基于matlab的四杆机构运动分析
法专-
1
平面连杆机构的运动分析
1.1
机构运动分析的任务、目的和方法
曲
柄摇杆机构是平面连杆机构中最基本的由转动副组成的四杆机构，
它可以用来实现转
动和摆动之间运动形式的转换或传递动力。
对四杆机构进行运动分析的意义是：
在机构尺寸参数已知的情况下，
< br>假定主动件
（曲柄）
做匀速转动，撇开力的作用，仅从运
动几何关系上分析从动件（连杆、摇杆）的角位移、角
速度、
角
加速度等运动参数的变化情况。
还可以根据机构闭环矢量方程计算从动件的位移偏
差。上述这些内容，
无论是设计新的机械，还是为了了解现有机械的运
动性能，都是十分必
要的，而且它还是研究机械运动性能和动力性能提供必要的依据。<
/p>
机构运动分析的方法很多，主要有图解法和解析法。当需要简捷
直观地了解机构的某个
或某几个位置的运动特性时，
采用图解法
比较方便，
而且精度也能满足实际问题的要求。
而
当需要精确地知道或要了解机构在整个运动循环过程中的运动特性时，
采用解
析法并借助计
算机，
不仅可获得很高的计算精度及一系列位置的
分析结果，
并能绘制机构相应的运动线图，
同时还可以把机构分
析和机构综合问题联系起来，以便于机构的优化设计。
1.2
机构的工作原理
在平面四杆机构中，其具有曲柄的条件为：
a.
各杆的长度应满足杆长条件，即：
最短杆长度
+
最长杆长度
≤
其余两杆长度之和。
b
.
组成该周转副的两杆中必有一杆为最短杆，且其最短杆为连架杆或机架（当最短杆为<
/p>
连架杆时，四杆机构为曲柄摇杆机构；当最短杆为机架时，则为双曲柄机构）
。
在如下图
1
所示的曲柄摇杆机构中，构件
AB
为曲柄，则
B
点应能通过曲柄与连杆两次
共线的位置。
1.3
机构的数学模型的建立
1.3.1
建立机构的闭环矢量位置方程
在用矢量法建立机构的位置方程时，
< br>需将构件用矢量来表示，
并作出机构的封闭矢量
多边形。
如图
1
所示，先建立一直角坐标系。设各构件的长度分别为
L1
、
L2
、
L3
、
L4
，
其方位角为
、
、
、
。以各杆矢量组成一个封闭矢量多
边形，即
ABCDA
。
其个矢量之和必
等于零。即：
式
1
式
1<
/p>
为图
1
所示四杆机构的封闭矢量位置方程
式。对于一个特定的四杆机构，其各构件
的长度和原动件
2
的运动规律，
即
角
、
。
为已知，
而
=0
，
故由此矢量方程可求得未知方位
角位移方程的分量形式为：
式
2
闭环矢量方程分量形式对时间求一阶导数（角速度方程）为：
其矩阵形式为：
式
3
联立式
3
两公式可求得：
式
4
式
5
式
6
闭环矢量方程分量形式对时间求
二阶导数（角加速度方程）矩阵形式为：
由式
7
可求得加速度：
式
7
式
8
式
9
注：式
1~
式
9
中，
Li(i=1,2,3,4<
/p>
）分别表示机架
1
、曲柄
2
、连杆
3
、摇杆
4
的长度；
（
i=1,2,3,4
）是各杆与
x
轴的正向夹角，逆时针为正，顺时针为负，单位为
rad;
是各杆
的角速度，
。
，单位为
rad/s;
为各杆的角加速度，单位为
1.3.2
求解方法
（
1
）求导中应用了下列公式：
式
10
（
2
）在角位移方程分量形式（式
2
）中，由于假定机架为参考系，矢量
1
与
x
轴重合，
=0
，则有非线性超越方程组：
式
11
可以借助牛顿
-
辛普森数值解法或
Matlab
自带的
fsolve
函数求出连杆
3
的角位移和摇杆
4
的角位移。
（
3
）求解具有<
/p>
n
个未知量
（
i=1,2,…,n
）的线性方程组：
式中，系列矩阵
是一个
阶方阵：
式
12
的逆矩阵为
;
常数项
b
是一个
n
< br>维矢量：
式
13
式
14
因此，线性方程组解的矢量为：
式
15
式
1
1
是求解连杆
3
和摇杆
4
角速度和角加速度的依据。
2
基于<
/p>
MATLAB
程序设计
四连杆机构的解析法同样可以用
MA
TLAB
的计算工具来求值，并结合
MATLAB
的可
视化手段，把各点的计算值拟合成曲线，得到四连杆机构的运动仿真轨迹。
2.1
程序流程图
2.2
M
文件编写
首先创建函数
FoutBarPosition
，函数
fsol
ve
通过他确定
。
function
t=fourbarposition(th,th2,L2,L3,L4,L1)
t
=[L2*cos(th2)+L3*cos(th(1))-L4*cos(th(2))-
< br>L1;…
L2*sin(th2)+L3*sin(t
h(1))-L4*sin(th(2))];
主程序如下：
