插板法原理及应用
求职面试自我介绍范文-
插板法理论分析：假定
M
个元素，分成
N
组。
M
个元素中间有
（
M-1
）个空，如果想分为
N
组的话需要插入（
N-1
）个木板，所以方法
数为：
C
（
M-1
，
N-1
）
；
注意插板法的三要件：①相同元素分配；②所分组是不相同的；③每组至少分到一
个。
插板法的三种基本形式：
（
1
）将
8
个完全相同的
球放到
3
个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有
多
少种方法？
A.21
B.28
C.32
D.48
楚香凝解析：
8
个球中间有
7
个空，
分到
3
个盒子需要插两块板，
插板法
C
（
7
2
）
=21
种，
选
A
●
△
●
△
●
△
●
△
●
△
●
△
●
△
●
对于不满足第三个条件
---
即“每组至少一个”的情况，要先转化为标准形式，再使用插板法。
（
2
）将
8
个完全相同的球放到
3
个不同的盒子中，要求每个盒子至少放两个球，一共有多
少种方法？
A.3
B.6
C.12
D.21
楚香凝解析：先往每个盒子里提前放一个、还剩下
5
个；转化
为
5
个相同的球分到
3
个不
同的盒子，每个盒子至少一个，插板法
C
（
4
2
）
=6
种，选
B
（
3
）将
8
个完全相同的球放到
3
个不同的盒子中，一共有多少种方法？
A.15
B.28
C.36
D.45
楚香凝解析：此时因为每个盒子可以分
0
个，先让每个盒子提
供一个球给我们、分的时候
再还回去；转化为
11
个相同的球分到
3
个不同的盒子，每个盒子至少一个
，插板法
C
（
10
2
）
=45
种，选
D
此时也可以根据八个球之间
9
个空，两个板子插不同的空有
C
（
9
2
）
=36
种、插同一个空
有
C
（
9 1
）
=9
种，
36+9=45
种；
对比三种不同的考法，其实它们之间是存在密切联系的。
8
个完全相同的球放到
3
< br>个不同的盒子中，每个盒子至少放
0
个球，有
C
（
10
2
）种；
8
个完全相同的球放到
3
个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球
，有
C
（
7
2
）种；
8
个完全相同的球放到
3
个不同的盒子中
，每个盒子至少放两个球，有
C
（
4
2
）种；
这三种基本形式，要牢牢掌握。
例
1
：某单位订阅了
30
份相同的学习材料发放
给
3
个部门，每个部门至少发放
9
份材料。
问共有多少种不同的发放方法？
【国家
2010
】
A.12
B.10
C.9
D.7
楚香凝解析：
每个部分先提前分
8
份材料，
还剩下
30-
3×8=6
份；
相当于
6
份材料分给
3
个
部门，每个部门至少分
1
份，插板法
C
（
5 2
）
=10
种，选
B
例
2
：某办公室接到
15
份公文的处理任
务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每
名工作人员处理的公文份数不得少于<
/p>
3
份，
也不得多于
10
份，
则共有
（
< br>
）
种分配方式。
【广州
2
014
】
A.15
B.18
C.21
D.28
楚香凝解析：每人先分
2
份、还剩下
15-
3×2=9
份；相当于
9
份公文分给三个人，每人至少
1
份、至多
8
份，插板法
C
（
8 2
）
=28
种，选
D
例
3
：
某单位共有
10
个进修的名额分到下属科室，
每个科室至少一个名
额，
若有
36
种不同
< br>分配方案，问该单位最多有多少个科室？
【黑龙
江
2015
】
A.7
B.8
C.9
D.10
楚香凝解析：
C
（
10-1
，
n-1
）
=36
，代入
n
=8
满足，选
B
补充：若问最少有多
少个科室，因为
C
（
9 2
）
=36
，此时为
3
个科室。
<
/p>
例
4
：把
10<
/p>
个相同的球放入编号为
1
，
2
，
3
的三个盒子中，使得
每个盒子中的球数不小于
它的编号，则不同的方法有（
）种。
A.10
B.15
C.20
D.25
楚香凝解析：第二个盒子先提前放
1
个球、第三个盒子先提前
放
2
个球，还剩下
10-1-2=7<
/p>
个球；
相当于把
7
个相同的球放入三个不同的盒子，
每个盒子至少一个球，
插板
法
C
（
6 2
）
=15
种，选
B
例
5
：把
10
个相同小球放入
< br>3
个不同箱子，第一个箱子至少
1
个，第二个箱子至少
3
个，
第三个箱
子可以放空球，有几种情况？
A.15
B.28
C.36
D.66
楚香凝解析：第二个盒子先提前放
