关于三视图学习的几点补充
个人季度工作总结-
发表于《数学通讯》
2014
年第
7
期
关于三视图学习的几点补充
李素波
山西省阳泉市平定一中
045200
< br>立体几何中的三视图是高中数学课改后的新增内容，
也是高考的重点。
然而
必修
2
教材在介绍这
部分内容时，
却轻描淡写，
没有交代清楚三视图知识结构的
来龙去脉，
致使很多学生对三视图掌握不够。
本文笔者提出几点补充，
供大家学
习参考。
< br>
首先要搞清楚，
什么是三视
图
？三视图，顾名思义就是“三
个视图”
，那么我们需先从
“一
个视图”谈起。
如图
1
，物体在光的照射下，
在地面或墙壁上投下影子，这种
影子与物体的形状有一定的联
系
，我们把这种联系进行抽象和
优化，得到了用于表达物体形状
的
投影法。当然，我们这里研究
投影面
的投影是指平行投影中的正
投
视图
影。由于投影图与观察者用平行
（图
1
）
的视线看物体所得到的结果相
近，所以一般称投影图为视图。也就是说一个投影就是一个视图。
横看成岭侧成峰，
远近高低各不同。
为了能反映物体的全貌，
一个视图是远
远不够的，所以我们需
要多个视图，多个投影面。于是就有了
三视图。
所谓知其然，
还要知其所以然。
为了帮助大家学习，
对三视图相关知识补充
如下。
z
一．知识补充
V
面
补充
1
三投影面体系
W
面
三投影面体系由三个相互垂直的投影面和三条
投影轴构成
。如图
2
所示，三个投影面分别是
正立
投影面
(
简称正面或
V
面
)
、
水平投影面
(
简
称水平面或
H
面
)
和侧立投影面
(
简称侧面或
W
面
),
而三条投影轴分别是：
V
与
H
的交线称为
O
x
OX
轴，简称
X
轴，
W
与
H
的交线称为
OY
轴，简
称
Y
轴，
W
与
V
的交线称为
OZ
轴，
简称
Z
轴，
H
面
X
、
Y
、
Z
三轴的交点
O
称为原点。
y
（图
2
）
这
里，三个投影面的作用是用来放置三个
视图，下面我们来看三个视图究竟是怎么形成的。
补充
2
三视图的形成过程和名称
将一个物体
放置在三投影面体系中，
用正投影法分别向三个投影面投影，
就
得到
了物体的三面投影，即三视图。具体如下：
从物体的前面向后面正投影，在
V
面所得的投影称为
正视图，也称主视图；从
物体的上面向下面正投影，在
H
面所得的投影称为俯视图；
从物体的左面向右面正投影，在
W
面所得的投
影称为侧视图，也称左视图。
事实上，
三视图是按正投影法绘制的。
因此正投影法是绘制和识读三视图的
理论基础，是学习绘图和识图的前提，这一点，务必要贯穿三视图学习的始终。
<
/p>
为了画图方便，
需将互相垂直的三个投影面展开在同一平面上。<
/p>
下面介绍三
视图如何展开，这对于三视图还原直观图至关重要。<
/p>
补充
3
三视图的展开及其位置
规定：
V
面保持不动，沿
Y
轴剪开，然后
H
面绕
X
轴向下旋转
90°
,
W
面绕
Z
轴
向右旋转
90°。
V
面
正视图
z
V
面
正视图
W
面
侧视图
W
面
x
H
面
俯视图
O
侧视图
y
（图
3
）
俯视图
此时如图
3
（右）所示，
V
面，
H
面和
W
面处于同一
个平面上。这也就是教
材上将
“主视图放在图纸的左上角，
左视图在主视图的正右方，
俯视图在主视图
的正下方”的原因。
高考中的三视图题目，
< br>一般不只是三视图还原实物图，
而更多的是，
根据三视图
的尺寸，计算原几何体的体积，表面积等。
< br>那么三视图的尺寸，
如何反映几何体的实际尺寸呢？下面我们来看三个视图各自<
/p>
都反映了物体的哪些方位。
补充
4
视图与物体的方位关系
所谓方位关系
，
指的是绘图者
（或看图者）
面对正面
（即主视图的投射方向）
来观察物体为准，看物体的上、下、前
、后、左、右六个方位在三视图中的对应
关系。
如图
4
所示，
由三视图的形
成及展开过程可知，
主视图反映物体的上、
下和
左、右，
；俯视图反映物体的左、右和前、后；左视图反映物体的上、下和前、
后。特别注意，俯、左视图靠近主视图的一侧（里侧）
，均表示
物体的后面，远
离主视图的一侧（外侧）均表示物体的前面。
这一点是本文的核心，也是我们分析三视图问题的主要方法。
H
面
V
面
正视图
左
上
z
上
右
后
前
下
V
面
正视图
上
侧视图
W
面
上
W
面
左
右
后
前
下
< br>后
下
x
左
后
O
下
右
H
面
前
侧视图
左
前
右
俯视图
（
图
4
）
y
H<
/p>
面
事实上，许多学生只对于长方体这种
方正的图形，才有长、宽、高的概念。
其实任何物体均有长、宽、高三个方向尺寸，分析
的前提必须先规定物体的长、
宽、高尺寸方向。强调正对主视图（
V
面）的水平方向为物体的长度方向，那么
此时其宽度和高度
方向就自然地确定下来了。
由此可见，
每一视图只能反映物体两个方向的尺寸，
且每两个视图反映的相同方
< br>向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。
将其归纳一下，就
是我们所熟知的“主视俯视长对正，主视左视高平齐，左视俯
视宽相等”
。
若有了以上的几点补充
，
相信会对大家三视图的学习产生很大的帮助，
下面
我们利用上文所说分析几个具体问题。
二．案例分析
例
1.
如图
5
为某空间几何体的三视图，求该几何体的表面积。
从三个视图均为三角形来看，该几何
体是一个三棱锥。确定了三棱锥的底面形
3
状和
顶点的位置，整个空间结构也就确定
3
了。首先从底面入手，对
于水平放置的几
何体，俯视图往往决定了底面的形状。由
4
4
侧视图
俯视图可知，该三棱锥的底面是一
个直角
正视图
边为
4
< br>的等腰直角三角形。在纸上画出底
面三角形的直观图，为了是画出的立体图
形具有空间感，可以按斜二测作图规则来
4
画
，
如图
6
所示，
而且使
AB
边正对着主视
方向。
4
俯视图
（图
5
）
俯视图<
/p>