disp ' * * * * * *
平面四杆机构的运动分析
* * *
* * *'
L1=304.8;L2=101.6;L3=254.0;L4=177.8;
%
给定已知量，各杆长
L1,L2,L
3,L4
th2=[0:1/6:2]*pi;
%
曲柄输入角度从
0
至
360
度，步长为
pi/6
th34=zeros(length(th2),2);
%
建立一个
< br>N
行
2
列的零矩阵，第一列存放
options=optimset('display','off');
%θ_3,
第二列存放<
/p>
θ_3
for
m=1:length(th2)
%
建立
f
or
循环，求解
θ_3
，
θ_4
th34(m,:)=fsolve('fourbarposition',[1
1],…
%<
/p>
调用
fsove
函数求解关于
θ_3
，
θ_4
options,th2(m),L2,L3,L4,L1);
%
的非线性超越方程，结果保存在
th34
中
end
y=L2*sin(th2)+L3*sin(th34(:,1)');
%
连杆
3
的
D
端点
Y
坐标值
x=L2*cos(th2)+L3*cos(th34(:,1)');
%
连杆
3
的
D
端点
X
坐标值
xx=[L2*cos(th2)];
%
连杆
3
的
C
端点
X
坐标值
yy=[L2*sin(th2)];
%
连杆
3
< br>的
C
端点
Y
坐标值
figure(1)
plot([x;xx],[y;yy],'k',[0 L1],[0
0],…
< br>%
绘制连杆
3
的几个位置点
'k--^',x,y,'ko',xx,yy,'ks') <
/p>
title('
连杆
3
< br>的几个位置点
')
xlabel('
水平方向
')
ylabel('
垂直方向
')
axis equal
%XY
坐标均衡
th2=[0:2/72:2]*pi;
%
重新细分曲柄输入角度
θ_
2
，步长为
5
度
th34=zeros(length(th2),2);
options=optimset('display','off');
for m=1:length(th2)
th34(m,:)=fsolve('fourbarposition',[1
1],…
options,th2(m),L2,L3,L4,L1);
end
figure(2)
plot(th2*180/pi,th34(:,1),th2*180/pi,th34
(:,2)) %
绘制连杆
3
的角位移关于曲柄
2
的角位
移图
plot(th2*180/pi,th34(:,1)*180
/pi,…
th2*180/pi,th34(:,2)*180/pi)
%
绘制摇杆
4
的角位移关于曲柄
2
的角位移图
axis([0 360 0 170])
%
确定
XY
边界值
grid
%
图形加网格
xlabel('
主动件转角
theta_2(
度
)')
ylabel('
从动件角位移
(
度
)')
title('
角位移线图
')
text(120,120,'
摇杆
4
角位移
')
text(150,40,'
连杆
3
角位移
')
w2=250;
%
设定曲柄角速度
for i=1:length(th2)
A=[-L3*sin(th34(i,1))
L4*sin(
th34(i,2));…
L3*cos(th34(i,1)) -L4*cos(th34(i,2))];
B=[w2*L2*sin(th2(i));
-w2*L2*cos(th2(i))];
w=inv(A)*B;
w3(i)=w(1);
w4(i)=w(2);
end
figure(3)
plot(th2*180/pi,w3,th2*180/pi,w4);
%
绘制角速度线图
axis([0 360 -175 200])
text(50,160,
'
摇杆
4
角速度
(omega_4)')
text(220,130,'
连
杆
3
角速度
(omega_3)')
grid
xlabel('
主动件转
角
theta_2(
度
)')
ylabel('
从动件角速度
(radcd
ot s^{-1})')
title('
角速度线图
')
for i=1:length(th2)
C=[-
L3*sin(th34(i,1))
L4*sin(th34(i,2));…
L3*cos(th34(i,1)) -L4*cos(th34(i,2))];
D=[w2^2*L2*cos(th2(i))+w3(i)^2*L3*cos(t
h34(i,1))-w4(i)^2*L4*cos(th34(i,2));...