2
个球、从第三个盒子拿出
1
个球，
还剩下
10-2+1=9
个
球；相当于把
9
个相同的球放入三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，插板法
C
（
8
2
）
=28
种，选
D
例
6
：现有
9
块巧克力（其中
< br>5
块有夹心）
，若将这些巧克力分给
3
个小朋友，平均每个人
都有
3<
/p>
块，问每个小朋友都至少分得
1
块夹心巧
克力的情况有多少种？
【粉笔模考】
A.6
B.9
C.12
D.25
楚香凝解析：相当于把<
/p>
5
块夹心巧克力分给
3
< br>个人，每人至少
1
块、至多
3<
/p>
块，插板法
C
（
4 2
）
=6
种，然后再分配非夹心巧
克力使得每人恰好
3
块即可，选
A
对于插板法的基础题型来说，
最关键的一步就是把题中的条件转化成插板法的标准形式，
即
“每组至少一个”
。
★插板法技巧进阶篇
①在直接使用插
板法时，有时会出现不满足题意的情况，需要减掉。
例
6
：某单位购买了
10
台新电脑，计划分配给甲、乙、丙
3
个部门使用。已知每个部门都
需要新电脑
,
< br>且每个部门最多得到
5
台，
那么
电脑分配方法共有
（
）
种。
【广东
2
013
】
A.9
B.12
C.18
D.27
楚香凝解析：插板法
C
（
9
2
）
=36
种；然后
去掉不满足题意的情况（即有的部门多于
5
台）
：选一个部门
C
（
3
1
）
、先分
给这个部门
5
台，再把剩下的
5
台分给
3
个部门，插板
法
C
（
4 2
）
，
则不满足题意的情况有
C
（
3
1
）
×C
（
4
2
）
=18
种，
满足题意的情况有
36-18=18
种，选
< br>C
例
7
：有
3
个单位共订
300
份《人民日报》
，每个单位最少订
99
份，最多
101
份。
问一共
有多少种不同的订法？
【黑龙江
2010
】
A.4
B.5
C.6
D.7
楚香凝解析：
解法一：分类：
99+100+101
的情况有
A
（
3 3
）
=6
种，
100+100+100
的情况有一种，共
7
种，选
D
解法二：每个单位先提前分
98
份，还剩下
300-
3×98=6
份；相当于把
6
份日报分给
3
个单
位，每个单位至少分
1
份、至多分
3
份，插板法减去有单位分到
4
份
的情况，
C
（
5
2
）
-C
（
3 1
）
=7
种，选
D
②有时直接正面使用
插板法，因为需要减掉的情况比较多，可以考虑从反面入手，利用“先
全部分下去再收回
一部分”的思想。
例
3
：
四个小朋友分
17
个相同的玩具，
每人至多分
5
个，
至少分
1
个，
那么有多少种分法？
【河南招警
2011
】
A.18
B
．
19
C
．
20
D
．
21
楚
香凝解析：
每个小朋友先分
5
个、
共分了
20
个，
再
收回
20-17=3
个，
每人至少交回
0
个，
插板法
C
（
6 3
）
=20
种，选
C
例
4
：某快
问快答节目第一关设置
4
道题，选手答错任意一题则立即停止答
题。比赛规定：
第一题到第四题的答题时间分别限定在
10
、
8
、
6
、
3
秒内（选手每题的答题时间都计为整
秒且至少为
1
秒）
，
某位选手通过第一关，答题用时
24
秒，则该选手在
4
道题上的答题用
时组合有多少种：
【粉笔模考】
A.8
B.15
C.19
D.20
楚香凝解析：总的时间上限
=10+8+6+3=27
秒，相
当于从
27
秒中去掉
3
秒，每题可以去
0
秒、第四题最多去
< br>2
秒；转化为三个名额分给四道题，每道题至少分
0
个，再去掉三个名
额都分给第四题的情况，插板法，
C
（
6 3
）
-1=19
种，选
C
如果对于以上知识都已理解，可以
通过下面几道练习题进行巩固。
练
习
1
：有
3
个
单位共订
300
份《人民日报》
，每个
单位最少订
99
份，最多
102
份。问一
共有多少种不同的订法？
A.6
B.7
C.8
D.10
楚香凝解析：每个单位先提前分
98
份，还剩下
300-
3×98=6
份；相当于把
6
份日报分给
3
个单位，每个
单位至少分
1
份、至多分
4
份，插板法
C
（
5
2
）
=10
种，选
D
练习
2
：某办公室接到
15
份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如
每名工作人员处理的公文份数不得少于
2
份，也不
得多于
10
份，则共有多少种分配方式：
A.52
B.53
C.54
D.55
楚香凝解析：每人先分
1<
/p>
份、还剩下
12
份；相当于把
