专题26 与弧长、扇形面积有关的问题(解析版)
一年级数学下册教学计划-
专题
26
与弧长、扇形面积有关的问题
1.
扇形弧长面积公式
（
1
）弧长的计算公式
专题知识回顾
l
n
n
r
2
r
360
180
（
2
）扇形面积计算公式
s
n
r
2
360
1
或
s
lr
2
2.
弓形的面积
（
1
）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（
2
）弓形的周长＝
弦长＋弧长
（
3
）弓形的面积
当弓形所含的弧
是劣弧时，如图
1
所示，
当弓形所含的
弧是优弧时，如图
2
所示，
当弓形所含
的弧是半圆时，如图
3
所示，
3
．圆柱侧面积体积公式
（
< br>1
）圆柱的侧面积公式
S
侧
=2
π
rh
（<
/p>
2
）圆柱的表面积公式：
S
表
=S
底
×
2+S
侧
=2
π
r
+2
π
r h
2
4.
圆锥侧面积体积公式
（
1
）圆锥
侧面积计算公式
从右图中可以看出
，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计
算
公式
:S
圆锥侧
=S
< br>扇形
=
=
π
rl
（<
/p>
2
）圆锥全面积计算公式
:S
圆锥全
=S
圆锥侧
＋
S
圆锥底面
=
π
r l
＋
π
r
=<
/p>
π
r
（
l
＋
r
）
专题典型题考法及解析
【例题
1
】
（
2019
•湖北武汉）
如图，
AB
是⊙
O
的直径，
M
、
N
是
< br>（异于
A.
B
）上两点，
C
是
上一动点，
2<
/p>
∠
ACB
的角平分线交⊙
O
于点
D
，∠
BAC
的平分线交
CD
于点<
/p>
E
．当点
C
从点
M
运动到点
N
时，则
C.
E
两点的
< br>运动路径长的比是（
）
A
．
B
．
C
．
D
．
【答案】
A
．
【解析】如图，连接
E
B
．设
OA
＝
r
．易知点
E
在以
D
为圆心
DA
为半径的圆上，运动轨迹是
轨迹是
，点
C
的运动<
/p>
，由题意∠
MON
＝
2
∠
GDF
，设∠
GDF
＝
α
，则∠
MON
＝
2
α
，利用弧长公式计算即可解决问题．
如图，连接
E
B
．设
OA
＝
r
．
∵
AB
是直
径，
∴∠
ACB
＝
90
°，
∵
E
是△
ACB
< br>的内心，
∴∠
AEB
＝
135
°，
∵∠
ACD
＝∠
BC
D
，
∴
＝
，
∴
AD
＝
DB
＝
r
，
∴∠
ADB
＝
90
°，
易知点
E<
/p>
在以
D
为圆心
D
A
为半径的圆上，运动轨迹是
∵∠
MO
N
＝
2
∠
GD
F
，设∠
GDF
＝
α
，则∠
MON
＝
2
α
，点
< br>C
的运动轨迹是
，
∴
＝
＝
．
【例题
2
】
(2019
山西）
如图，在
R
t
△
ABC
中，∠
ABC
=90
°，
AB
=
2
3
，
BC
=2
，以
AB
的中点为圆心，
OA
的
长
为半径作半圆交
AC
于点
D
，则图中阴影部分的面积为（
）
A.
5<
/p>
3
5
3
B.
C.
2
3
D.<
/p>
4
3
4
2
4
2
2
【答案】
A
【解析】作
DE
⊥
AB
于点
E
，连接
OD
，在
Rt
△
< br>ABC
中：
tan
∠
CAB
=
BC
2
3
，
AB
2
3
3
∴∠
CAB
=30
°，∠
BOD
=2<
/p>
∠
CAB
=60
°
.
在
Rt
△
ODE
中：
OE
=
3
1
3
OD
=
，
DE
=
3
OE
=
.
2
2
2
S
阴影
=
S
△
ABC
-
S
△
AOD
-
S
扇形
BOD
=
AB<
/p>
BC
OD
DE
1
2
1
2
60
OB
2
360
=
1
1
3
60
5
3
2
3
2
3
<
/p>
(
3)
2
，故选
A
2
2
2
360
4
2
【例题
3
】
（
2019
·贵州安顺）
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形
，若圆锥的底面圆
的半径
r
＝
2
，扇形的圆心角
θ
＝
120
°，则该圆锥母线
l
的长为
．
【答案】
6
【解析】根据题意得<
/p>
2
π
×
2
＝
解德
l
＝
6
，
即该圆锥母线<
/p>
l
的长为
6
．<
/p>
专题典型训练题
一
.
选择题
1.
