八年级数学上册《轴对称图形》经典例题含解析
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《第
2
章
轴对称图形》
一、选择题
1
．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（<
/p>
）
A
．
B
．
C
．
D
．
2
．一张菱形纸片按如图
1
、图
2
依次对折后，再按如图
3
打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．已知等腰三角形的两边长分别为
5
和
6
，则这个等腰三角形的周长为（
）
A
．
11
B
．
16
C
．
17
D
．
16
或
17
4
．如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，且
D
为
BC
上一点，
CD
=AD
，
AB=BD
，则∠
B
的度数为（
）
A
．30°
B
．36°
C
．40°
D
．45°
5
．如图，已知在△
ABC
中，
CD<
/p>
是
AB
边上的高线，
BE
平分∠
ABC
，交
CD
于点
E
，
BC=5
，
DE=2
，则
△
BCE
的面积等于（
）
A
．
10
B
．
7
C
．
5
D
．
4
6<
/p>
．如图，△
ABC
中，
< br>AB=AC
，
DE
垂直平分
AB
，
BE
⊥
AC
，
AF
⊥
BC
，则下面结论错误的是（
）
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A
．
BF=EF
B
．
DE=EF
C
．∠EFC=45°
D
．∠
BEF=
∠
CBE
7
．
如图，<
/p>
在第
1
个△
A<
/p>
1
BC
中，
∠B
=30°，
A
1
B=CB
；
在边
A
1
B
上任取一点
D
，
延长
CA
1
到
A
2
，
使
A
1
A
2
=A
1
D
，
得到第
2
个△
A
1
A
2
D
；在边
A
2
D
上任取一点
E
，延长
A
1
A
2
到
A
3
，使
A
2
A
3
=A
2
E
，得到第
3
个△
A
2
A
3
E
，…按
此做法继续下去，则第
n
个三角形中以
A
n
为顶点的内角度数是（
）
A
．（
）
n
•
75°
B
．（
）
n
﹣
1
•
65°
C
．（
）
n
﹣
1
•
75°
D
．（
）
n
•
85°
8
．如图，在线段
AE
同侧作两个等边三角形△
ABC
和△
CDE
（
∠
ACE
＜120°），点
P
与点
M
分别是线
段
BE
和
AD
的中点
，则△
CPM
是（
）
A
．钝角三角形
B
．直角三角形
C
．等边三角形
D
．非等腰三角形
< br>9
．如图是
P
1
、
P
2
、…、
P
10
十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十
等分．今小玉连接
P
1
P
2
、
P
1
< br>P
10
、
P
9
P
10
、
P
5
P
6
、
P
6
P
7
，
判断小玉再连接下列哪一条线段后，
所形
成的图形不是轴对称图形？
（
）
A
．
P
2
P
3
B
．
P
4
P
5
< br>
C
．
P
7
P
8
D
．
P
8
P
9
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10
．如图
1
，在等腰三角形
ABC
中，
AB=AC
=4
，
BC=7
．如图
2
，在底边
BC
上取一点
D
，连结
AD
，使
得∠
DAC=
∠
ACD
．如图
3
，将△
ACD
沿着
AD
所在直线折
叠，使得点
C
落在点
E
处，连结
BE
，得到四
边形<
/p>
ABED
．则
BE
的长是（
）
A
．
4
B
．
C
．
3
D
．
2
二、填空题
11
．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第
______
个．
12
．如图，在
2
×
2
方格纸中，有一个以格点为顶点的△
ABC
，请你找出方格
纸中所有与△
ABC
成轴
对称且也以格
点为顶点的三角形，这样的三角形共有
______
个．
13
．
如图，
△
ABC
中，<
/p>
∠C=90°，
∠
BAC
的平分线交
BC
于点
D
，
若
CD=4
，
则点
D
到
AB
的距离是
______
．
< br>
14
．如图，在等腰三角形
ABC
中，
AB=AC
，
DE
垂直平分
AB
，已知∠ADE=40°，则∠
DBC=_____
_°．
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15
．
如图，
在△
ABC
中，
∠
B
与∠
C
的平分线交于点
O
，
过点
O
作
DE
∥
BC
，
分别交
AB
、
AC
于点<
/p>
D
、
E
．
若
AB=5
，
AC=
4
，则△
ADE
的周长是
______
．
16
．如图，
CD
与
BE
互相垂直平分，
AD
⊥
DB
，∠BDE=70°，则∠CAD=____
__°．
17
