爱好者自豪的是，
陈钦梧、
陈沐天
的
16
阶三次幻方，高源和吴硕辛的
256
阶四次幻方，李文、郭先强的
729
阶五
次幻方，潘凤雏的
243
阶四次幻方、
4096
阶六次幻方和
65536
阶七次幻方都居
于国际领先水平。在法国的一个高
次幻方网站中，记录着世界各地的幻方成果，
2003
年元月，
在国际高次幻方记录表中，只有三阶幻方属于中国幻方的成果，
一年以后，
2004
年
2
月，这张表设
计了一次至七次的幻方第一个发明者，这七
项的最好记录中，
中
国人竟然独占了五项。
我们可以骄傲地向世界宣告，
幻方故
乡的幻方学子们，赢得了最高荣誉。
不存
在
4
阶平方幻方
张清泉
设
4
阶方阵如图
令各行列及对角线上一次和互等，得
8
等式
A+B+C+D=E+F+G+H
E+F+G+H=I+J+K+L
„„„„„„„„„
消元化简得其中一些等式如下：
①
K+F=D+M
②
I+E=D+Q
③
B+C=Q+M
令各行列及对角
线上数字二次和相等，得
8
等式，
A
2
+B
2
+C
2
+D
2
=E
2
+F
2
+G
2
+H
2
„„„„„„„„„„„„„„„„
消元化简得其中一些等式如下：
④
K
2
+F
2
=D
2
+M
2
⑤
I
2
+E
2
=D
2
+Q
2
⑥
B
2
+C
2
=Q
2
+M
2
。
①
④
联立得
F=D
或
F
=M
，其他等式也得类似结果，这是幻方构造所不允许
的。故<
/p>
4
阶平方幻方不可构造。
A
E
I
M
B
F
J
N
C
G
K
P
D
H
L
Q
Z
49
上
的接近的七阶二次幻方有且只有
86
个等价类
< br>
潘凤雏
1,2
高治源
3
(1.
中国地质大学，北京，
1000
83;2.
西藏地质调查院，拉萨，
850000;3.
延
安教育学院
,
延安
,716000)
摘要
给出
Z
49
上的接近的七阶二次幻方的所有
86
个等价类的代表．
关键词
接近的七阶二次幻方
同构
等价类
1
定义
定义
1
称一个
上的
n
阶矩阵为
n
阶二次幻方
,
如果它的元素两两不同
且
n
行、
n
列
及两条主对角线上的
n
个元素的和、平方和分别等于定值，分别
称
这两个定值为幻和及二次幻和
.
定义
2
如果
一条线
(
行、列、对角线
)
上的
n
个元素的和等于幻和且平方和
等于二次幻和，则称这条线为二次的
.
定义
3
[2]
两个
n
阶
(<
/p>
二次
)
幻方称为同构的，如果它们的
n
行、
n
列、两条
对
角线上的元素集合所组成的类（集合）也相同，反之，称为不同构．所有同构的
n
阶幻方构成一个等价类，其中的每一个都可以看作是该类的代表
.
定义
4
<
/p>
一个
n
阶
(
二次
)
幻方
表），如果
称为最小的
（代
（
1
）当
n
为偶数是，左对角的元素在两条对角线的
2
n
个元素中是最小的；
当
< br>n
为奇数时，除中心数外，左对角的元素在两条对角线的
2
n-
1
个元素中是最
小的；
（
2
）
；
（
3<
/p>
）对角线元素除外，第一行的最小元素小于第一列的最小元素
.
2
定理
二次幻方的研究历史已有百余年
[1]
，
并且已经证明，
2
至
7
阶二次幻方不存
在
[1]
.
笔者用计算机进一步证实了
[1]
的
关于
7
阶二次幻方不存在的结论
.