（
2019
•四川省广安市）
如图，在
Rt
△<
/p>
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，∠
A
< br>＝
30
°，
BC
＝
4
，以
BC
为直径的半圆
O
交斜边
AB<
/p>
于点
D
，则图中阴影部分的面积为（
）
，
A
．
π
﹣
B
．
π
﹣
C
．
π
< br>﹣
D
．
π
﹣
【答案】
A
．
【解析】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，
中考常考题型．
根据三角形的内角和得到∠
< br>B
＝
60
°，根据圆周角定理得
到∠
COD
＝
120
< br>°，∠
CDB
＝
90
°，根据扇形和三角
形的面积公式即可得到结论．
∵在
Rt
△
A
BC
中，∠
ACB
＝
< br>90
°，∠
A
＝
30
°，
∴∠
B
＝
60
°，
∴∠
COD
＝
120
°，
∵
BC
＝
4
，
BC
为半圆
O
的直径，<
/p>
∴∠
CDB
＝
90
°，
∴
OC
＝
OD
＝
2
，
∴
CD
＝
BC
＝
2
，
﹣
2
×
1
＝
﹣
。
图中阴影部分的面积
＝
S
扇形
COD
﹣
S
△
COD
＝
2
．
（
2
019
•山东青岛）
如图，线段
AB<
/p>
经过⊙
O
的圆心，
AC
，
BD
分别与⊙
O
相切于点
C
，
D
．若
AC
＝
BD
＝
4
，∠
A
＝
45
°，则
的长度为（
）
A
．
π
【答案】
B
．
【解析】连接
OC
、
< br>OD
，根据切线性质和∠
A
＝<
/p>
45
°，易证得△
AOC
和△
BOD
是等腰直角三角形，进而求得
OC
＝
OD
＝
4
，∠
COD
＝
90
°，根据弧长公式求得即可．
B
．
2
π
< br>
C
．
2
π
D
．
4
π
连接
OC
、
OD
，
<
/p>
∵
AC
，
BD<
/p>
分别与⊙
O
相切于点
C
，
D
．
∴
OC
⊥
AC
，
OD
⊥
BD
，
∵∠
A<
/p>
＝
45
°，
<
/p>
∴∠
AOC
＝
4
5
°，
∴
A
C
＝
OC
＝
4
，
∵
AC<
/p>
＝
BD
＝
4
，
OC
＝
OD
＝
4
，
∴
OD
＝
BD
，
∴∠
BOD
＝
45
°，
∴∠
COD
＝
180
°﹣
45
°﹣
45
°＝
90
°，
∴
的长度为：
＝
2
π。
< br>3.
（
2019
•四川省凉山州
）
如图，在△
AOC
中，
OA
＝
3
cm
，
OC
＝
1
cm
，将△
AOC
绕点
O
顺时针旋转
90
°
后得到
△
BOD
，则
< br>AC
边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（
）
cm
．
2
A
．
B
．
2
π
C
．
π
D
．
π
【答案】
B
【解析】根据旋转的性
质可以得到阴影部分的面积＝扇形
OAB
的面积﹣扇形
OCD
的面积，利用扇形的面
积公式即可求解．
∵△
AOC
≌△
BOD
，
∴阴影部分的面积＝扇形
OAB
的面积﹣扇形
OCD
的面积＝
﹣
＝
2
π
，故选：
B
．
4
．
（
2019
•浙江绍兴）
如图，
△
ABC
内接于⊙
O
，
∠
B
< br>＝
65
°，
∠
< br>C
＝
70
°．
< br>若
BC
＝
2
，
则
的长为
（
）
A
．
π
【答案】
A
【解析】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识，属于中考常考题型．
连接
OB
，
O
C
．首先证明△
OBC
是等腰直角三角形，求出
OB
即可解决问题．
连接
OB
，
O
C
．
B
．
π
C
．
2
π
D
．
2
π
∵∠
A
＝
180
°﹣∠
ABC
﹣∠
ACB
＝
180
°﹣
65
°
﹣
70
°＝
45
°，
∴∠
BOC
< br>＝
90
°，
< br>∵
BC
＝
2
，
∴
OB
＝
OC
＝
2
，
∴
的长为
＝
π
恰好经过圆心
< br>O
，
若⊙
O
的半径为
3
，
则
< br>的长
5
．
（
2019
•山东泰安）
如图所示，
将⊙
O
沿弦
AB
折叠，
为（
）
A
．
π
【答案】
C
【解析】连接
OA
、
OB
，作
OC
⊥
AB
于
C
，根据翻转变换的性质得到
OC
＝
OA
，根据等腰三角形的性质、三角
形内角和定理求出∠
AOB
，根据弧长公式计算即
可．
连接
OA
、
OB
，作
OC
⊥
AB
于
C
，
B
．
π
C
．
2
π
D
．
3
π
由题意得，
OC
＝
OA
，
∴∠
OAC
＝
30
°，
∵
OA
＝
OB
，
∴∠
OBA
＝∠
OA
C
＝
30
°，
∴∠
AOB
＝
120
°，
∴
的长＝
＝
2
π
6
．
（
2019
•浙江宁波）
如图所示，
矩形纸片
ABCD
中，
AD
＝
6
cm
，
把它分割成正方形纸片
ABFE
和矩形纸片
EFCD
后，分别裁出扇形
ABF
和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则
AB
的长为（
）
A
．
3.5
cm
【答案】
B
【解析】本题考查了圆
锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解
决本题
的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
设
AB
＝
xcm
，则
DE
＝（
6
﹣
x
）
cm
，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
根据题意，得
解得
x
＝
4
．
7
.(2019
•云南
)
如图，△
ABC
的内切圆⊙
O
与
BC
、
CA
、
AB
分别相切于点
D
、
E
、
F
，且
AB
＝
5
，
BC
＝
13
，
CA
＝
12
，则阴影部分
(
即四边形
AEOF
)
的面积是
( )
A
．
4
B
．
6.25
C
．
7.5
D
．
9
＝
π
（
6
﹣
x
）
，
B
．
4
cm
C
．
4.5
cm
D
．
5
cm