自然数的平方和
一年级语文教学案例-
1.
1²
+2²
+...+n²
=n(n+1)(2n
+1)/6
用数学归纳法：
n=1
时，
1=1*2*3/6=1
成立
假设
n=k
时也
成立，那么
k(k+1)(2k+1)/6=1²
+2²
+...+k²
那么
n=k+1
1²
+2²
+...+k²
+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)
+6(k+1)²
/6
k(k+1)
(2k+1)+6(k+1)²
=(k+1)(2k²
+k+6
k+6)=(k+1)*(2k²
+7k+6)=(k+1)(k+
2)(2k+3)
=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)
所以
1²
+2²
+
...+k²
+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6
+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)²
/6
=
（
k
+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6
即
n=
k+1
时，也成立
所以
1²
+2²
+...+n²
=n(n+1)
(2n+1)/6
2.
前面在“求连续自然数立方
和的公式”一文中，介绍了用列表法推导
公式的过程。这种方法浅显易懂，的确有它的优越性。在“有趣的图
形数
”中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式
这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优
点。
首先，算出从
1
开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表：
用数学归纳法很容易证明等式的正
确性
，
这样就轻而易举地推出了求连续自
然数平方和的公式。
这个妙不可言的推导过程是数学家波利
亚的杰作
，
关键之处是他运用了“猜
想
—证明”的思路
。
联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆
假设，
小心求
证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追
求真理的道路是相通的。
这件事对我们教师有什么启示吗？有
的，那就是：切莫轻视了对学生观察、
类比和猜想能力的培养！这往往是培育创新思维的
有效途径。
3.
在前面“有趣的图形数”中
，
曾经用图形法推出了
求连续自然数立方
和的公式
：
这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。