导数 极值 最值问题
小腿抽筋的原因-
导数在研究函数中的应用
知识梳理
一
函数的单调性
1
、利用导数的符号判断函数的单调性：
一般地，
设函数
y
f
(
x
)
在某个区间可导
，
如果
f
'
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为增函数；
如果<
/p>
f
'
(
x
)
0
，
则
f
(
x
)
为减函数；如果在某区间内恒有
f
< br>'
(
x
)
0
，则
f
(
x
)
为常数；
2
、
对于可导函数
y
f
(
x
)
来说，
f
'
(
x
)
0
是
f
(<
/p>
x
)
在某个区间上为增函数的充分非必要
条件，
f
'
(
x
)
0
是<
/p>
f
(
x
)
在某个区间上为减函数的充分非必要条件。
3
、利用导数判断函数单调性的步骤：
①求函数
f
(
x
)
的导数
f
′
(
x
).
②令
f
′
(
x
)
＞
0
解不等
式，得
x
的范围就是递增区间
.
③令
f
′
(
x
)
＜
0
解不等式，得
x
的范围，就是递减区间
.
4
、已知函数的单调性求参数的取值范围是一
种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单
调递增，则
f
'
(
x
)
0
；若函数单调递减，则
f
'
(
x
)
0
”来求解，注意
此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
二
函数极大值、极小值
1
、极大值：如果
x
c
是函数
f(x)
在某个开区间
(
u
,
v
< br>)
上的最大值点，即不等式
f
(
c
)
f
(
x
)
对一切
x
(
u
,
v
)
成立，
就说函数
f(x)
在
x
c
处取到
极大值
f
(
c
)
，
并称
c
为
函数
f(x)
的一个极大值点，
f
(
c
)
为
f(x)
的一个极大值。
< br>2
、极小值：如果
x
c
是函数
f(x)
在某
个开区间
(
u
,
v
)
上的最小值点，即不等式
f
(
c
)
f
(
x
)
对一切
x
(
u
,
v
< br>)
成立，
就说函数
f(x)
在
x
c
处取到极小值
f
(
c<
/p>
)
，
并称
c
为函数
f(x)
的一个极小值点，
f
(
c
)
为
f(x)
的一个极小值。
3
、极大值与极小值统称为极值
，极大值点与极小值点统称为极值点；若
f
(
c
)
<
/p>
0
，则
x
c
叫做函数
f(x)
的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。
4
、
判别
f
(
c
)
是极大、
极小值的方法
:
若
x
0
满足
f
(
c
)
0
，
且在
c
的两侧
f
(
x
)
的导数异号，
则
c
是
f
(
x
)
的极值点，
f
(
c
)
是极值，
并且如果
f
(
x
)
在
c
两侧满足
“左正右负”
，
则
c<
/p>
是
f
(
x
)
的极大值点，
f
(
c
)
是极大值；
如果
f
(
x
)
在
c
两侧
满足“左负右正”
，则
c
是
f
(
x
)
的极小值点，
f
(
x
0
)
是极小值
5
、求可导函数
f
(
x
)
的极值的步骤
:
(1)
确定函数的定义区间，求导数
< br>f
′
(
x
)
(2)
求
f(x)
的驻点，即求方程
f
′
(
x
)=0
的根<
/p>
(3)
用函数的导数为
0
的点，
顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，<
/p>
并列成表格
.
检查
f
′
(
x
)
在方程根
左右的值的符号，如果左正右负，那么
f
(
x
)
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么
f
(
x
)
在这个根处取得
极
小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么
f
(
x
)
在这个根处无极值
三
函数的最大值和最小值
在区间
[a
，
b]
上连续的
函数
f
(
x
)
在
[a
，
b]
上必有最大值与最小值。求闭区间
[
a
,
b
]
上连续
的函数
f
(
x
)
的
最大值和最小值的思想方法和步骤：
（
1
）求函数ƒ
< br>(
x
)
在
(a
，
b)
内的极值；
（
2
）求函数ƒ
(
x
)
在区间端点的值
ƒ
(a)
、ƒ
(b)
< br>；
（
3
）将函数ƒ
(
x
< br>)
的各极值与ƒ
(a)
、ƒ
(b)
比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
四
三
次
函
数
y
< br>ax
3
bx
< br>2
cx
d
(
a
0
)
有
极
值<
/p>
导
函
数
f
(
x
)
3
ax
2
2
bx
c
的
判
别
式
4
b
2
12
ac
>0
3.3.1
利用导数研究函数的单调性
典例剖析
:
题型一
求函数的单调区间
例
1
已知函数
y
=
x
+
1
，试讨论出此函数的
单调区间
.
x
分析：讨论函数的单调
区间，可以利用导数来判断
2
1
1
x
1
(
x
1
)(
x
1
)
解答：
y
′
=(
x
+
< br>)
′
=1
－
2
=
2
x
x
x
2
x<
/p>
令
(
x
1
)(
x
1
)
＞
0.
