数列自然数平方求和
粤菜的代表菜-
1^2+2^2+3^2+
……
+n^2=n(
n+1)(2n+1)/6
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*
(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...
+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^
2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n )+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/
2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+
……
+n^3=[n
(n+1)/2]^2
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
.
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4
*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3
+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)
^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
1
平方和公式
编辑
讨论
平方和
公式
[1]
是一个比较常用
公式
，
用于求
连续自然数
的
平方和
（
Sum of square
s
）
，
其和又可称为
< br>四角锥数
，
或
金字塔数
（
square pyramidal number
< br>）
也就是正方形数的级数。
此公式是冯哈伯公式
(Faulhaber's
formula
[2]
)
的一个特例。
中文名
平方和公式
外文名
Sum
of
Squares
适用范围
数学
类
别
公式
目录
1.
2.
1
公式
2
证明方法
公式
编辑
利用此公式可求得前
n
项平方和为：
n
前
n
项平方
和
1
1
6
n
前
n
项平
方和
91
1
1
2
5
7
140
1
2
650
n
前
n
项平
方和
506
1
6
1
7
1785
n
前
n
项平方
和
1496
2
1
2
2
3795
n
前
n
项平
方和
3311
2
3
14
8
204
1
3
819
1
8
2109
2
3
4324
4
30
9
285
1
4
1015
1
9
2470
2
4
4900
5
55
1
0
385
1
5
1240
2
0
2870
2
5
5525
n=26
，
27
，
28
，
29......
时<
/p>
前
n
项平方和
和为：
6201, 6930, 7714, 8555, 9455,
10416, 11440,
12529, 13685, 14910, 16206, 17575, 19019, 20540,
22140,
23821,
25585, 27434, 29370……
[3]
证明方法
编辑
证法一
（归纳猜想法）：
1
、
时，
2
、
时，
3
、设
时，公式成立，即
则当
时，
3