．如图，∠BAC=110°，若
MP
和
< br>NQ
分别垂直平分
AB
和
AC
，则∠
PAQ
的
度数是
______
．
18
．等腰三角形一腰上的高与另一
腰的夹角为
30°，则它的顶角为
______
．
19
．
< br>在
4
×
4
的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，
移动其中一个正方形到空白方格中，
与其
余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有
______
种．
20
．如图，∠
AOB
是一角度为
10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在
其内部添加一些钢管：
EF
、
FG
、
GH…，且
OE=EF=FG=GH…，
在
OA
、
OB
足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为
______
．
三、解答题
21
．
如图，
在由边长为
1
的小正方形组成的
10
×
10
的网格中
（我们把组成网格的小正方形的顶点称
为格点），四边形
ABCD
在直线
l
的左侧，其四个顶点
A
，<
/p>
B
，
C
，
D
分别在网格的格点上．
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（
1
）请你在所给的网格中画出四边形
A
1
B
1
C
1<
/p>
D
1
，使四边形
A
1
B
1
C<
/p>
1
D
1
和四边形
ABCD
关于直线
l
< br>对称；
（
2
< br>）在（
1
）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边
形
A
1
B
1<
/p>
C
1
D
1
的面积．
22<
/p>
．如图，在△
ABC
中，∠
C=90
度．
（
1
）
用圆规和直尺在
A
C
上作点
P
，
使点
P
到
A
、
B
的距离相等；
（保留作图痕迹，
不写作法和证明）
（
2
）当满足（
1
）的点
P
到
AB
、
BC
的距离相等时，求∠
A
的度数．
23
．如图，在△
ABC
中，
DM
、
EN
分别垂直平分
AC
和
BC
，交
AB
于
M
、
N
两点，
DM
与
EN
相交于点
F
．
（
1
）若△
CMN
的周长为
15cm
，求
AB
的长；
（
2
）若∠MFN=70°，求∠
MC
N
的度数．
24
．如图，在△
ABC
中，点
D
，
E
分别在边<
/p>
AC
，
AB
上，
BD
与
CE
交
于点
O
，给出下列三个条件：①∠
EB
O=
∠
DCO
；②BE=CD；③OB
=OC．
（
1
）
上述三个条件中，
由哪两个条件可以判定△
ABC
是等腰三角形？
（用序号写出所有成立的情形）
（
2
）请选
择（
1
）中的一种情形，写出证明过程．
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25
．如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，点
D
，
E
，
F
分别在边
AB
，
BC<
/p>
，
AC
上，且
B
D=CE
，
BE=CF
，如果点
G
为
DF
的中点，那
么
EG
与
DF
垂直吗？
26
．如图，在△
ABC
中，
AB=A
C
，
D
、
E<
/p>
是
BC
边上的点，连接
< br>AD
、
AE
，以△
ADE
的边
AE
所在直线为
对称轴作△
ADE
的轴对称图形△AD
′E，连接
D′C，若
BD=CD′﹒
（
1
）求证：△
ABD
≌△ACD′；
（
2
）若∠
BAC
﹦12
0°，求∠
DAE
的度数．
27
．如图，已知△
BAD
和△
BCE
均为等腰直
角三角形，∠
BAD=
∠BCE=90°，点
< br>M
为
DE
的中点，过点
E
与
AD
平行的直线交
射线
AM
于点
N
．
（
1
）
当
A
，
B
，<
/p>
C
三点在同一直线上时（如图
1
），求证：
M
为
AN<
/p>
的中点；
（
2
）将图
1
中的△
BCE
绕点
B
旋转，当
A
，
B
，
< br>E
三点在同一直线上时（如图
2
），求证：△
ACN
为
等腰直角三角形
；
（
3
）将
图
1
中△
BCE
绕点
B
旋转到图
3
< br>位置时，（
2
）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之
，
若不成立，请说明理由．
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《第
2
章
轴对称图形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1
．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（<
/p>
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据
轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个
图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析．
【解答
】解：
A
、不是轴对称图形，故此选项错误；
< br>
B
、不是轴对称图形，故此选项错误；
C
、是轴对称图形，故此选项正确；
D
、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：
C
．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
< br>
2
．一张菱形纸片按如图
1
、图
2
依次对折后，再按如图
3
打出一个圆形小孔
，则展开铺平后的图案
是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【考点】剪纸问题．
【分析】对于此
类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【
解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论．
< br>
故选
C
．
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【点评】此题主要考查了剪
纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注
意培养．
3
．已知等腰三角形的两边长分别为
5
和
6
，则这个等腰三角形的周长为（
）
A
．
11
B
．
16
C
．
17
D
．
16
或
17
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】分类讨论．
【分析】分
6
是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三
角形的周长的定义
列式计算即可得解．
【解答】解：①6
是腰长时，三角形的三边分别为
6
、
6
、
5
，
能组成三角形，
周长
=6+6+5=17
；
②6
是底边时，三角形的三边分别为
6
、
5
、
5
，
能组成三角形，
周长
=6+5+5=16
．
综上
所述，三角形的周长为
16
或
17
．
故选
D
．
<
/p>
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
4
．如图，在△
ABC
中，
AB=AC
，且
D
为
< br>BC
上一点，
CD=AD
，
AB=BD
，则∠
B
的度数为（
）
A
．30°
B
．36°
C
．40°
D
．45°
【考点】等腰三角形的性质．
【分析
】求出∠
BAD=2
∠
CAD=2
∠
B=2
∠
C
的关系，利用三角形的内角和是
180°，求∠
B
，
【解答】解：∵
AB=AC
，
∴∠
B=
∠
C
，
∵
AB=BD
，<
/p>
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∴∠
BAD=
∠
BDA
，
∵
CD=AD
，
∴∠
C=
∠
CAD
，
∵∠
BAD+
∠
CAD+
∠
B+
∠C=180°，
∴
5
∠B=180°，<
/p>
∴∠B=36°
故选：
B
．
【点评】
本题主要考查等腰三角形的性质，
解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠
BAD=2
∠<
/p>
CAD=2
∠
B=2
∠
C
关系．
5
．如图
，已知在△
ABC
中，
CD
是
AB
边上的高线，
BE
平分∠
ABC
，交
CD
于点
E
，
BC=5
，
DE=2
，则△
BCE
的面积等于（
）
A
．
10
B
．
7
C
．
5
D
．
4
【考点】角平分线的性质．
【分析】
作
EF
⊥
BC
于
F
，根据角平分线的性质求得
EF=
DE=2
，然后根据三角形面积公式求得即可．
【解答】解：作
EF
⊥
BC
于
F
，
∵
BE
平分∠
AB
C
，
ED
⊥
A
B
，
EF
⊥
B
C
，
∴
EF
=DE=2
，
∴
S
△
BCE
=
BC
•
EF=
×
< br>5
×
2=5
，
< br>
故选
C
．
<
/p>
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解
题的关
键．
6
．如图，△
ABC
中，
AB=AC
，
DE
垂直平分
AB
，
BE
⊥
AC
，
AF
⊥
BC
，则下
面结论错误的是（
）
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A
．
BF=EF
B
．
DE=EF
C
．∠EFC=45°
D
．∠
BEF=
∠
CBE
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得到
BF
=FC
，
根据直角三角形的性质判断
A
；
根据直角三角形的
性质判断
B
；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断