12
份公文分给
3
个人，
每人至少
1
份、至多
9
份，插板法
C
（
11
2
）
=55
种，去掉有人分到多于
9
份的情况（即
10+1+1
）
、
有
C
（
3 1
）
=3
种，则满足题意的情况有
5
5-3=52
种，选
A
练习
3
：某
办公室接到
18
份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作
人员处理。假如
每名工作人员处理的公文份数不得少于
3
份，也不得多于
10
份，则共有多少种分配方
式：
A.43
B.46
C.51
D.55
楚香凝解析：每人先分<
/p>
2
份、还剩下
12
份；相当于把
12
份公文分给
3
个人，每人至少
1
份、至多
8
份，插板法
C
（
11 2
）
=55
种，去
掉有人分到多于
8
份的情况：先选一个人分给
< br>他
8
份，剩下的
4
份分给
3
个人，每人至少
1
个，有
C
（
3
1
）×C（
3 2
）
< br>=9
种，则满足题
意的情况有
5
5-9=46
种，选
B
练习
4
：某
办公室接到
16
份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙、丁四名
工作人员处理。
假如每名工作人员处理的公文份数不得少于
2<
/p>
份，也不得多于
5
份，则共有多少种分配
方
式：
A.20
B.27
C.31
D.35
楚香凝解析：每人先分<
/p>
5
份、共分了
20
份，再收回
4
份，每人至少交出
0<
/p>
份、至多交出
3
份，插板法
C
（
7
3
）
=35
种，去掉有人交出
4
份的情况
C
（
4
1
）
=4
种，则满足题意的
情况有
35-4=31
种，选
C
练习
5<
/p>
：
袋中有红、
白、
黑三种颜色的球各
10
个，
从中抽出
16
个，
要求三种颜色的球都有，
有多少种不同的抽法？
A.35
B.45
C.75
D.105
楚香凝解析：
相当于
16
个名额分给三种颜色，
每种颜色至少一个名额，<
/p>
插板
C
（
15
2
）
=105
种；去掉某种颜色多于<
/p>
10
个球的情况，先选一种颜色
C
（
3
1
）
、先分给它
10
个，剩下
6
个名额再分给三种颜色，每种颜色至少一个名额，插板
C<
/p>
（
5
2
）
=10
，则满足题意的情况
有
105-
3×10=75
种，选
C
★插板法技巧之比赛得分计算
（
1
）
某社区组织
开展知识竞赛，
有
5
个家庭成功晋级决
赛的抢答环节，
抢答环节共
5
道题。<
/p>
计分方式如下：每个家庭有
10
分为基础
分；若抢答到题目，答对一题得
5
分，答错一题扣
2
分；
抢答不到题目不得分。
那么，
一个家庭在抢答环节有可能获得
（
）
种不同的分数。
< br>【广东
2013
】
A.18
B.21
C.25
D.36
楚香凝解析：有没有基础分并不影响得分的情况数；相当于把
5
道题分给答对、答错、不
答三个箱子，每个箱子至少分
0
道题，插板法
C
（
7 2
）
=21
种，选
B
通过分类可以看的更加清楚，答对一道和答错一道相差
5+2=7
分；
①抢到
0
道时，得分只有一种，即基础分
10
分；
②抢到
1
道时，得分有两种，答错为
8
分、答对为
15
分；
③抢到
2
道时，得分有三种，分别是
6
、
13
、
20
；
④抢到
3
道时，得分有四种，分别是
4
、
11
、
18
、
25
；
⑤抢到
4
道时，得分有五种，分别是
2
< br>、
9
、
16
、
23
、
30
；
⑥抢到
5
道时，得分有六种，分别是
0
、
7
、
14
、
21
、
28
、
35
；
共
1+2
+3+4+5+6=21
种，选
B
（
2
）某次数学竞赛共有
10
道选择题，评分办
法是答对一道得
4
分，答错一道扣
1<
/p>
分，不
答得
0
分
。设这次竞赛最多有
N
种可能的成绩，则
N
应等于多少？
【深圳
2008
】
A.45
B.47
C.49
D.51
楚香凝解析：相当于把
10
道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分
0
道题，
插板法
C
（<
/p>
12
2
）<
/p>
=66
种，
但是注意此时有些情况的得分
是重复的，
出现重复的原因是
4×1+
（
-1
）×4=0，即答对一道
+
答错四道
=
不答五道
=0
分。如果先拿出
5
道题、这五道
题共得了
0
分、而得到
0
分的情况有两种，所以在对剩余的五道题进行插板分配时
C
< br>（
7 2
）
=21
，这
21
种情况出现的得分跟前五道题的