因此，
寻找满足如下条件的
7
阶幻方（称为接近的七阶二次幻方）
（
1
）有尽可能多的行为二次的（或者有尽可能多的列为二次的）；
（
2
）在满足（
1
）的条件下，有尽可能多的列（或行）为二次的；
（
3
）在满足（
1
）和（
2
）的条
件下有尽可能多的对角线为二次的
就成为一个重要的问题<
/p>
.2001
年，法国人
Christia
n
Boyer
找到了第一个这样的
幻
方；
2002
年，德国人
Walter
Trump
找到了
13
个接近的七阶二
次幻方，其中
一个与
Christian
的相同；
2004
年
4
月，另一个德国人
Bogdan Golunski
找到
了第
14
个接近的七阶二次幻方．
2004
年底，作者利用计算机证明了如下两个定
理
.
定理
1
接近
的七阶二次幻方恰有
7
行、５列或５行、
7
列和
1
条对角线为二
次的．
定理
2
接近
的七阶二次幻方有且只有
86
个等价类
.
根据
[2]
有
定理
3
<
/p>
每个接近的七阶二次幻方的等价类中有
192
个同构的幻方
.
至此，我们就完全解决了（接近的）七
阶二次幻方的存在性或构造问题
.
3
程序
略
.
4
等价类的最小代表
下面以表格的形式给出
86
个等价类的最小代表<
/p>
.
（见
Excel
表）
参
考
文
献
[1]
Christian Boyer
..
[2]
潘凤雏
.
< br>论幻映射、幻群与幻方
.
延安教育学院学报
,2003,17(4):58
~
60.
九阶广义完美雪花平方幻方
苏茂挺
（福州商业汽车运输公司
350011
）
到目前为止，没有人构造成九阶狭义完美平方幻方，看来很
可能不存在这种
幻方。
狭义的无法构造，
我们只能在广义幻方上下功夫。
本文介绍的是一个广义
九阶完
美雪花平方幻方，
这个幻方还有许多优美的性质，
令人拍案称奇
。
而其巧
妙的构造方法，
还可以用于构
造
16
阶三次幻方、
18
阶完美平方幻方、
36
阶三次
幻方、
36
阶幻方（行列五次）等，真是一种多用途的构造方
案。
一、起点方阵和幻方实例
图
2
是一个由不大于
152
的
81
个自然数组成的九阶完美雪花平方幻方。它
的
幻和是
729
，二次幻和是
83157
。图
2
还是对角线三次幻方，它的两对
角线上
诸数之立方和是
10641213
。
图
1
是构造这个幻方的起点方阵。它的第
4
行含有
< br>3
个二次等幂和数组（
1
，
12
，
14
）、（
2
，
9
，
16
）、（
4
，<
/p>
6
，
17
）。将
第
4
行的各个数都依次加上
99
、
9
、
27
、
0
、
72
、
144
、
117
、
135
、
45
，就得从上到下每一行的各个数（这些加数都是
9
< br>的倍数）。对于图
1
这个起点方阵，采用“下
1
右
3
、下
3
右
1
”的步法，用
数步法就得到图
2
这个幻方。
103
1
15
1
00
1
05
1
08
1
11
1
16
1
01
1
13
13
25
10
15
18
21
26
11
23
31
43
28
33
36
39
44
29
41
4
16
1
6
9
12
17
2
14
76
88
73
78
81
84
89
74
86
148
1
60
1
45
1
50
1
53
1
56
1
61
1
46
1
58
121
1
33
1
18
1
23
1
26
1
29
1
34
1
19
1
31
139
1
51
1
36
1
41
1
44
1
47
1
52
1
37
1
49
49
61
46
51
54
57
62
47
59
161
1
23
1
39
62
105
13
44
6
76
1
08
25
29
9
88
146
1
26
1
51
47
1
29
1
36
59
111
10
41
12
73
158
17
78
148
1
34
1
41
49
116
15
31
1
01
18
43
2
81
160
1
19
1
44
61
1
31
1
47
46
113
21
28
14
84
145
150
1
21
1
52
51
103
26
33
4
89
1
15
11
36
16
74
153
1
33
1
37
54
1
18
1
49
57
100
23
39
1
86
156
图
1
图
2
二、正交的两个局部方阵
图
3
和图
4
是两个局部方阵，如果将图
3
、图
4
中的数分别用
F
、
G
表示，
它们与图
