小学数学竞赛：分解质因数(一).教师版解题技巧 培优 易错 难
南极大冒险简介-
5-3-4.
分解质因数（一）
教学目标
1.
2.
能够利用短除法分解
整数唯一分解定理：
让学生自己初步领悟
“
任何一个数字都可以表示为
△
☆
△
☆
...
△
☆
的结构，
而且
表达形式唯一
”
知识点拨
一、质因数与分解质因数
（
1
）
.
质因数：
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数
.
（
2
）<
/p>
.
互质数：
公约数只有
< br>1
的两个自然数，叫做互质数
.
（
3
）
.
分
解质因数：
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数
< br>.
例如：
30
2
3
< br>5
.
其中
2
、
3
、
5
叫做
30
的质因数
.
< br>又如
12
2
< br>
2
3
2
2
3
，
2
、
3
都叫做
12
的质因数，
其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式
.
分
解质因数往往是解数论题目的突破口，
因为这样可以帮助我们分析数字的特征
.
（
< br>4
）
.
分解质因数的方法：短除
法
2
12
例
如：
2
6
，
（
┖是短除法的符号）
所以
12
2
2
3
；
3
二、唯一分解定理
a
3
a
k
a
1
a
2
p
2
p<
/p>
3
L
p
k
任何一个大于
1
的自然数
n
都可以写成质数的连乘积，
即：
n
p
1
其中为质数，
a
1
a
2
L
L
a
k<
/p>
为自然数，并且这种表示是唯一的
.
该式
称为
n
的质因子分解式
.
例如：三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个
数
.
分析：∵
210=2×
3×
5×
7
，∴可知这
三个数是
5
、
6
和
7.
三、部分特殊数的分解
111
3
37
；
1001
7
11
13
；
11111
41
271
；
1
0001
73
137
；
1995
3
5
< br>7
19
；
1998
2
< br>3
3
3
37
；
2007
3
3
223
；
2008
2
2
2
251
；
10101
3
7
13
37
.
例题精讲
模块一、分解质因数
【例
1
】
分解质因数
20034=
。
【考点】分解质因数
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】走美杯，决
赛，
5
年级，决赛，第
2
题，
10
分
【解析】
原
式
2
3<
/p>
3
7
53
【答案】<
/p>
2
3
3
7
53
【例
2
】
三个连续自然数的乘积是
210
，求这三个数是多少？
【考点】分解质因数
【难度】
1
星
【题型】填空
【解析】
210
分解质因数：
210
2
3
5
7
，可知这三个数是
5<
/p>
、
6
和
7
。
【答案】
5
、
6
和
7
【例
3
】
两个连续奇数的乘积是
111555
，这两个奇数之和是多少
?
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
所以和为
< br>668
.
本讲
111555
分解质因数：
111555
3
3
< br>5
37
67
(
3
3
37
)
(
5
<
/p>
67
)
333
335
，
不
仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的
111
3
37
。
【答案】
668
【
巩
固
】
已
知两个自然
数的积是
35
，差是
2
，则这两个自然数的和是
_______.
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，四
年级，二试，第
8
题
【解析】
3
5=1×
35=5×
7
，
5
、
7
差
< br>2
，两个自然数的和是
5+7=12
< br>【答案】
12
元
【例
4
】
今年是
2010
年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是
。
【考点】分解质因数
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】而思杯，<
/p>
6
年级，
1
试，
第
3
题
【解析】
11
12
13
1716
，
12
< br>
13
14
< br>
2184
，所以是
2184
【答案】
2184
【例
5
】
如果两个合数互质，它们的最小
公倍数是
126
，那么，它们的和是
．
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】迎春杯，五
年级
,
初赛，第
3
题
126
2
3
2
7
，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为
9
和
14
，它们的和
为
23
．
【
解
析
】
【答案】
23
【例
6
】
4
个一
位数的乘积是
360
，并且其中只有一个是合数，那么在这
4
个数字所组成的四位数中，最大
的一个是
多少？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
将
360
分解质因数得
360
2
2
2
3
< br>3
5
，它是
< br>6
个质因数的乘积
.
因为题述的
四个数中只有一个
是合数，所有该合数必至少为
6
3
3
< br>个质因数的积，又只有
3
个
2<
/p>
相乘才能是一位数，所以这
4
个乘数分别
为
3
，
3
，<
/p>
5
，
8
，所组成
的最大四位数是
8533.
