轴对称图形典型例题
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轴
对
称
图
形
1
轴对称图形典型例题
例
1
如下
图，已知，
PB
⊥
AB
，
PC
⊥
AC
，且
PB
＝
PC
，
D
是
AP
上一点．
求证：∠
BDP<
/p>
＝∠
CDP
．
证明：∵
PB
⊥
AB
，
PC
⊥
AC
，且
PB
＝
PC
，
∴
∠
P
AB
＝∠
P
A
C
（到角两边距离相等的点在这个角平分线上）
，
∵
∠
< br>APB
＋∠
P
AB
＝
90
°，∠
APC
＋∠
P
AC
＝
90
°，
∴
∠
APB
＝∠
APC
，
在△
PDB
和△
PDC
中，
∴
△
PDB
≌△
PDC
（
SAS
）
，
∴
∠
BDP
＝∠
CDP
．
（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）
注
利用角平分线定
理的逆定理，
可以通过距离相等直接得到角相等，
而不用再证明
两个三
角形全等．
例
2
已知
如下图（
1
）
，在四边形
ABCD
中，
BC
＞
BA
，
AD
＝
CD
，
BD
平分∠<
/p>
ABC
．求证：
∠
A
＋∠
C
＝
180
°．
PB
PC
，
APB
APC
，
PD
PD
.
（
1
）
证法一：过
D
作
D
E
⊥
AB
交
B
A
的延长线于
E
，
DF
⊥
BC
于
F
，
∵
BD
平分∠
ABC
，∴
DE
＝
DF
，
在
Rt
△
EAD
和
Rt
△
FCD
中，
AD
< br>DC
，
DE
DF
.
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明
．
）
∴
<
/p>
Rt
△
EAD
≌
Rt
△
FCD
（
HL
）
，
2
∴
<
/p>
∠
C
＝∠
EAD
，
∵
∠
EAD
＋
∠
BAD
＝
180
°，
∴
∠
A
＋∠
C
＝
180
°．
证法二：如下图（
2
）
，在
BC
上截取
BE
＝
AB
，连结
DE
，
证明△
ABD
≌△
EBD
可得．
（
2
）
证法三：如下图（
3
）
，延长
BA
到
E
< br>，使
BE
＝
BC
，连结
ED
，以下同证法二．
（
3
）
注
本题考察一个角平分线上的任意一
点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，
关键
是掌握遇到
角的平分线的辅助线的不同的添加方法．
例
3
已知
，如下图，
AD
为△
ABC
的中线，且
DE
平分∠
B
DA
交
AB
于
E
，
DF
平分∠
ADC
交
AC
于
F
．
求证：
BE
＋
CF
＞
EF
．
证法一：在
DA
截取
DN
＝
DB
，连结
NE
、
NF
，则
DN
＝
DC
，在△
BD
E
和△
NDE
中，
（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角
形的性质来解题）
∴
△
BDE
≌△
NDE
（
SAS
）
，
∴
BE
＝
NE
（全等三角形对应边相等）
，
同理可证：
CF
＝
NF
，
在△
EFN
中，
EN
＋
FN
＞
EF
（三角形两边之和大于第三边）
，
∴
BE
＋
CF
>
EF
．
3
BD
ND
，
BDE
NDE
，
DE
DE
.
证法二：延长<
/p>
ED
至
M
，使<
/p>
DM
＝
ED
，连
结
CM
、
MF
，
在△
BDE
和△
CDM
中，
（从另一个角度作辅助线）
∴
△
BDE
≌△
NDE
（
SAS
）
，
∴
CM
＝<
/p>
BE
（全等三角形对应边相等）
，
又∵
∠
BDE
=
∠
A
DE
，∠
ADF
＝∠<
/p>
CDF
，
而∠
BDE
＋∠
ADE
＋∠
ADF
＋∠
CDF
＝
180
°，
∴
∠
ADE
+
∠
ADF
＝
90
°，
即
∠
EDF
＝
90
°，
∴
∠
FDM
＝∠
EDF
< br>＝
90
°，
< br>在△
EDF
和△
MDF
中，
BD
CD
，
BDE
CDM
，
DE
DM
.
∴
△
EDF
≌△
MDF
（
SAS
）
，
∴
EF
＝
MF
（全等三角形对应边相等）
，
在△
CMF
中，
CF
＋
CM
>
EF
，
∴
BE
＋
CF
>
EF
．
注
本题综合考察角平分线、中线的意
义，关键是如何使题中的分散的条件集中．
例
4
<
/p>
已知，如下图，
P
、
Q
是△
ABC
边
< br>BC
上的两点，且
BP
＝
PQ
＝
QC
＝
AP
＝
AQ
．求：∠
BAC
的度数．
ED
MD
，
EDF
MDF
，
DF
DF
.