解得
x
＞<
/p>
1
或
x
＜－
1.
x
2
1
的单调增区间是
(
－∞，－
1)
和
(1
，
+
∞
).
x
∴
y
=
x
+
令
(
x
1
)(
x
1
)
＜
0
，解得－
1
＜
x<
/p>
＜
0
或
0
＜
x
＜
1.
2
x
1
的单调减区间
是
(
－
1
，<
/p>
0)
和
(0
，<
/p>
1)
x
∴
y
=
x
+
点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数
f
(
x
)
的导数
f
′
(
x
).
，然后解不
等式
f
′
(
x
)
＞
0
，得递增区间，解不等式<
/p>
f
′
(
x
)
＜
0
，得递减区间
.
题型二
已知函数的单调性，求参数的取值范围
例
2.
若函
数
f
(
x
)<
/p>
1
3
1
2
x
ax
(
a
1)
x
1
在区间
(1,
4)
内为减函数
，在区间
(6,
)
上为增函数，试求实数
3
2
'
'
a
的取值范围．
分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则
< br>f
(
x
)
0
；若函数单调递减，则
f
(
x
)
0
”
来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否
则漏解．
解答：函数求导得
f
(
x
)
x
ax
a
1
< br>
(
x
1)[
x
(
a
1)]
，
令
f
(
x
)
0
得
x
1
或
x
a
1
，
< br>因为函数在区间
(1,
4)
内为
减函数，所以当
x
(1,4)
时，
f
(
x
)
0
又因为在函数区间
(6,
)
上为增函数，所以当
x
(6,
)
时，
f
(
x
)
0
，
∴
4
< br>
a
1
6
，
∴
5
a
7
．
即实数
a
的取值范围
[5
，
7]
点评：已知单调区间求参数
a
的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。
备选题
1
例
3
：
已知函数
f
（
x
）
=2
ax
－
2
,<
/p>
x
∈（
0,1
］
，若
f
（
x<
/p>
）在
x
∈（
0,
1
］上是增函数，求
a
的取值范围；<
/p>
x
2
解
:
由已知可得
f
′（
x
）
=2
a<
/p>
+
1.
2
1<
/p>
,
∵
f
（
x
）在（
0,1
）上
是增函数，∴
f
′（
x
）＞
0,
即
a
＞－
,
x
∈（
0,1
］
.
∴
a
＞－
x
3
< br>x
3
2
对
x
∈（
0,1
）也有
f
′（
x
）＞
0
，满足
f
（
x
）在（
0,1
］上为增函数
，
x
3
当<
/p>
a
=
－
1
时，
f
′（
x
）
=
－
2+
∴
a
≥－
1.
评述
:
求参数的取值范围，凡涉及函数的单调
性、最值问题时，用导数的知识解决较简单
.
点击双基
1.
函数
y=x+cosx
在（
-
，
+
）内是（
）
A
增函数
B
减函数
C
有增有减
D
不能确定
解：因为
< br>y
'
=1-sinx
0
恒成立，故选
A
2
.
．函数
f
(
x
)
x
3<
/p>
2
x
a
的单调减区间是
（
D
）
A
．
（
,
2
)
B.
(
2
,
)
C
．
，
(
<
/p>
,
0
)
D.
以上都不对。
2
3
解：
f
'
（
x
）
=3
x
2
+2>0
恒成立，不存在单调减区间，故选
D
x
(
a
<
/p>
b
1
)
,
则
( )
x
e
3.
函数
f
(
x
)
A
．
f
(
a
)
f
(
b
)<
/p>
B.
f
(
a
)
f
(
b
)
C
．
f
(
< br>a
)
f
(
b
)
D.
f
(
a
),<
/p>
f
(
b
)
大小关系不能确定
e
x
xe
x
x
1
解：
f
（
x
）
=-<
/p>
=
x
<0
时
x<1,
所以
(
,
1
)
为减区间，又
a
b
1
，故选
C
2
x
e
e
'
4.