2<
/p>
幻方（其中的数记作
M
）的内在联系是<
/p>
M =
9
（
F -
1
）
+ G
（
1
）
<
/p>
如果将图
3
与图
4
都划分成
9
个相等的正方形，可以看
出，它们都有很简单
的规律性。两者都由下面
3
组二次等幂和数组组成：
（
1
，
12
，
14
）、
（
2
，
9
，
16
）、
（
4<
/p>
，
6
，
17
）。
6
4
17
6
4
17
6
4
17
1
9
17
14
16
6
12
2
4
9
16
2
9
16
2
9
16
2
12
2
4
1
9
17
14
16
6
12
1
14
12
1
14
12
1
14
14
16
6
12
2
4
1
9
17
17
6
4
17
6
4
17
6
4
1
9
17
14
16
6
12
2
4
2
9
16
2
9
16
2
9
16
12
2
4
1
9
17
14
16
6
14
12
1
14
12
1
14
12
1
14
16
6
12
2
4
1
9
17
4
17
6
4
17
6
4
17
6
1
9
17
14
16
6
12
2
4
16
2
9
16
2
9
16
2
9
12
2
4
1
9
17
14
16
6
1
14
12
1
14
12
1
14
12
14
16
6
12
2
4
1
9
17
图
3
图
4
三、幻方的多种优美性质
图
2
幻方在它的名称中已经指出有多种特性：<
/p>
是完美幻方、
是雪花幻方
（即
具有中心对称性）、是平方幻方。此外，这个幻方还有下面一些优美性质：
1
、
三阶一律性
就是幻方中任何一个三
阶方阵诸数之和都是幻和
729
（共有
81
个幻和数组）。
##
#
#
##
^^
^
^
^
#
^
#
^
#
#
#
#
^
^
^
^
#
^
#
^
#
#
#
^
#
^^
^
^
^
#
^
#
图
5
图
6
##
^
。
^^
。
#
#
^
。。
#
^
。
^
。
#
。
#
^
#
^
。
^
。
#
。
#
^
^
。
#
#
^
。
。
#
^
^
。
#
#
^
。
。。
#
^
^^
。
#
。
#
^
##
^
。
图
7
图
8
2
、马步一律性
< br>对于下面
8
个方向的马步：
“下
1
左
2<
/p>
”、
“下
2<
/p>
左
1
”、
“下
1
右
2
”、
“下
2
右
1
”、
“下
1
左
4
”、
“下
4
左
1
”、
“下
1
右
4
”、
“下
4
右
1
”
每一个马步数组都是幻和数组
（由于
9
个马步数组恰好将整个正方形盖满了，
因
而每一种马步
只有
9
个马步数组。这一性质共有
72
个幻和数组）。
3
、三段短线一律化
如图
5
（或图
6
、或图
7
、或图
8
）分布的三段短线所
在的
9
< br>个方格中的数，都组成幻和数组（图中“。。”、或者“
##
”、“
^^
”所
在的方格看成开始
的方格，
由于从扩展的角度看幻方中任何一个方格可以作为开
始
的方格，
因而每一种短线分布，
都可以找到
81
个幻和数组，
共有
81
×
10
=
810
个幻和数组）。
说明：由于图
3
与图
4<
/p>
都具有这些性质，据公式（
1
）整个幻方
也具有这些
性质。实际上，其中有的幻和数组还是利用图
3
与图
4
发现的。
4
、
3k
行、
3k
列移动
将这个幻方的前
3k
行移动到幻方的下方，或者将前
3k
列移动到幻方的右方（其中
k
=
0
、
1<
/p>
、
2
），或者连续作这两种变换，所得到
的方阵仍然是九阶完美兼平方幻方。
5
、把
9
行从上到下分成
3
组，每一组内部作同样的“移动
k
行”变换（
k
=
0
、
1
、
2
），所得到的方阵是九阶行列二次兼完美幻方（变换后其对角线上诸数
之
平方和不具有特殊性）。列方向也具有类似的性质。
6
、
行列三间隔数组是二次等幂和数组
<
/p>
在幻方中任取一个数，
从该数开始，
先按
行方
方向间隔取数（每一行取
3<
/p>
个数），再从这
3
个数起，按列方向三间
隔取数，一
共取
9
个数，
这
9
个数所组成的数组称为行列三间隔数组。
图
2
幻方
9
个的行列
三间隔数组是二次等幂和数组数组。
将
这些行列三间隔数组依次作为行数组得到
图
9
< br>所示的方阵，是九阶行二次幻方。
6
123
105
17
134
116
4
121
103
46
36
161
59
43
150
57
29
148
76
139
13
78
141
15
