数列求和7种方法(方法全例子多)84179
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数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）
一、总论：数列求和
7
种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
二、等差数列求和的
方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减
法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、等比数列求和公式：
S
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
< br>(
q
1
)
1
q
1
q
n
1
1
2
3
、
S
n
k
< br>
n
(
n
1
)
4
、
S
n
k
n
(
n
1
< br>)(
2
n
1
)
2
6
k
1
k<
/p>
1
n
[
例
1]
已知
x
1
2
3
n
，求
x
x
x
< br>
x
的前
n
项和
.
2
2
3<
/p>
n
解：由等比数列求和公式得
S
n
x
x
x
< br>x
（利用常用公式）
1
1
(
1
n
)
x
(
1
x
)
2<
/p>
2
＝
1
－
1
＝
＝
1
1
x
2
n
1
2
n
[
例
2]
设
S
n
＝
1+2+3+
…+n
，
n
∈
N
*
,
求
f
(
< br>n
)
S
n
的最大值
.
(
< br>n
32
)
S
n
1
解：由等差数列求和公式得
S
n
∴
f
(
n
)
1
1
n
(
n
1
)
，
< br>
S
n
(
n
1
)
(
n
2
)<
/p>
（利用常用公式）
2
2
S
n
n
＝
2
(
n
32
)
S
n
1
n
34
n
64
＝
1
n
34
64
n
＝
(
n
1
8
n
)
2
< br>
50
1
50
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∴
当
n
8
1
，即
n
＝
8
时，
f
(
n
)
max
50
n
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和
公式时所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
< br>n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
2<
/p>
3
n
1
[
例
3]
求和：<
/p>
S
n
1
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x<
/p>
………………………
①
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
1
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比数列
{
x
n
1
< br>}
的通项之积
2
3
4
n
设
< br>xS
n
1
x
3
x
5
x
7<
/p>
x
(
2
n
1
)
x
……………………….
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2
< br>x
2
x
(
2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
(
1
x
)
2
[
例
4]
求数列
2
4
6
2
n
,
2
,
3
,
,
n
,
<
/p>
前
n
项的和<
/p>
.
2
2
2
2
2
n
1
解：由题可知，
{
n
}
的通项是等差数列
{2n}
的通项与等
比数列
{
n
}
的通项之积
2
2
2
4
6
2
n
设
S
n
<
/p>
2
3
n
…………………………………
①
2
2
2
2
1
2
4
6
2
n
S<
/p>
n
2
3
4
n
1
…………………………
……
②
（设制错位）
2
2
2
2
2
1
2
2
2<
/p>
2
2
2
n
①－②得
(
1
)
S
n
2
3
4
< br>
n
n
1
（错位相减
）
2
2
2
2
2
2
2
n
2
∴
S
n
4
n
1
2
练习题
1
答案：
练习题
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，求数列｛
a
n
｝的前
n
项和
S
n
.
n
项和为
____
已知
的前
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答案：
三、逆序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（
反序）
，再把它与原
数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)<
/p>
.
0
1
2
n
n
[
例
5]
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C<
/p>
n
(
n
1
)
2
0
1
2
n
证明：
设
S
n
C
n
3
C
n
5
C
n<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
…………………………..
①
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
m
n
m
又由
C
n<
/p>
C
n
可得
0
1
n
1
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
(
2
< br>n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
…………..……..
②
0
1
n
1
n
n
①
+
②得
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
C
n
C
n
C
n
)
2<
/p>
(
n
1
)
2
（反序相加）
n
∴
S
n
(
n
1
)
2
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题
1
已知函数
（
1
）证明：
；
（
2
）求
的值
.
解：（
1
）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边
=
右边