函数图象关于点对称性
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函数图象关于点对称性
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整
个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点
与热点，函数的对称性是函数的一个基本性
质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往
能更简捷的是问题
得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的
< br>较少。本文只探讨函数的关于点对称性。
I.
函数自身关于点对称性
命题
1
：函数
的图像关于点
对称的充要条件是
(
或者
)
证明：（必要性）设
是
图像上任一点，∵点
关于点
的对称点
也在
图像上，∴
，即
故
，必要性得证。
（充分性）设点
是
图像上任一点，则
，∵
，∴
，即
，故点
也在
图像上，而点
与点
关于点
对称，充分性
得证。
推
论
1
：奇函数的图像关于原点对称。
证明：设函数
是奇函数，则奇函数定义有
f(x)
f(
x)
0
，由命题
1
可得
函数
图像关于源点
对称。
推
论
2
：如果函数
满足
,
则函数
图象关于
点
对称。（证明略）
推论
3
：函数
的图像关于点
。
证明：∵
，
，
∴
1
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上单调递增，如果
且
，则
的值（
）
A.
恒小于
0
B.
恒大于
0
C.
可能为零
D.
可正可负
分析：先
代替
，使
变形为
征
就是推论
2
，因此函数
的图像关于点
对称。
在区间
在区间
上也单调递增。我们可以把该
函数想象成是奇函数的图象向右平移了两
个单位。
解：∵
且在区间
上单调递增，
∴
，∵
∴函数
的图像关于点
∴
∴
以选
A
自变量加起来为
7
时函数值的和始终为
称中心）
如果
为奇函数，并且
称轴。（由周期性定义知周期为
按上
例知
x=-1
为对称轴，所以
例
3
定义在
上的函数
则
解：由命题
1
可得函数
4
，又
为对称轴，
例
2
如果函数
满足
由命题
1
有函数
的图像关于点
对称。
例
1
已知定义域为
的函数
满足
且函数
在区间
，它的特
上单调递增，
对称，
.
所
，求该函数的对称中心。（因为
6<
/p>
，所以中点固定为（
3.5
，
3
），这就是它的对
，求该函数的所有对称中心和对
，从而
为对称中心其中
k
∈
Z
）
< br>
，
满足
，
关于点
对称，所以点
关于点
的对
2
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