0
分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一
次，所以满足题意的情况数有
66-21=45
种，选
A
也可以结合一个具体的得分进行说明，比如
8
这个得分，8=4×2=4×3+（
-1
）×4，有两种可
能：
（
1<
/p>
）答对两道、不答八道，
（
2
）答对三道、答错四道、不答三道；两种可能性进行对
比，消掉相同部分（
答对两道、不答三道）后，
（
1
）不答
五道，
（
2
）答对一道、答错四道。<
/p>
这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，
剩下的部
分都是不答五道
=
答对一道
+
答错四道，
即如果先拿
出五道题，
对剩下五道题进行插板，
这
C
（
7 2
）
=21
种情况都会出现重复、需要减掉。
（
3
）某测验包含
10
道选择题，评分标准为答对得
3
分，答错扣
< br>1
分，不答得
0
分，且分
数可以为负数。如所有参加测验的人得分都不相同，问最多有多少名测验对象？
【浙江
B2018
】
A.38
B.39
C.40
D.41
楚香凝解析：相当于把
10
道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分
0
道题，
插板法
C
（<
/p>
12
2
）<
/p>
=66
种，
但是注意此时有些情况的得分
是重复的，
出现重复的原因是
3×1+
（
-1
）×3=0，即答对一道
+
答错三道
=
不答四道
=0
分。如果先拿出
4
道题、这四道
题共得了
0
分、而得到
0
分的情况有两种，所以在对剩余的六道题进行插板分配时
C
< br>（
8 2
）
=28
，这
28
种情况出现的得分跟前四道题的
0
分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一
次，所以满足题意的情况数有
66-28=38
种，选
A
也可以结合一个具体的得分进行说明，比如
15
这个得分，15=3×5=3×6+（
-1
）×3，有两种
可能：
（
1
）答对五道、不答五道，
（
2
）答对六道、答错三道、不答一道；两种可能性进行
对比，消掉相同部
分（答对五道、不答一道）后，
（
1
）
不答四道，
（
2
）答对一道、答错三<
/p>
道。这其实就是出现重复的根源，或者说，对于任何一种重复得分，消掉相同部分后，剩下
的部分都是不答四道
=
答对一道
+
答错三道，
即如果先拿出四道题，
对剩下六道题进行插板，
这
C
< br>（
8 2
）
=28
种情况都会出现重复、需要减掉。
对于加分和减分不互质的情况，需要进行一步转化。
（
4
）某次
数学竞赛共有
10
道选择题，评分办法是答对一道得
4
分，答错一道扣
2
分，
不
答得
0
分。设这次竞赛最多有
N
种可能的成绩，则
N
应等于多少？
A.21
B.30
C.38
D.51
楚香凝解析：相当于把
10
道题分给答对、答错、不答三个箱子，每个箱子至少分
0
道题，
插板法
C
（<
/p>
12
2
）<
/p>
=66
种，
但是注意此时有些情况的得分
是重复的，
出现重复的原因是
4×1+
（
-2
）×2=0，即答对一道
+
答错两道
=
不答三道
=0
分。如果先拿出
3
道题、这三道
题共得了
0
分、而得到
0
分的情况有两种，所以在对剩余的七道题进行插板分配时
C
< br>（
9 2
）
=36
，这
36
种情况出现的得分跟前三道题的
0
分合起来，每种得分都被重复算了两次、需要减掉一
次，所以满足题意的情况数有
66-36=30
种，选
B
（
5
）某次数学竞赛共有
10
道选择题，评分办法是回答完全正确得
5
分，不完全正确得
3
分，完全错误得
0
分。设这次竞赛最多有
N
种
可能的成绩，则
N
应等于多少？
A.30
B.38
C.45
D.60
楚香凝解析：先做一步转化，使之转化为标准型。鸡
兔同笼思想：假设初始为
30
分，相当
于
10
道题全部不完全正确，在此基础上，每对一道增加
2
分、每错一道减少
3
分，那么就
变成了回答完全正确得
2
分，不完全正确得
0
分，完全错误得
-
3
分。插板法
C
（
12 2
）
=66
种，去掉重复的
部分：先拿出
3+2=5
道题，剩下的五道题插板
C
（
7 2
）
=21
种，
66-21=45
种，选
C
（
6
）在一
次数学考试中，有
10
道选择题，评分办法是：答对一题得
4
分，答错一题倒扣
1
分，不答得
0
分，已知参加考试的学生中，至少有
4
人得分相同。那么，参加考试的学生
至少有多
少人？