w2^2*L2*sin(th2(i))+w3(i)^2*L3*sin(th3
4(i,1))-w4(i)^2*L4*sin(th34(i,2))];
a=inv(C)*D;
a3(i)=a(1);
a4(i)=a(2);
end
figure(4)
plot(th2*180/pi,a3,th2*180/pi,a4);
%
绘制角加速度线图
axis([0
360 -70000 65000])
text(50,50000,'
摇杆
4
角加速度
(alp
ha_4)')
text(220,12000,'
连杆
3
角加速度
(alpha_3)')
grid
xlabel('
从动件角加速度
')
ylabel('
从动件角加速度
(r
adcdot s^{-2})')
title('
角加速度线图
')
disp '
曲柄转角连杆转角
-
摇杆转角
-
连杆
角速度
-
摇杆角速度
-
连杆加速度
-
摇杆加速度
'
ydcs=[th2'*180/pi,th34(:,1)*180/pi,th34
(:,2)*180/pi,w3',w4',a3',a4'];
disp(ydcs)
2.3
程序运行结果输出
>>
* * * * * *
平面四杆机构的运动分析
* * *
* * *
曲柄转角
连杆转角
-
摇杆转角
-
连杆
角速度
-
摇杆角速度
-
连杆加速度
-
摇杆加速度
1.0e+004 *
0
0.0044
0.0097
-0.0125
-0.0125
-0.5478
4.8458
0.0005
0.0042
0.0094
-0.0126
-0.0107
0.2300
5.5630
0.0010
0.0039
0.0092
-0.0124
-0.0086
0.8946
6.0520
0.0015
0.0037
0.0091
-0.0119
-0.0065
1.4143
6.2982
0.0020
0.0034
0.0090
-0.0114
-0.0043
1.7801
6.3174
0.0025
0.0032
0.0089
-0.0107
-0.0021
2.0027
6.1467
0.0030
0.0030
0.0089
-0.0100
0.0000
2.1046
5.8339
0.0035
0.0028
0.0089
-0.0093
0.0020
2.1134
5.4272
0.0040
0.0026
0.0090
-0.0085
0.0038
2.0566
4.9687
0.0045
0.0025
0.0091
-0.0078
0.0054
1.9578
4.4918
0.0050
0.0023
0.0092
-0.0072
0.0069
1.8356
4.0198
0.0055
0.0022
0.0093
-0.0065
0.0082
1.7040
3.5680
0.0060
0.0021
0.0095
-0.0060
0.0094
1.5725
3.1450
0.0065
0.0019
0.0097
-0.0055
0.0104
1.4474
2.7545
0.0070
0.0018
0.0099
-0.0050
0.0113
1.3328
2.3968
0.0075
0.0017
0.0102
-0.0045
0.0121
1.2307
2.0702
0.0080
0.0017
0.0104
-0.0041
0.0128
1.1425
1.7716
0.0085
0.0016
0.0107
-0.0037
0.0134
1.0687
1.4971
0.0090
0.0015
0.0110
-0.0034
0.0138
1.0095
1.2426
0.0095
0.0014
0.0112
-0.0030
0.0142
0.9653
1.0035
0.0100
0.0014
0.0115
-0.0027
0.0145
0.9364
0.7752
0.0105
0.0013
0.0118
-0.0024
0.0148
0.9232
0.5530
0.0110
0.0013
0.0121
-0.0020
0.0149
0.9269
0.3319
0.0115
0.0013
0.0124
-0.0017
0.0150
0.9485
0.1069
0.0120
0.0012
0.0127
-0.0014
0.0150
0.9899
-0.1276
0.0125
0.0012
0.0130
-0.0010
0.0149
1.0530
-0.3773
0.0130
0.0012
0.0133
-0.0006
0.0147
1.1404
-0.6481
0.0135
0.0012
