构造对偶式的八种途径
端午出游-
构造对偶式的八种途径
在数学解题过程中
,
合理地构造形式相似，
具有某种对称关系
的一对对偶关系式，
并通过对这
对对偶关系式进行适当的和
,
差
,
积等运算，
往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一．
和差对偶
对于表达式
u
(
x
)
v
(
x
)
，我们可构造表达式
u
(
x
)
v
(
x
)
作为它的对偶关系式。
例１若
0
2
，且
3sin
4cos
5
，求
tan
的值。
解析：构造对偶式：
3si
n
4cos
y
5
y
sin
3sin
4c
os
5
6
则
,
得
5
y
3sin
4cos
y
cos
8
2
2
再由
sin
cos
1
，得：
y
7
3
,
tan
。
5
4
2
2
点评：
这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培
养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：
< br>a
,
b
,
c
,
d
R
，且
a
b<
/p>
c
d
1
，
求证：
(
a
b
)
4
(
a
c
)
4
(
a
d
)
4<
/p>
(
b
c
)
4
(
b
d
)
4
(
c
d
)
4
6
。
解：
2
2<
/p>
设
M
(
a
b
)
4
(
a
c
)
4
(
a
d
)
4
(<
/p>
b
c
)
4
(
b
d
)
4
(
c
d
)
4
,构造对偶式
:
N
(
< br>a
b
)
(
a
c
)
(
a
d
)
(
b
c
)
(
b
< br>
d
)
(
c
d
)
则有：
4
4
4
4
4
4
M
N
6(
a
4
b
4
c
4
d
4
2
a
2
b
2
2<
/p>
a
2
c
2
2
a
2
d
2
2
b
2
c
2
2
b
2
d
2
2
c<
/p>
2
d
2
)
6(
a
2
b
2
c
2
< br>d
2
)
2
6
又
N
0
，故
M
<
/p>
6
，即原不等式成立。
例３解方程：
x
2
8
x
21
x
2
8
x
21
< br>
10
解：构造对偶式：
x
2
8
x
21
x
2
8
x
21
< br>a
，再由原方程联立可解得：
10
a
2
x
8
x
21
,(1)
2
10
a
x
2
8
x
21
,(2)
2
2
2
那么
(1)
(2)
得：
2
x
42
2
1
(100
a
2
),(3)<
/p>
2
1
8
x
，
5
1
64
2
2
x
)
，
代入（３）中得：
2
x
42
(1
00
2
25
10
9
2
x
4
，
解得：
x
。
整理得：
3
25
(1)
2
(2)
2
得
：
16
x
1
0
a
，即
a
二．
互倒对偶
互倒对偶是指针对式子的结
构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４
若
x
,
y
,<
/p>
z
(0,1)
，求证：
1
1
1
3
。
1
x
y
1
y
z
1
z
x
< br>解：设
M
1
< br>1
1
,
1
x
y
1
y<
/p>
z
1
z
x
构造对偶式：
N
(1
<
/p>
x
y
)
(1
y
z
)
(1
z
x
)
，则
< br>1
1
1
1
(1
x
y
)
<
/p>
(1
y
z
)
(1
z
x
)
1
x
y
1
y
z
1
z
<
/p>
x
1
y
z
2
2
2
6
M
N
而
N
3
，故
M
3
，即
1
1<
/p>
1
3
。
1
x
y
1
y
z
1
z
x
例５设
a
1
,
a
2
,<
/p>
a
3
,
,
a
n
为互不相等的
正整数，
求证：
a
< br>1
a
n
a
2
a
3
1
1
1
1
。
2
2
< br>2
2
3
n
2
3
n
a
n
a
2
a
3
1
1
1
，构造对偶式：
N
2
2
3
2
n
2
a
1
a
< br>2
a
n
解：设Ｍ＝
a
1
则
< br>M
N
(
a
1
a
n
1
a
1
1
1
1
1
)
(
2
)
< br>
(
)
1
a
1
2
3
n
2
2
a
2
n
2
a
n
1
< br>1
1
，
因
此
2
3
n
又
a
1
,
a
2
,
a
3
,
,
< br>a
n
为
互
不
相
等
的
正
整
数
，
所
以
N
1
M
1
1
1
1
< br>
。
2
3
n
点
评：
解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对
难点的突破，以达化解问题这目的。
例６已知对任意
x
(
,0)
(0,
)
总有
f
(
x
)
2
f
(
)
< br>
x
0
，
求函数
y
f
(
x
)
的
解析