89
152
26
84
137
13
73
144
26
86
151
15
161
62
44
148
49
31
150
51
33
113
16
123
111
2
121
100
9
134
108
9
126
101
2
119
115
16
133
145
54
44
158
61
33
156
47
31
25
88
151
18
81
144
11
74
137
21
74
139
10
81
152
23
88
141
29
146
47
43
160
61
36
153
54
131
115
6
129
101
4
118
108
17
129
111
12
131
113
14
118
100
1
28
153
62
41
160
51
39
146
49
136
10
73
147
21
84
149
23
86
147
11
76
136
18
89
149
25
78
59
41
158
46
28
145
57
39
156
105
12
119
103
1
126
116
14
133
图
9
图
10
7
、按照类似于（
1
）的公式
T = 9
（
G -
1
）
+ F
（
2
）
<
/p>
计算，
得到的图
10
这个九阶方阵也是九阶完美雪花兼平方幻方。
图
10
幻方显然
具有上文第
1
、
3
、
4
项
性质，是否具有其它性质，留给读者自行检验。
只要读者仔细研究，一定还可以找到一些很规则的幻和图形。
一对幻和、二次幻和都相等的八阶二次幻方
李抗强
101
8
43
74
17
116
95
62
28
121
86
55
112
13
94
63
20
113
42
75
104
5
35
66
109
16
87
54
68
33
14
111
56
85
122
27
61
96
115
18
73
44
123
26
53
88
15
110
65
36
6
103
76
41
114
19
48
77
98
3
92
57
22
119
23
118
89
60
99
2
45
80
9
108
71
38
125
32
51
82
50
83
128
29
70
39
12
105
34
67
25
124
7
102
64
93
81
52
31
126
37
72
107
10
106
11
40
69
30
127
84
49
120
21
58
91
4
97
78
47
79
46
1
100
59
90
117
24
彭保旺赠给笔者一对由最初
512<
/p>
个非零自然数组成的幻和与二次幻和都相等
的
16
阶幻方，创造了幻方中的一个新的品种。受其启发，笔者构造了这一对由
最初
128
个非零自然数组成的八阶平方幻方
。
“哥俩好”
8
阶与
9
阶平方幻方
梁培基
巫光桢
124
139
18
53
77
109
42
11
46
85
116
95
132
33
66
6
89
24
59
74
106
39
3
86
121
129
98
67
32
45
12
119
82
145
103
36
9
92
127
142
21
56
50
15
112
81
136
99
62
29
71
138
20
41
76
111
102
133
28
63
16
49
78
115
123
5
91
52
144
26
38
73
108
120
2
88
31
68
97
130
83
118
13
44
58
105
126
8
94
55
141
23
117
84
47
10
65
34
131
96
35
70
125
4
19
54
137
110
43
75
64
27
134
101
114
79
48
17
90
143
107
40
72
87
122
1
80
113
14
51
30
61
100
135
25
60
104
37
69
93
128
7
22
57
140
这两
个平方幻方由连续自然数
1~145
所组成，其幻和分别是：<
/p>
S
9
=657, S
2 9
=
65361
；
S
8
=584, S
2 8
=
54812
。
这两个幻方：其元素连续不可分，其性质一二次幻和均相等；犹
如亲兄弟一般，
情同手足，
其友谊牢不可破。
我们不妨把他
们称为
“哥
俩好幻方”。
并歌颂之：
老大哥九九岁整，小弟弟八八秋冬，
一二次幻和相等，哥俩好道合志同。
“平方数”幻方
这以后，人们开始探讨最小的平方幻方问题了。已知
的最小的平方幻方是
8
阶平方幻方（二次幻方）
.