C
，根据直角三角形的性质判断
D
．
【解答】解：∵
AB=AC
，
AF
⊥
BC
，
∴
BF=FC<
/p>
，
∵
BE
⊥
AC
，
∴
EF=
BC=BF
，
A
不合题意；
∵
DE=
AB
，
< br>EF=
BC
，不能证明
DE=E
F
，
B
符合题意；
∵
DE
垂直平分
AB
，
∴
< br>EA=EB
，又
BE
⊥
AC
，
∴∠BAC=45°，
∴∠C=67
.5°，又
FE=FC
，
∴∠EFC=45°，
C
不合题意；
∵
FE=FB
，
∴∠
BEF=
∠
CBE
；
故选：
B
．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，
掌握线段
的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7
< br>．
如图，
在第
1
个△
A
1
BC
中，
∠B=30°，
A
1
B=CB
；
在边
A
1
B
上任取一点
D
，
延长
CA
1
到
A
2
，
使
A
1
A
2
=A
1
D
，
得到第
2
个△
A
1
A
2
D
；在边
A
2
D
上任取一点
E
，延长
A
1
A
2
到
A
3
，使
A
2
A
3
=A
2
E
，得到第
3
个△
A
2
A
3
E
，…按
此做法继续下去，则第
n
个三角形中以
A
n
为顶点的内角度数是（
）
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A
．（
）
n
•
75°
B
．
（
）
n
﹣
1<
/p>
•
65°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】规律型．
C
．（
）
n
﹣
< br>1
•
75°
< br>D
．（
）
n
•
85°
【分析】先根据等腰三
角形的性质求出∠
BA
1
C
的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性
质分别求出∠
DA
2
A
1
，∠
EA
3
A
2
及∠
FA
4
A
3
的度数，找出规律即可得出第
n
个三角形中以
A
n
为顶点的内
角度数．
【解答】解：∵在△
CBA
1
中，∠B
=30°，
A
1
B=CB
，
∴∠
BA
1
C=
=75°，
∵
A
1
A
2
=A
1
D
，∠
BA
1
C
是△
A
1
A
2
D
的外角，
∴∠
DA
2
A
1
=
∠
BA
1
C=
×75°；
同理可得，
∠
EA
3
A
2
=
（
）
2
×7
5°，∠
FA
4
A
3
=
（
）
3
×75°，
∴第
< br>n
个三角形中以
A
n
为顶点的内角度数是（
）
n
﹣
1
×75°．
故选：
C
．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠
DA
2
A
1
，∠
EA
3
A
2
及∠
FA
4
A
3
的度数，找出规律是解答此题的关键．
8
．如图，在线段
AE
同侧作两个等边三角形△
ABC
和△
CDE
（∠
ACE
＜120°），点
P
与点
M
分别是线
段<
/p>
BE
和
AD
的中
点，则△
CPM
是（
）
A
．钝角三角形
B
．直角三角形
C
．等边三角形
D
．非等腰三角形
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
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【分析】首先根据等边三角
形的性质，得出
AC=BC
，
CD=C
E
，∠
ACB=
∠ECD=60°，则
∠
BCE=
∠
ACD
< br>，
从而根据
SAS
证明△
BCE
≌△
ACD
，
得∠
CBE=
∠
CAD
，
BE=AD
；再由点
P
与点
M
分别是线段
BE
和
AD
的
中点，得
BP=AM
，根据
SAS
证明△
BCP
≌△
ACM
，得
PC=MC
，∠
BCP=
∠
ACM
，则∠
PCM=
∠ACB=60°，从
而证明
该三角形是等边三角形．
【解答】解：∵△
< br>ABC
和△
CDE
都是等边三角
形，
∴
AC=BC
< br>，
CD=CE
，∠
ACB=
∠ECD=60°．
∴∠
BCE=
∠
ACD
．
∴△
BCE
≌△
ACD
．
∴∠<
/p>
CBE=
∠
CAD
，
BE=AD
．
< br>又点
P
与点
M
< br>分别是线段
BE
和
AD
的中点，
∴
BP=A
M
．
∴△
B
CP
≌△
ACM
．
∴
PC=MC
，∠
BCP=
∠
ACM
．
∴∠
PCM=
∠A
CB=60°．
∴△
CPM
是等边三角形．
故选：
C
．
【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作
用，本题
结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质．
9
．如图
是
P
1
、
P<
/p>
2
、…、
P
10