式。
1
x
2 <
/p>
解析：因
f
(
x
)
2
f
(
)
x
0
①
1
x
1
1
1
替代上式中的
x
，构造对偶式：
f
(
)
2
f
(
x
)
0
②
x
x
x
1
2
由①－②×２得：
f
(
x
)
x
<
/p>
4
f
(
)
0
x
x
用
x
2
2
x
故
f
(
x
)
。
3
x
三．
共轭对偶
共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。
例７已知
z
c
，解方程：
z
z
3
iz
1
3
i
。
解析：由
z
z
3<
/p>
iz
1
3
i
①
构造对偶式：
z
z
3
iz
1
3
i
②
由①－
②得
z
z
2
，代入②得
(
z
1)(
z
1
3
i
)
0
，
故
z
1
或
z
1
< br>
3
i
。
例８若
z
c
，已知
z
1
且
z
1
，证明：
z
1
为纯虚数。
z
1
解：设Ｍ＝
z
1
z
1
z
1
z
1
)<
/p>
，则
M
(
，构造对偶式：Ｎ＝
< br>z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
2
＋
＝０（因为
z
z
z
1
）
z
1
< br>z
1
则Ｍ＋Ｎ＝
z
1
< br>0
（因为
z
< br>
1
）
z
1
z
1
∴
为纯虚数。
z
1
又
例９已知：
a
0,
b
0
，且
a
b
1
，求证：
2
a
1
2<
/p>
b
1
2
2
。
证明：设Ｍ＝
2
a
1
2
b
1
，构造对偶式：Ｎ＝
2
a
1
2
b
1
∵
M
M
N
4(
a
b
)
4
8
∴
M
2
2
，即原不等式成立。
四．
倒序对偶
倒序对偶是指针对式子的结
构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例１０求和
：
S
1
C<
/p>
n
2
C
n
3
C
n
4
C
n
nC
n
1
2
3
4
n
2
2
2
3 <
/p>
k
n
k
0
解析：观察和式联想到
C
< br>n
，
C
n
,0
k
n
,
n
<
/p>
N
*
，故首先在和式右边添上一项
0
C
n
0
1
2
n
则
S
0
C
n
①
1
C
n
2
C
n
nC
n
0
1
2
0
构造对偶式：
S
nC
n
②
(
n
1)
C
n
(
n
2)
C
n
0
< br>C
n
0
1
2
n
即②亦为：
< br>S
0
C
n
③
1
C
n
2
C
n
nC
n
0
1
n
1
n
由①＋③得：
nC
n
nC
n
< br>
nC
n
nC
n
0
1
n
1
n
0
1
n
1
n
∴
2
S
nC
n
nC
n
nC
n
nC
n
n
< br>(
C
n
C
n
C
n
C
n
)
∴
2
S
n
2
∴
< br>S
n
2
点评：
利用现成的对偶式，使问
题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”
，
岂
不妙哉！
例１１正项等比数列
{
a
n
}
中，
T
a
1
a
2
a
3
a
n
,
S
a
1
<
/p>
a
2
a
3
a
n
试用Ｓ，
Ｔ表
示
Q
n
n
1
1
1
。∵∴
a
1
a
2
a
n
解析：传统解法都用
a
1
,
q
表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过
a
< br>1
和
q
找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关
系，这种解
法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论
q
1
和
q
1
两种情形，如
此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨
采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
< br>由题意知：
T
a
1
a
2
< br>
a
3
a
n
①
构造倒序对偶式：
T
a
n
a
n
1
a<
/p>
n
2
a
1
②
由①×
②得：
T
(
a
1
a
n<
/p>
)
(
a
2
a
n
1
)
(
a
n
a
1
)
(
a
1<
/p>
a
n
)
，即
T
(
a
1
a
n
)
再来看：
Q
2
2
n
2
1
1
1
③
a
1
a
2
a
n
1
1
1
④
a
n
a
n
1
a
1
构造倒序对偶式：
Q
即③＋④得：
< br>2
Q
(
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
，
< br>a
1
a
n
a
2
a
n
2
a
n
a
1
4