函数
f
(
x
)
5
x
2sin
x
(
x
(0,
))
的单调增区间是
'
解：
f<
/p>
（
x
）
=1+2
cosx>0,
所以
cosx>-
1<
/p>
2
;
单调增区间为
(0,
)
2
3
5.<
/p>
如果函数
y=
1
2
x
+lnx-ax
在定义域为增函数
，则
a
的取值范围是
2
'
解：定义域为（
0<
/p>
，
)
，
y
=x+
a
2
3.3.2
函数的极大值和极小值
第一课时
典例剖析
题型一
函数极值的求法
1
< br>1
1
-a
0,
即
a
x+
在定义域（
0
，
)
上恒成立，又
x+
最小值为
2,
所以
x
x
x
例
1
已知
f
(
x
)
x
ax
bx
c
在
x
1
与
x
< br>
3
2
2
时，都取得极值．
3
(1)
求
a
,
b
的值；
(2)
若
f
(
1)
3<
/p>
，求
f
(
x
)
的单调区间和极值；
< br>2
分析：可导函数在
x
0
点取到极值时，
f
(
x
0
)
0<
/p>
；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。
< br>解：
（
1
）
f
′(
x
)
＝
3
x
2
＋
2
a x
＋
b
＝
0
．
2
由题设，
x<
/p>
＝
1
，
x
＝－
3
为
f
′(
x
)
＝
0
的解．
2
2
b
2
1
－
3
a
＝
1
－
3
，
3
＝
1
×<
/p>
(
－
3
)
．∴
a
＝－
2
，
b
＝－
2
．
1
1
3
（
2
）
f
(
x
)
＝
x
3
－
2
x
2
－
2
x
＋
c
，由
f
(
－
1)
＝－
1
－
2
＋
2
＋
c
＝
2
，
c
＝
1
．
1
∴
f
(<
/p>
x
)
＝
x
3
－
2
x
2
－
2
x
＋
1
．
x
f
′(
x
)
2
（－∞，－
3
）
＋
2
（
－
3
，
1
）<
/p>
－
（
1
，＋∞）
＋
2
2
∴
f
(
x
)
的递增区间为（－∞，－
3
）
，及（
1
，＋∞）
，递减区间为（－
3
，
1
）
．
2<
/p>
2
49
1
当
x
＝－
3
时，
f
(
x
)
有极大值，
f
(
－
3
)
＝
27<
/p>
；当
x
＝
1
时，
f
(
x
)
有极小值，
f
(1)
＝－
2
．
评析：列表求单调区间和极值不容易出错。
题型二
3
2
例
2 <
/p>
设函数
f
(
x<
/p>
)
x
ax
bx
c
的图象如图所示，且与
y
< br>
0
在原点相切，若函数的极小值为
4
，
（
1
）求
a
,
b
,
c
的值；
（
2
）求函数的递减区间．
分析
;
从图上可得
x
0
是函数的极大值点，
< br>函数的图象经过
（
0
，
0
）
于（
0
，
0
）点，可先求出
a<
/p>
,
b
,
c
的值。
解：
（
1
）函数的图象经过（
0
< br>，
0
）点
∴
c=0
，
又图象与
x
轴相切于（
0
，
0
）点，
y
'
=3
x
2
+2
ax
+
b
∴
0=3
×
0
2
+2
< br>a
×
0+
b
，得
b
=0
∴
< br>y
=
x
3
+
ax
2
，
y
'
=3
x
2
+2
ax
当
x
点且图
象与
x
轴相切
2
2
a
时，
y
'
0
，当
x
a
时，<
/p>
y
'
0
3
3
当
x
=
2
a
时，函数有极小值－
4
3
∴
(
2
3
2
a
a
)
a
(
)
2
< br>4
，得
a
=
－
3
3
3
（
2
）
y
'
=3
x
2
－<
/p>
6
x
＜
0
，解得
0
＜
x
＜
2
∴
递减区间是（
0
，
2<
/p>
）
评析：求出
a
,
b
,
c<
/p>
的值后，利用导数就可求出单调区间。
备选题
例
3
：已知函数
f
(
x
)
1
+
lnx,
求
f
(
< br>x
)
的极值
.
2
x
2
1
x
2
2
'
解
;
因为
f
(x)=-
3
,
令
f
(x)=0
，则
x=
2
3
x
< br>x
x
'
注意函数定义域为（
0
，
）
，所以驻点是
x=
2
,
'
当
x<
/p>
(0,
2
)<
/p>
时
f
(x)<0,
f
(
x
)
为
减函数，
'
当
x
(
2
，
+
)
时
f
(x)>0,
f
(
x
)
为增函数，
所以
x=
2
是极小值点，
f
(
x
)
的极小值为
f(
2
)=
评析：注意函数的定义域
点击双基
1
、函数
y=1+3x-x
有
（
）
3
1
(1+ln2),
没有极大值。
2
A
．极大值
1
，极小值
-1<
/p>
，
B
。极小值
-2
，极大值
2
C
．极大值
3
，极小值
–
2
，
D
。极小值
-1
，极大值
3
解：
y
'
=-3
x
+3,
令
y
'
=0
得
x= -1
或
x=1
，易得
x= -1
是极小值点，
x=1.