0.0136
-0.0002
0.0145
1.2544
-0.9455
0.0140
0.0012
0.0139
0.0002
0.0141
1.3967
-1.2743
0.0145
0.0012
0.0142
0.0008
0.0136
1.5677
-1.6368
0.0150
0.0012
0.0144
0.0013
0.0129
1.7648
-2.0314
0.0155
0.0012
0.0147
0.0020
0.0121
1.9807
-2.4495
0.0160
0.0013
0.0149
0.0027
0.0112
2.2018
-2.8735
0.0165
0.0013
0.0151
0.0035
0.0101
2.4071
-3.2754
0.0170
0.0014
0.0153
0.0044
0.0089
2.5697
-3.6186
0.0175
0.0015
0.0155
0.0053
0.0076
2.6616
-3.8650
0.0180
0.0016
0.0156
0.0063
0.0063
2.6609
-3.9849
0.0185
0.0018
0.0157
0.0072
0.0049
2.5591
-3.9674
0.0190
0.0019
0.0158
0.0080
0.0035
2.3638
-3.8244
0.0195
0.0021
0.0159
0.0088
0.0022
2.0959
-3.5866
0.0200
0.0023
0.0159
0.0095
0.0010
1.7823
-3.2931
0.0205
0.0025
0.0159
0.0100
-0.0001
1.4487
-2.9815
0.0210
0.0027
0.0159
0.0105
-0.0011
1.1152
-2.6809
0.0215
0.0029
0.0159
0.0108
-0.0020
0.7942
-2.4103
0.0220
0.0031
0.0158
0.0111
-0.0028
0.4916
-2.1794
0.0225
0.0033
0.0158
0.0112
-0.0035
0.2086
-1.9913
0.0230
0.0036
0.0157
0.0112
-0.0042
-0.0565
-1.8450
0.0235
0.0038
0.0156
0.0111
-0.0048
-0.3071
-1.7375
0.0240
0.0040
0.0155
0.0110
-0.0054
-0.5475
-1.6650
0.0245
0.0042
0.0154
0.0108
-0.0060
-0.7817
-1.6233
0.0250
0.0044
0.0153
0.0104
-0.0065
-1.0139
-1.6089
0.0255
0.0046
0.0151
0.0100
-0.0071
-1.2479
-1.6181
0.0260
0.0048
0.0150
0.0096
-0.0077
-1.4868
-1.6480
0.0265
0.0050
0.0148
0.0090
-0.0082
-1.7336
-1.6955
0.0270
0.0052
0.0146
0.0084
-0.0088
-1.9905
-1.7574
0.0275
0.0054
0.0145
0.0076
-0.0095
-2.2588
-1.8304
0.0280
0.0055
0.0143
0.0068
-0.0101
-2.5391
-1.9100
0.0285
0.0056
0.0141
0.0058
-0.0108
-2.8305
-1.9910
0.0290
0.0057
0.0138
0.0048
-0.0115
-3.1300
-2.0660
0.0295
0.0058
0.0136
0.0037
-0.0122
-3.4326
-2.1255
0.0300
0.0059
0.0133
0.0024
-0.0130
-3.7297
-2.1572
0.0305
0.0059
0.0131
0.0011
-0.0137
-4.0091
-2.1451
0.0310
0.0059
0.0128
-0.0004
-0.0145
-4.2538
-2.0696
0.0315
0.0059
0.0125
-0.0019
-0.0152
-4.4419
-1.9079
0.0320
0.0058
0.0122
-0.0035
-0.0158
-4.5473
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图形输出：