十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分．今小玉连接
P
1
P
2
、
P
1
P
10<
/p>
、
P
9
P
10
、
P
5
P
6
、
P
6
P
7
，
< br>判断小玉再连接下列哪一条线段后，
所形成的图形不是轴对称图形？
（
）
A
．
P
2
P
3
B
．
P
4
P
5
< br>
C
．
P
7
P
8
D
．
P
8
P
9
【考点】利用轴对称设计图案．
【分析】利用轴对称图形的性质分别分析得出即可．
【解答】解：由题意可得：当连接
P
2
P
3
，
P
4
P
5
，
< br>P
7
P
8
时，所形成的图形是轴对称图形，
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当连接
P
8
P
9
时，所形成的图形不是轴对称图形．
故选：
D
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
10<
/p>
．如图
1
，在等腰三角形
ABC
中，
AB=AC=4
，
BC=7
．如图
2
，在底边
BC
上取一点
D
，连结
AD
，使
得∠<
/p>
DAC=
∠
ACD
．如图
3
，将△
ACD
沿着
AD
所在直线折叠，使得点
C
落在点
E
处，连结
BE
，得到四
边形
ABED
．则
BE
的长是（
）
A
．
4
B
．
C
．
3
D
．
2
【考
点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【分析】只要证明△
ABD
∽△
MBE
，得
【解答】解：∵
< br>AB=AC
，
∴∠
ABC=
∠
C
，
∵∠
DAC=
∠
ACD
，
∴∠<
/p>
DAC=
∠
ABC
，
∵∠
C=
∠
C
，
∴
△
CAD
∽△
CBA
< br>，
∴
∴
=
∴
CD=
=
，
，
，
BD=BC
﹣
CD=
< br>，
=
，只要求出
BM
、
BD
即可解决问题．
∵∠
DAM=
∠
DAC=
∠
DBA
，∠
ADM=
∠
ADB
，
∴△
ADM
∽△
BDA
，
<
/p>
∴
=
，即
=
，
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∴
DM=
，
M
B=BD
﹣
DM=
，
< br>
∵∠
ABM=
∠
C=
∠
MED
，
∴
A
、
B
、
E
、
D
四点共圆，
∴∠
ADB=
∠
BEM
，∠
EBM=
∠
EAD=
∠
ABD
，
∴△
ABD
∽△
MBE
，
∴
=
，
∴
BE=
故选
B<
/p>
．
=
=
．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似
三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需
要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考
选择题中的压轴题．
二、填空题
11
．下面有五个图形，与其它图形众不同的是第
③
个．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，
第③个不是．
故答案为：③．
【点评】本题考查了
轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折
叠后可重合
．
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12
．如
图，在
2
×
2
方格纸中，有一个以格点为顶点的△
ABC
，请你找出方格纸中
所有与△
ABC
成轴
对称且也以格点为
顶点的三角形，这样的三角形共有
5
个．
【考点】利用轴对称设计图案．
【分
析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个
图形就是轴对称图形进行画图即可．
【解答】解：如图：
与△
ABC
成轴对称且也以格点为顶点的三角形有△
ABD
、△
BCD
、△<
/p>
FBE
、△
HCE
，
△
AFG
，
共
5
个．
故答案为：
5
．
【点评】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设
计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟
悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图
，通过变换对称轴来得到不同的图案．
13
．
如图
，
△
ABC
中，
∠C=90°，
∠
BAC
的平分线交
BC
于点
D
，
若
CD=4
，
则点
D
到
AB
的距离是
4
．
【考点】角平分线的性质．
【分析】
过点
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
DE=CD
，即可
得解．
【解答】解：如图，过
点
D
作
DE
⊥
AB
于点
E
，
∵
AD
是∠
BAC
的平分线，