【答案】
8533
【例
7
】
已知
5
个人都属牛，它们年龄的乘积是
589225
，那么他们年龄的和为多少？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
基
本思路与上题一样，重点还是在
“1”
这个因数的使用上，所以分解因数得到
589225
1
13
25
37
49
，五个人的年龄和为
125
岁。
【答案】
125
岁
【例
8
】
如
果
两
个
自
然
数
的
和
与
差
的
积
是
23
，
那
么
这
两
个
自
然
数
的
和
除
以
这<
/p>
两
个
数
的
差
的
商
是
___________
。
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【关键词】希望杯，<
/p>
4
年级，初赛，
4
题
【解析】
根
据题意列式子如下：
a
b
a
b
23
，因为
23
分解质因数
是
1
与
23
，
所以
a
b
23,
a
b
1
，
根据和
差关系算出
a
12
< br>，
b
11
，所以这两个自然数的和除以这两个自然数的差的商为
23
，
【答案】
23
【例
9
】
2004
7
20
的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
首
先分解质因数，
2004
7
20
2
2
2
2
3
5
7
167
，其中最大的质因数是
167
，所以所要求
的三个连续自然数中必
定有
167
本身或者其倍数
.
165
3
5
1
，
166
2
83
，
168
2
2
2
3
7
，
169
13
13
，所以
165
166
167
，
166
167
168<
/p>
，
167
16
8
169
都没有
4
个
2
，不满足题意
.
说明
167
不
可
行
.
尝
试
334
167
2
，
335
5
67
，
336
2
2
2
< br>
2
3
7
，
334
335
336
< br>
2
2
2
2
2
3
5
7
67
167
，包括了
2004
7
20
中的所有质因数，所以这组
符合
题意，以此三数之和最小为
1005.
【答案】
1005
【例
10
】
A
是
乘积为
2007
的
5
< br>个自然数之和，
B
是乘积为
20
07
的
4
个自然数之和。那么
A
、
B
两数之差的
最大值是
。
【考点】分解质因数
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】华杯赛，五
年级，决赛，第
8
题，
10
分
2
007=1×
1×
3×
3×
22
3=1×
1×
1×
9×
223=1×
1×
1×
3×<
/p>
669=1×
1×
1×
< br>1×
2007
，所以
A
的可能值是
231
或
2
35
或
【解析】
675
或
2011
，又
2007=1×
3×
3×
223=1×
1×
9×
223=1×<
/p>
1×
3×
669=1×
< br>1×
1×
2007
，所以
B
的可能值是
230
或
234
或
674
或
2010
，
A
< br>、
B
两数之差的最大值为
2011
－
230=1781
。
【答案】
1781
【例
11
】
（老师可以先引入：小明一家
四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）
大毛、
二毛、
三毛、
小明四个人，
他们的年龄一个比一个大
2
岁，
他们四
个人年龄的乘积是
48384
。
问他们
四个人的年龄各是几岁？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【解析】
题
中告诉我们，
48384
是四个人年龄的乘积，只要我们把
48384
分解质因数，再按照每组相差
2
来
分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。
48384
28
33
7
(22
3)
(2
7)
24
(2
32)
12<
/p>
14
16<
/p>
18
，由此得出这四个人的年龄分别<
/p>
是
12
岁、<
/p>
14
岁、
16
岁
、
18
岁。由题意可知，这四个数是相差
2
的四个整数。它们的积是偶数，
当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为
48384
的个位
数字不是
0
，显然这四个数中，没有
个位数字是
0
的，
那么这四个数的个位数字一定是
2
、
4
、
6
、
8
。
又因为
10
4
48384
，
而
48384
20
4
，
所以可以断定，这四
个数一定是
12
、
14
、
16
、
18
。也就是说，这四个人的年龄分别是
12
岁、
14
岁、
16
岁、<
/p>
18
岁。答：这四个人的年龄分别是
12
岁、
14
岁、
16
岁、
18
岁。
【答案】
12
岁、
14
岁、
16
岁、
18
岁
【例
12
】
甲数比乙数大
5
，乙数比丙数大
5
，三个数的乘积是
6384
，求这三个数？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】解答
【
解
析
】
将
6384
分解质因数，
6384
2
2
2
2
3
7
< br>
19
，则其中必有一个数是
1
9
或
19
的倍数；经试算，
恰好
14
19
24
6384
，
所以这三个数即为
14
< br>，
19
5
14
2
7
，
19
5
24
2
2
2
3
，
19
，
24
.
一般象这种类型的题，
都是从最大的那个质因数去分析
< br>.
如果这道题里
19
不符合要求
，
下一个该考虑
38
，再下一个该考虑
57
，依此类推．
【答案】
14
，
19
，
24
【例
13
】
四个连续自然数的乘积是
3024
，这四个自然数中最大的一个是多少？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】填空
【
解
析
】
分
解质因数
3024
2
4
3
3
7
，考虑其中最大的质因数<
/p>
7
，说明这四个自然数中必定有一个是
7
的倍
数
.
