关于多元函数的极值和最值计算
如何吸引顾客-
关于多元函数的极值和最值计算
（一）
可微函数的无条件极值
如果
z
f
(
x
,
y
)
< br>在区域
D
上存在二阶连续偏导数，我们可以用下面的方法
求出极值。
'
f
x
0
首先，通过解方程
'
得到
驻点
。其次，对每个驻点求出
二阶偏导数
：
< br>f
y
0
''
''
''
A
f
xx
,
B
f
x
y
,
C
f<
/p>
yy
最后利用课本
定理
< br>7.8
进行判断
。
AC
B
2
0,
A
0,
函数在此点取极小值；
AC
B
2
0,
A
0,
函数在此点取极大值；
AC
B
2<
/p>
0,
函数在此点不取极值；
AC
B
2
0,
不能确定。
（二）
如何求多元函数的最值
如果函数
z
f
(
x
,
y
)
在有界闭域
D
上连续，
那么
函数
z
f
(
x
,
y
)
在有界闭域
D
上一定存在最大值和最小
值。下面介绍如何求出
z
f
(
x
,
y
)
在有界闭域
D
上的最值。
首先，
在
D
的内部求出函数
z
f
(
x<
/p>
,
y
)
的
驻点
及
偏导数不存在的点
。
其次，求出函数
z
f
(
x
,
y
)
在
D
的
边界上的最大值点和最小值点
。这里分两种情况处理：
第一种情况：
D
的边界是由
显函数来表示
的（
包括
边界是分段用显函数表示的情形
）
，可以用消
< br>元法转化为
一元函数在闭区间上的最值问题
来解决。
第二种情况：
D
的边界是由
隐函数
(
x
,
y
)
0
来表示
的，
而且函数
z
f
(
x
,
y
)
，
(
x
< br>,
y
)
在包含
< br>D
的
区域上存在二阶连续偏导数，此时可以
用拉格朗日乘数法求出驻点
。
最后，
通过
比较函数
z
f
(
x
,
y
)
在我们得到的点上的函数值
，
就可得到
z
f
(
x
,
y
)
在有界闭域
D
上
的最值
。
（三）
如何求条件极值
下面介绍求函数
z
f
(
x
,
y
)
在约束条件
(
x
,
y
)
0
下的条件极值。
第一种
情况：如果
(
x
,
y
)
0
确定了显函数
x
< br>g
(
y
)
或者
y
h
(
x
)
，
可以
用消元法转化为
一元函数
在闭区间上的极值问题
来解决。
第二种情况：<
/p>
如果函数
z
f
(
x
,
y
)
，
(
x
,
y
)
0
在区域
D
上存在二阶连续偏导数，
而且
(
x
,
y
)
0
确定
了
隐函数，
此时可以
用拉格朗日乘数法。
首先，
求出拉格朗日函数
L
(
x
,
y
,
)
在区域
D
内的驻点。