不规则图形面积的计算
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不规则图形面积的计算
不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、
正方形、<
/p>
长方形等规则图形组合而成的，
这是一类更为复杂的不规则
图形，
为了计算它的面积，
常常要变动图形的
位置或对图形进行适当
的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，<
/p>
同时
还常要和“容斥原理”合并使用才能解决。
< br>
例
1
：如下图（
1
）
，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径<
/p>
向内作三个半圆，求阴影部分的面积。
(1)
(2)
解法一：
把上图靠下边的半圆换成
（面
积与它相等）
右边的半圆，
得到图（
2
）
。这时，
右图中阴影部分与不含阴影
部分的大小形状完全
一样，
因此它们的面积相等。
所以上图中阴影部分的面积等于正方形
面积的一半。
解法二：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半
圆的上侧边上，如图（
3
）所示。阴影部分的面积是正方形面积
的一
半。
解法三：
将下面的半圆从中间切开，
分别贴补在上面弧边三角形
的两侧，如图（
4
）所示。阴影部分的面积是正方形的一半。
例
2
：如下图，正方形
A
BCD
的边长为
4
厘米，分别以
B
、
D
为
圆心以
4
厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分
面积。
(3)
(4)
解：由容斥原理，
S
阴影
=S
扇形
ACB
＋
S
扇形
ACD
－
S
正方形
ABCD
=
×
AB
2
×
2
－
AB
2
4
4
=
×
4
2
×
2
－
4
2
=16
×（
－
1<
/p>
）≈
16
×
2<
/p>
3
.
14
2
2
=9.12
（平方厘米）
。
例
3
：如下图，矩形
ABCD
中，
AB=6
厘米，
BC=4
厘米，扇形
ABE
半径
AE=6
厘米，扇形
CBF
的半径
CB=4
厘米。求阴影部分的
< br>面积。
A
D
< br>F
E
B
C
解：<
/p>
S
阴景
=S
扇形
ABE
＋
S
扇
形
CBF
－
S
矩形
ABCD
=
×
×
6
2
＋
×
×<
/p>
4
2
－
6
×
4
=
×
（
36
＋
16
）－
24
4
4
1
4
1
1
=13
－
24
=15
（平方厘米）
（取
=3
）
例
4
：如下图，直角三角形
ABC
中，
AB
是圆
的直径，且
AB=20
厘米，如果阴影（
1
）的面积比阴影（
2
）的面积大<
/p>
7
平方厘米，求
A
(1)
(2)
BC
长。
B
C
分析
已知
阴影（
1
）比阴影（
2
）的面积大
7
平方厘米，就是半
圆面积比三角形面积大
7
平方厘米；又知半圆直径
AB=20
厘米，可
以求出圆面积。半圆面积减去
7
平方厘米，就可求出三角形
ABC<
/p>
的
面积，进而求出三角形的高
BC
的长。
解：
BC<
/p>
的长
=[3.14
×
(
20
2
2
)
÷
2
－
7
]
×
2
÷
20
=(1
57
－
7)
×
2
÷
20
=15(
厘米
)
。
例
5
如下图，两个正方形边长分别是
10
厘米和
6
厘米，求阴
< br>影部分的面积。
G
E
F
D
(I)
A
10
B
6
C
分析
阴影部分的面积，等于底为
16
、高为
6
的直角三角形面
积与图中（Ⅰ）的面积之差。而图
中（Ⅰ）的面积等于边长为
6
的正
方形
面积减去
的以
6
为半径的圆的面积。<
/p>
4
1
解：
S
阴影
=S
三角形
ACD
－（
S
正方形
BCDE
－
S
< br>扇形
EBD
）
=
1
2
(10
6)
6
(6
6
1
4
6
)
< br>
2
=48
－
9
（
3
）
=39
（平方厘米）
。
例
6
如下
图，
将直径
AB
为
3
的半圆绕
A
逆时针旋转
60
°，
此
时
AB
到达
AC
的位置，
求阴影部分的面积（取
3
）
。
C
I
D
S
A
< br>B
II
解：整个阴影部分被线
段
CD
分为
I
和
II
两部分，以
AB
为直径
的半圆被弦
AD
分成两
部分，设其中
AD
右侧的部分面积为
S
，由于
弓形
AD
是两个半圆的公共部分，去掉
AD
弓形后，两个半圆的剩余<
/p>
部分面积相等。即
II=S
，由于：
I
＋
S=60<
/p>
°圆心角扇形
ABC
面积
=
3
2
6
9
9
2
，
∴
I
＋
II=
。
2
∴
阴影部分面积是
。
2
9
例
7
如下图，
ABCD
< br>是正方形，且
FA=AD=DE=1
，求阴影部
分的面积。
B
M
C
N
W
F
A
D
E