若为
7
，因
3024
不含有质因数
5
，那么这四个自然数可能是
< br>6
、
7
、
8
、
9
或
7
、
8
、
9
、
10(10
仍含
有
5
，不行
)
，经检验
6
、
7
、
8
、
9
恰
符合
.
【答案】
9
【例
14
】
植树节到了，某市举行大型植树活动，共有
1430
人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每
队人数在
< br>100
至
200
之间，则有分法
（
）
。
A
、
3
种
B
、
7
种
C
、
11
种
D
、
13
种
【考点】分解质因数
【难度】
3
星
【题型】选择
【关键词】华杯赛，五
年级，初赛，第
4
题
【解析】
只
要找到
100
到
200
之间可以整除
1430
的数即可。
1430
可分解成
2
，
5
，
11
，
13
的乘积，所以可以
按每组
110
人，
130
人，
143
人分组，共有
3
个方
案。所以答案为
A
【答案】
A
【例
15
】
a
、
b
、
c
、
d
、
e
这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：
3
，
6
，
15
，
18
，
20
，
50
，
60
，
100
，
120
，
300.
那
么，这五个数中从小大大排列第
2
个数的平方是
___________
。
A
．
1
B.
3
C.
5
D.
10
【考点】分解质因数
【难度】
5
星
【题型】选择
【关键词】迎春杯，中
年级，复试，
2
题
< br>5
【
解
析
】
D
，
解
：设
a
b
c
d
e
。由
ab
3,
ac
6
推知
c
2
b
；由
ce
120,
de
30
0
推知
d
c
5
b
。
2
bc
b
2
b
2
b
2
，
bd
b
< br>5
b
5
b
2
，
cd
2
b
5<
/p>
b
10
b
2
。在
15,18,20,50,60,1
00
中，满足
2:5:10
的
三个数是
20,50,100,
所以
b
2
100
10
10
。
【答案】
D
【例
16
】
a
、
b
、
c
、
d
、
e
这五个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：
0.3
、
0.6
、<
/p>
1.5
、
1.8
、
2
、
5
、<
/p>
6
、
10
、
12
、
30
。将这
五个数从小到大排成一行，那么，左起第
2
个数是
_________
。
（
A
）
0.3
（
B
）
0.5
（
C
）
1
（
D
）
1.5
【考点】分解质因数
【难度】
5
星
【题型】选择
【关键词】迎春杯，高
年级，复试，
2
题
< br>【
解
析
】
C
，
设
a
b
c
d
e
。由题意知，
ab
0
.3
，
ac
0.6
，推知
c
2
b
；由
ce
12
，
de
30
，推知
30
5
d
c
c
5
b
，
bc
b
2
b
2
b
2
，
bd
b
5
b
5
b
2
，
cd
< br>
2
b
5
b
10
b
2
，在
1.5,1.8,2,5,6
,10
中，
12
2
满足
2:5:10
的三个数是
2,
5,10
，所以
10
b
2
10
，
< br>b
2
1
，
b
1
。
【答案】
1
【例
17
】
将
1
～
9
九个自然数分成三组，
每组三个数
.
第一组三个数的乘积是
48
，
第二组三个数的乘积是
45
，
第三组三个数字之和最大是多少？
【考点】分解质因数
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
分
解质因数
45
3
3
5
，
48
2
2
2
2
3
，可知
45
只能是
1
，<
/p>
5
，
9
的乘积，
而
48
可能是
2
，
4
，
6
或
2
，
3
，
8
或
1
，
6
，
8(
舍去
)
，
则第三组的三个数可能是
< br>3
，
7
，
8
或
4
，
6
，
7
，
其中和
最大的是
3
7
8
18
.
【答案】
18
【例
18
】
一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是
1998<
/p>
立方厘米，那么它的长、宽、高的和的
最小可能值是多少厘米
?
【考点】分解质因数
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
我
们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如
3
个数的积为
18
，则
三个
数为
2
、
3
、
3
时和最小，为
8
．
1998=2×
3×
3×
3×
37
，
37
是质数，不能再分解，所以
2×
3×
3×
3
对
应的两个数
应越接近越好．有
2×
3×
3×
3=6×
9
时，即
1
998=6×
9×
37
时，这三个自然
数最接近．它们的
和为
6+9+37=52(
< br>厘米
)
．
【答案】
52
【例
19
】
一个长方体的长、
宽、
高是连续的
3
个自然数，
它的体积是
< br>39270
立方厘米，
那么这个长方体的表
面积是多少平方厘米
?
【考点】分解质因数
【难度】
3
星
【题型】解答