解：∵
AP
＝
PQ
＝
AQ
（已知）
，
4
∴
∠
APQ
＝∠
AQP
＝∠
P
AQ
＝
60
°（等边三角形三个角都是
60
°
）
，
∵
<
/p>
AP
＝
BP
（已
知）
，
（注意观察图形和条件）
∴
∠
PBA
＝∠
P
AB
（
等边对等角）
，
∴
∠
APQ
＝∠
PBA
＋∠
P
AB
＝
60°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
，<
/p>
∴
∠
PBA
＝∠
P
AB<
/p>
＝
30
°，同理∠
QAC
＝
30
°，
< br>
∴
∠
BAC
＝∠
BAP
＋∠
P
AQ
＋∠
QAC
＝
30
°＋
60
°＋
30
°＝
120
°．
注
<
/p>
本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：
（
1
）利用等边对等
角得到相等的角
；
（
2
）
利用
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关
系；
（
3
）利用三角形内角和定理列方程．
例
5
已知，如下图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
E<
/p>
是
AB
的中点，以点
E
为圆心，
EB
为半径
画弧，交
BC
于点
D
，连结
ED
，并延长
ED
到点
F
，使
DF
＝
DE
，连结
FC
．
求证：∠
F
＝∠
A
．
证明：∵
AB
＝
AC
，
∴
∠
B
＝∠
ACB
（等边对等角）
，
∵
EB
＝
ED
，
∴
∠
B
＝∠
EDB
，
∴
∠
ACB
＝∠
EDB
（等量
代换）
，
∴
ED
∥
AC
（
同位角相等，两直线平行）
，
在△<
/p>
BDE
和△
AED
中，
BE
＝
AE=ED
，
连结
AD
可得，∠
EAD
＝∠
EDA
，∠
EBD
＝∠
EDB
，
∠
EDA
＋∠
EDB
＝
90
°，即
AD
⊥
BC
，
∴
∠
EDA
＋∠
EDB
＝
90
°，即
AD
⊥
BC
，
（用什么定理判定三角形全等的？）
∴
D
为
BC
的中点，
∴
△
BDE
≌△
CDF
，
∴
∠
BED
＝∠
F
，而∠
BED
＝∠
A
，
∴
∠
F
＝∠
A
．
例
6
已知
，如下图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
E
在
CA
的延长线上，∠
A
EF
＝∠
AFE
．
求证：
EF
⊥
< br>BC
．
证法一：作
BC
边上的高
AD
，
D
为垂足，
5
∵
<
/p>
AB
＝
AC
，<
/p>
AD
⊥
BC
，<
/p>
∴
∠
BAD
＝∠
CAD
（等腰三角形三线合一）
，
又∵
∠
BA
C
＝∠
E
＋∠
AFE
，∠
AEF
＝∠
AFE
，
∴
∠
CAD
＝∠
E
，∴
AD
∥
EF
，
∵
AD<
/p>
⊥
BC
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
证法二
：过
A
作
AG
⊥
EF
于
G
，
∵
∠
AEF
＝∠
AF
E
，
AG
＝
A
G
，∠
AGE
＝∠
AGF
＝
90
°，
∴
△
AGE
≌△
AGF
（
ASA
）
，
∵
AB
＝<
/p>
AC
，∴
∠<
/p>
B
＝∠
C
，
又∠
EAF
＝∠
B
＋∠
C
，<
/p>
（请对比多种证法的优劣）
∴
∠
EAG
＋∠
GAF
＝∠
B
＋∠
C
，
∴
∠
EAG
＝∠
C
，∴
AG
∥
BC
，
∵
AG<
/p>
⊥
EF
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
证法三
：过
E
作
EH
∥
BC
交
BA
的延长线于
H
，
∵
AB<
/p>
＝
AC
，∴
<
/p>
∠
B
＝∠
C
，
∴
∠
H
＝∠
B
＝∠
C
＝∠
AEH
，
∵
∠
AEF
＝∠
AFE
，∠
H
＋∠
AFE
＋∠
FEH
＝
180
°，
∴
∠
H
＋∠
AEH
＋∠
A
EF
＋∠
AFE
＝
180
°，
∴
∠
AEF
＋∠
AEH
＝
90
°，即∠
FEH
＝
90
°，
∴
EF
⊥<
/p>
EH
，又
EH
∥
BC
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
证法四
：延长
EF
交
BC
于
K
，
∵
AB
＝<
/p>
AC
，∴
∠<
/p>
B
＝∠
C
，
1
∴
∠
B
＝
2
（
180
°
－∠
BAC
）
，
∵
∠
AEF
＝∠
AFE
，
1
∴
∠
AFE
＝
2
（
180
°
－∠
EA
F
）
，
6
∵
<
/p>
∠
BFK
＝∠
A
FE
，
1
∴
∠
BFK
＝
2
（
180
°
－∠
EA
F
）
，
1
1
∴
∠
B
＋∠
BFK<
/p>
＝
2
（
180<
/p>
°
－∠
BAC
）
＋
2
（
180
°
－∠
EAF
）
1
∵
＝
2
[
360
°
－（∠
EAF
＋∠
BAC
）
]
，
∴
∠
EAF
＋∠
BAC
＝
< br>180
°
，
∴
∠
B
＋∠
BFK
＝
90
°
，即∠
FKB
＝
90
°
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
注
本题考察等腰三角形性质的应用，
解题的关键是通过添加辅助线，建立
EF
与
BC
的联
系，仔细体会以上各种不同的添加辅助线的方法．
例
7
如下
图，
AB
＝
AC
，
DB
＝
DC
，
P
是
AD
上一点．
求证：∠
ABP
＝∠
ACP
．
证明：连结
BC
，
∵
AB
＝
AC
（已知）
< br>，
∴
∠
ABC
＝∠
ACB
（等边对等角）
，
又∵
点
A<
/p>
、
D
在线段
BC
的垂直平分线上
（与线段两个端点的
距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
，而两点确定一条直线，
∴
AD
就是线段
BC
的垂直平分线，
∴
PB
＝<
/p>
PC
（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
，
∴
∠
PBC
＝∠
PCB
（等边对等角）
，
（线段垂直平分线的性质
）
∴
∠<
/p>
ABC
－
∠
PB
C
＝∠
ACB
－∠
PCB
（等式性质）
，
即∠
ABP
＝∠
ACP
．
注
本题若用三角形全等，
至少需要证两次，
现
用线段垂直平分线的判定和性质，
就显得比
较简洁．
例
8
如下图，
AB
＝
AC
，
DE
垂直平分
AB
交
AB
于
D<
/p>
，交
AC
于
E<
/p>
，若△
ABC
的周长为
< br>28
，
BC
＝
< br>8
，求△
BCE
的周长．
7