它是平
方幻方中最小的吗
?,Pfefferman
n
在
1890
年发现第一个
8
阶
平方幻方后，他就想探讨神秘的
7
阶或更小的平方幻方。
我们前面提到的法国数学作
家
Edouard
卢卡斯，他在这本
半月刊里，发表了两篇证明文章，他的结论是三阶、四阶
平方幻方不存在，
11²
13²
71²
113²
127²
23²
103²
137²
59²
29²
53²
149²
47²
41²
73²
图
6
139²
31²
67²
97²
7²
107²
17²
61²
83²
109²
68²
29²
41²
37²
即使用非连续的数字三阶
17²
59²
31²
28²
77²
79²
23²
8²
32²
61²
49²
平方幻方也不会存在。
127²
2²
74²
46²
113²
82²
图
4
58²
94²
97²
11²
图
5
可是，
人
们仍旧不肯罢休，
后来，
有人竟然得到图
4
中的
“平方数”
幻方，
它本身并非幻方，
只是
各数平方后，
其
3
行
< br>3
列一条对角线的
3
数和相等<
/p>
S
2
=38307,
图
6
是
5
阶
“平方数”
幻
方。大数学家欧拉在<
/p>
1770
年就曾得到第一个四阶“平方数”幻方（图
5
）
。
(2k + 42)²
(k -
24)²
(4k -
11)²
(8k -
2)²
(4k + 11)²
(8k +
2)²
(2k -
42)²
(k +
24)²
(8k -
18)²
(4k +
21)²
(k -
16)²
(2k +
38)²
(k + 16)²
(2k -
38)²
(8k + 18)²
(4k -
21)²
6
阶“平方数”幻方
Unfortunately to late to be published
in the
M.I.
article, I
constructed, in June 2005, the first 6x6
magic squares of squares.
If
I am right, 6x6 magic squares of squares using
squared consecutive integers (0²
to
35²
, or 1²
to
36²
) are impossible. My 6x6
magic square of squares does NOT use squared
consecutive integers...
but it is
interesting to see the used numbers:
from
0²
to 36²
only
excluding
30²
.
It is impossible to construct a 6x6
magic square of squares with a smaller magic sum.
But it is
possible
to
construct
other
samples
with
the
same
magic
sum
S2
=
2551,
or
with
other
bigger
sums.
An
interesting
supplemental
characteristics
of
this
sample:
the
3
smallest
integers
(0²
,
1²
,
2²
)
and
the
2
biggest
(35²
, 36²
) are used together
in the first row.
2005: 6x6 magic square of
squares. S2 = 2551.
2²
1²
36²
5²
0²
35²
6²
33²
20²
29²
4²
13²
25²
7²
14²
24²
31²
12²
21²
32²
11²
15²
22²
16²
34²
18²
23²
10²
19²
9²
7
阶“平方数”幻方
Unfortunately to late to be published
in the
M.I.
article, I
constructed, in June 2005, the first
7x7 magic squares of
squares.
17²
8²
3²
28²
27²
26²