是极大值点，故选
D
，
2
、函数
y=3+mx+x
有极值的充要条件是
(
)
A
m>0
B
m<0
C m
0
D,
m
0
解：
y
'
=3
x
+
m=0
则方程要有两解，函数
y=3+mx+x
才有极值。所以
m<0
，故选
B
3
、
f
(x)
在区间（
a,b
）的图像如右<
/p>
则
f(x)
在区间（
a,b
）内有极大值点（
）
A
2
个
B
。
3
个
C 4
个
D
1
个
a
A
解
:A,B,D
三点左右导数异号，是极值点，其中
A
，
< br>D
是极大值点
B
是极小值点。注意
C
不是极值点，故选
A
4
、
y=x+
B
'
2
3
2
3
Y
0
C
D
x
b
4
的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿
x
4
=0
，则
x=-2
或
x=2<
/p>
，
x=-2
是
极大值点
,
所以极大值为
-4
，
x=2
是极小值点，所以极小值为
4.
x
2
2
解：
y
=1-
'
5
、
若函数
f
(
x
)
=
x
(
x
-
< br>c
)
在
x
2
处有极大值，则常数
c
的值为
_________
；
< br>
c
2
时取极小值
,
c
< br>6
时取极大值，
解
;
f
(
x
)
3
x
4
cx
c
,
f
(2)
c
8
c
12
0,
c
2,
或
6<
/p>
，
故常数
c
的<
/p>
'
2
2
'
2
值为
6
典例剖析
:
题型一
函数最大值和最小值的求法
例
1
(1)
求
f
（
x
）
＝
x
3
－
3
x
2
－
9 <
/p>
x
＋
5
在
[
－
4
，
4]
上的最大值和最小值．
2
3
(2)
求函数
f
(
x
)
(
x
1
)
x
在
[
1
,
1
]
上的最大值和最小值
．
2
分析：求闭区间上函数最大最小
值的方法为：①
求出导数为
0
的点和导数不存在的点，②
求出导数为
0
的点
和导数不存在的点及端点的函数值，
③
比较它们的大小。
解答：
(1)
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
6
x
－<
/p>
9
＝
3
（
x
＋
1
）
（
x
－
3
）
令
f
′
(
x
)
＝
0
得
x
1<
/p>
＝－
1
，
x
2
＝
3
∴
f
（
x
）在
x
＝－
1
处有极大值<
/p>
f
（－
1
）＝<
/p>
10
f
（
x<
/p>
）在
x
＝
3
处有极小值
f
（
3
）＝－
22
在区间端点处
f
（－
4
）＝－
71
，
f
（
4
）＝－
15
比较上述
结果得：
f
（
x
）在
[
－
4
，
4]
上的最大值为
f
（－
1
）＝
10
，最小值为
f
（－
4
）＝－
71
．
(2)
当
x
0
时，
f<
/p>
(
x
)
5
x
2
3
3
x
．由
f
(
< br>x
)
0
得，
x
2
．
x
0
为<
/p>
f
(
x
)
不存在的点．由于
5
2
3
4
1
1
f
(
1
)
2
,
f
(
)
3
2
< br>,
f
(
0
)
0
,
f
(
)
3
．所以，函数的最大值是
f
(
0
)
< br>0
,
最小值是
5
5
25
2
4
< br>f
(
1
)
2
．
点评：利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。
题型二
函数最大值和最小值的综合应用
3<
/p>
2
例
2
．已知<
/p>
f
(
x
)
ax
2
ax
b
(
a
0
)
在区间
2,1
上最大值是
5
，最小值
是－
11
，求
f
(
x
)
的解析式
.
分析：先讨论
f
(
x
)
ax
2
ax
b
在区间
2,1
上的单调性，再求最大值和最小值。
3
2
解
f
(
x
< br>)
ax
2
ax
b
,
f
(
x
)
3
ax<
/p>
4
ax
ax
(3
x
4)
'
令
f
(
x
)
=0,
得
x
1
0,
x
2
3
2
'
2
4
2,1
3
若
a
>0,
2,0
+
↗
0
0
极大
0,1
-
↘
f<
/p>
'
(
x
)
f
(
x
)
因此<
/p>
f(0)
必为最大值
,
< br>∴
f(0)=5,
得
b=5,
f
(
2)
16
a
5,
f
(1)
a
5,
f
(1)
f
(
2)
f
(
2)
16
a
5
11,
a
1
f
(
x
)
x
3<
/p>
2
x
2
5;
若
a<0,
同理可得
f(0)
为最小值
,
∴
< br>f(0)=-11,
得
b=-11,
< br>
f
(
2)
16
a
5,
f
(1)
a
5,
f
(
2)
f<
/p>
(1)
f<
/p>
(
2)
f
(
x
)
max
5,
a
1
f
(
x
)
x
3
2
x
2
11
评
析：函数的单调性要借助导数的符号，故要对
a
的符号进行讨论
。
备选题