高中数学-函数的极值与最值
狮子林图片-
函数的极值与最值
[
题型分析
·
高考展望
]
本部分内容为导数在研究函数中的一个重要应用，在高考中也是重点
考查的内容，多在解答题中的某一问中考查，要求熟练掌握函数极值与极值点的概念及判断
方法，极值和最值的关系
.
常考题型精析
题型一
利用导数求函数的极值
例
1
(
江西
)
已知函数
f
(
x
)
＝
(
x
2
＋
bx
＋
b
)·
1
－
2
x
(
b
∈
R
< br>).
(1)
当
b
＝
4
时，求
f
(
x
)
的极值；
1
(2)
若
f
(
x
)
在区间
(0
，
)
上单调递增，求
b
的取值范围
.
3
点评
(1
)
导函数的零点并不一定就是函数的极值点，
所以在求出导函数
的零点后一定要注意
分析这个零点是不是函数的极值点
.
(2)
若函数
y
＝
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
内有极值，那么
y
＝
f
(
x
)
在
(
a
，
b
)
内一定不是
单调函数，即在某
区间上的单调函数没有极值
.
ax
变式训练
1
(
安徽
)
已知函数
f
(
x
)
＝
(
a
>0
，
r
>0).
x
＋
r
2
(1)
求
f
(
x
)
的定义域，并讨论
f
(
x
)
的单调性；
a
(
2)
若
＝
400
，求
f
(
x
)
在
(0
，＋∞
)
内的极值
.
r
题型二
利用导数求函数最值
例
2
已知函
数
f
(
x
)<
/p>
＝
x
3
＋
ax
2
＋
bx
＋
c
，曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
x
＝
1
处的切线为
l
：
3
x
－
y
＋
1
＝
0
< br>，若
2
x
＝
时，
y
＝
f
(
x
)
有极值
.
3
(1)
求
a
，
b
，
c
的值；
(2)
求
y
＝
f
(
x
)
在
[<
/p>
－
3,
1
]
上的最大值和最小值
.
点评
(1
)
求解函数的最值时，要先求函数
y
＝
f
(
x
)
在
[
a
，
b
]
内所有使
f
′
(
x
)
＝
0
的点，再计算函
数<
/p>
y
＝
f
(
x
)
在区间内所有使
f
′
(
x
)<
/p>
＝
0
的点和区间端点处的函数值，最后比
较即得
.
(2)
可以利用列表法研究
函数在一个区间上的变化情况
.
变式训练
2
(
安徽
)
设函数
f
(
x
)
＝
x
2
－
ax<
/p>
＋
b
.
π
π
－
，
内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(1)
讨论函数
f
(sin
x
)
在
2
2
π
π
－
，
< br>
上的最大值
D
；
(2)
记
f
0
(
x
)
< br>＝
x
2
－
a
0
x
＋
b
0
，求函数
|
f
(sin
x
)
－
f
0
(sin
x
)|
在
< br>
2
2
a
2
(3)
在
(2)
中，取
a
0
< br>＝
b
0
＝
0
，求
z
＝
b
－
满足
D
≤
1
时的最大值
.
4
高考题型精练
1.(
深圳模拟
)
设
a
∈
R
，若函数
y
＝
e
x
＋
ax
，
x
∈
< br>R
有大于零的极值点，则
(
)
A.
a
<
－
1
1
C.
a<
/p>
>
－
e
B.
a<
/p>
>
－
1
1
D.
a
<
－
e
2.
已知函数<
/p>
y
＝
x
3
－
3
x
＋
c
的图象与
x
轴恰有两个
公共点，则
c
等于
(
< br>
)
A.
< br>－
2
或
2
C.
－<
/p>
1
或
1
B.
－
9<
/p>
或
3
D.
－<
/p>
3
或
1
3.<
/p>
已知
e
为自然对数的底数，设函数
f
(
x
)
＝
(e
x
－
1)(
x
－
1)
k
(
k
＝
1,2)
，则
(
)
A.
当
k
＝
1
时，<
/p>
f
(
x
)
在
x
＝
1
处取到极小值
B.
当<
/p>
k
＝
1
时，
f
(
x
)
在
x
＝
1
处取到极大值
C.
当
k
＝
2
时，
f
(
x
)
在
x
＝
1
处取到极小值
D.
当
k
＝
2
时，
f
(
x
)
在
x
＝
1
< br>处取到极大值
x
1
－
x
－
kx
2
，
< br>x
≤
0
，
4.(
烟台模拟
)
若函数
f
(
x
)
＝
ln
x
，
x
>0
有且
只有两个不同的零点，则实数
k
的取值范围是
< br>(
)
A.(
－
4,0)
C.(
－
4,0]
B.(
－
∞，
0]
D.(
－
∞，
0)
< br>5.
已知
a
为常数，函数
f
(
x
)
＝
x
(ln
x
－
ax
)
有两个极值点
x
1
，
x
2
(
x
1
<
x
2
)
，则
(
)
1
A.
f
(
x
1
)>0
，
f
(
x
2
)>
－
2
1
B.
f
(
x
1
)<0
，
f
(
x
2
)<
－
2
1
C.
f
< br>(
x
1
)>0
< br>，
f
(
x
2
)<
－
2
1
D.
f
(
x
1
)<0
，
f
(
x
2
)>
－
2
6.
已知函数
f
(<
/p>
x
)
＝
x
3
＋
2
bx
2
＋
cx
＋
1
有两个极值点
x
1
，
x
2
，且
x
1
∈
[
－
2
，
－
1
]
，
x
2
∈
[
1
,
2
]
，则
f
(
－
1)<
/p>
的取值范围是
(
)
3
A.
[
－
，
3]
2
C.
[3
,
12
]
3
B.[
，
6]
2
3
D
.[
－
，
12]
2
7.
函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
ax
－
a
在
(0,
1)
内有最小值，则
a
的取值范围是<
/p>
________.
8.
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
3
ax
2
＋
3
[(
a
＋
< br>2
)
x
＋
1
]
既有极大值又有极小值，
则
a
的取值范围是
________.
9.
若函数
f
(<
/p>
x
)
＝
(1
－
x
2
)(
x
2
＋
ax
＋
b
)
的图象关于直线
x
＝
－
2
对称，则
f
(
x<
/p>
)
的最大值是
________.
1
10.
已知函数
f
(
x
)
＝<
/p>
＋
ln
x
，求
函数
f
(
x
)
的极值和单调区间
.
x
11.(
安徽
)
设函数
f
(
x
)
＝
1
＋
(1
＋
a
)<
/p>
x
－
x
2
－
x
3
，其中
a
>0.
(1)
讨
论
f
(
x
)<
/p>
在其定义域上的单调性；
(2)
当
x
∈
[0,
1
]
时，求
f
(
x
)
取得最大值和
最小值时的
x
的值
.
12.(
课标全国
Ⅱ
)
设函数
f
(
x
)
＝
e
m
x
＋
x
2
－<
/p>
mx
.
(1)
证明：
f
(
x
)
在
(
－
∞，
0)
单调递减，在
(0
，＋∞
)
单调递增；
(2)
若对于任意
x
1
，
x
2
∈<
/p>
[
－
1
,
1
]
，都有
|
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)|
≤
< br>e
－
1
，求
m
的取值范围
.