《弧长与扇形的面积》
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《弧长与扇形的面积》教案
1
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算
.
【过程与方法】
经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力
.
【情感态度】
调动学生的积极性，<
/p>
在组织学生自主探究，
相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神
.
教学重点
弧长公式及其运用
.
教学难点
运用弧长公式解决实际问题
.
教学过程
一、情境导入，初步认识
如图是某城
市摩天轮的示意图，点
O
是圆心，半径
r
为
15
m
，
点
A
、
B
是圆
上的两点，圆
心角∠
AOB
=
120
°
.
你能想办法
求出
AB
的长度吗？
【教学说
明】
学生根据
AB
是
< br>120
°是
打好基础
.
二、思考探究，获取新知
1
周长可直接求出
AB
的长，
为下面推导出弧长公式
3
问题
1<
/p>
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长
____
___.
【教学说明】
在前面学习的圆心角定理知识，同圆或
等圆中若圆心角、弦、
弧三者有一
组量相等，则另外两组量也分
别相等，结论自然不难得出
.
问题
2
1<
/p>
度的圆心角所对的弧长
l
=_____.
问题
3
半径
为
R
的圆中，
n
度的圆心角所对的弧长
l
=______.
【分析】在解答
(
1
)
的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推
导，
学生就不容易质疑了
.
结论
:
半径为
r
的圆中，
n
°的圆心角所对的弧长
l
为
l
n
n
r
·
2
r
360
180
注：已知公式中
l
、
r
、
n
的其中任意两个量，可求出第三个量
.
三、典例精析，掌握新知
例
1
已知圆
O
的半径为<
/p>
30cm
，求
40
度的圆心角所对的弧长
.(
精确到
0
.
1cm
)
解：
l
n
R
40
<
/p>
30
20
<
/p>
20.9
cm
.
180
180
3
答：
40
度的圆心角所对的弧长约为
20
.
9cm
.
【教学说明】此题是直接导用公式
.
例
2
如图，在△
ABC
中，∠
ACB
=
90
°，∠
B
=
15
°，以
C
为圆心，
C
A
为半径的圆
交点
D
< br>，若
AC
=
6
< br>，求弧
AD
的长
.
【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠
ACD
的度数即可
.
解
:
连接
CD
.
因为∠
B
=
15
°，∠
BCA
=
9
0
°，
所以∠
A
=
90
°
-
∠
B
=
90
°
-
15
°<
/p>
=
75
°
. <
/p>
又因为
CA
=
C
D
，所以∠
CDA
=
< br>∠
A
=
75
°
.
所以∠
DCA
=
180
°
-
2
∠
A
=
< br>30
°
.
所以
AD
的长
=
30
6
=
< br>π
.
180
【教学说明】在求
弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角
.
例
3
如图为一个边长为
10cm
< br>的等边三角形，
木板
ABC
在水
平桌面绕顶点
C
沿
顺时针方向旋转到△
A
′
B
′
C
的位置
.
求顶点
A
从开始到结束所经过的路程为多
少？
解：由题可知∠
A
< br>′
CB
′
=
60
°
.
∴∠
< br>ACA
′
=
120
°
.
A
点经过的路程即为<
/p>
AA
′
的长
.<
/p>
等边三角形的边长为
10cm
.
即
AA
′
的半
径为
10cm
.
∴<
/p>
AA
′
的长
=<
/p>
120
10
20
(
cm
).
180
< br>3
20
cm
< br>.
3
答：点
A
从开始到结束经过的路程为
【教学说明】
弧长公式在生
活中的应用是难点，
关键是找出所在的圆心角的度数和所在
圆的
半径，问题就容易解决了
.
练习题：
1
、
如课本图，
是一个闹钟正面的内、
外轮廓线
.
内轮廓线由一段圆弧和一条弦
AB
组成，圆心为
O
，半径为
3.2cm
，圆心角∠
AOB
=
83
°，求内轮廓线的圆弧的长度
< br>.
2
、如课本图，一块铅球比赛场地是由一段
80°
的圆心角所对的圆弧和两条半径围城的，
若该比赛场地的周界是
34m
，求它的半径
OA
长（精确到
0.1m
）
.
四、运用新知，深化理解
1
.
一个扇形的圆心角为
6
0
°，它所对的弧长为
2
π
cm
，则这个扇形的半径为
( )
A
.
6cm
B
.
12cm
C
.
2
3
cm
D
.
6
cm
2
.<
/p>
如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从
< br>点
A
到点
B
，甲虫沿着
ADA
1
、
A
1
EA
2
、
A
2
FA
3
、
A
3
GB
的路线爬行，乙虫沿着路
线
A
CB
爬行，则下列结论正确的是
( )
< br>A
.
甲先到
B
< br>点
B
.<
/p>
乙先到
B
点
<
/p>
C
.
甲乙同时到达
D
.
无法确定
3
.
如果一条弧长等于
l
，它所在圆的半径等于
R
，
这条弧所对的圆心角增加
1
°，则它的
弧长增加
( )
A
.
1
R
180
l
1
B
.
C
.
D
.
n
180
R
360
4
.(
山东泰安中考
< br>)
如图，
AB
与⊙
O
相切于点
B
，
AO
的延长线交⊙
O
于点
C
，连结
BC
，若
∠
ABC
=
120
°，
OC
=
< br>3
，则
BC
的长为
()
A
.
π
B
.
2
π
C
.
3
π
D
.
5
π
第
4
题图
第
5
题图
<
/p>
5
.
一块等边三角形的木板，边长为
1
，现将木板沿水平线无滑动翻滚
(
如图
)
，那么
B
点
从开始到结束时所走过的路径长度是
__
____.
【教学说明】
在弧长公式及其运用的题目中，
多是一些基础题，
关键是理解公式的推导
过
程后，在
l
、
n
、
r
中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了
.
【答案】
1
.
A
2
.
C
3
.
B
4
.
B
5
.
五、师生互动，课堂小结
1
.
师生共同回顾本小节的知识点
.
2
.
通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还
有哪些疑问？请与同伴交流
.
【教学说明】
< br>1
.
n
°的圆心角所对的弧长<
/p>
l
4
3
n
R
.
180
2
.
学生大胆尝
试公式的变化运用
.
课后作业
1
.
教材
P
81
页第
1
题
.
2
.
完成同步练
习册中本课时的练习
.