空间几何体的三视图经典例题
youren-
一、教学目标
1.
巩固空间几何体的结构及其三视图和直观图
二、上课内容
1
、回顾上节课内容
2
、空间几何体的结构及其三视图和直观图知识点回顾
3
、经典例题讲解
4
、课堂练习
三、课后作业
见课后练习
一、上节课知识点回顾
1
．奇偶性
1
）
定义：
如果对于函数
f
(
x
)
< br>定义域内的任意
x
都有
f
(
－
x
)=
－
f
(
x
)
，
则称
f
(
x
)
为奇函数；
如果对于函数
f
(
x
)
定义域内的任意
x
都有
f
(
－
x
)=
f
(
x
)
，则称
f
(
x
)
为偶函数。
如果函数
f
(
x
)
不具有上述性质，
则
f
(
x
)
不具有奇偶性
.
如果函数同时具有上述两条
性质，则
f
(
x
)
既是奇函数，又是偶函数。
2
）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1
1
首先确
定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○
2
确定
○
与
f
(
x
)
的关系；
○
3
作出相应结论：
f
< br>(
－
x
)
若
f
(
－
x
) =
f
(
x
)
或
f
(
－
x
)
－
f
(
x
) = 0
，则
f
(
x
)
是偶函数；若
f
(
－
x
) =
－
f
(
x
)
或
f
(
－
x
)
＋
f
(
x
) = 0
，则
f
(
x
)
是奇函数
3
）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个
函
数是偶函数的充要条件是它的图象关于
y
轴对称；
2
．单调性
1
）定义：一般地，设函数
y
=
f
(
x
)
的定义域为
I
，
如果对于定义域
I
内的某个区间
D
内的任意两个自变量
x
1
，
x
2
< br>，
当
x
1
<
x
2
时，
都有
f
(
x
1
)<
f
(
x<
/p>
2
)
（
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
）
，
那么就说
f
(
x
)
在区间
D
上是增函数（减函数）
；
2
）如果函数
< br>y
=
f
(
x
)
在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数
y
=
f
(
x
)
在这一
区间具有（严
格的）单调性，区间
D
叫做
y
=
f
(
x
)
的单调区间。
3
）设复合函数
y
=
f
[g(
x
)]
，其中
u
=g(
x
< br>) ,
A
是
y
=
f
[g(
x
)]
定义域的某个区间，
B
是映射
g :
x
→
< br>u
=g(
x
)
的象集：
①若
u
=g(
x
)
在
A
上是增
（或减）函数，
y
=
f
(
u
)
在
< br>B
上也是增（或减）函数，则
函数
y
=
f
[g(
x
)]
在
A
上是增函数；
②若
u
=g(
x
)
在
A
上是增（或减）函数，而
y
=
f
(
u
)
在
B
上是减
（或增）函数，则
函数
y
=
f
[g(
x
)]
在
A
上是减函数。
4
）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数
f
(
x
)
在给定的区间
D
上的单调性的一般步骤：
1
任取
x<
/p>
1
，
x
2
∈
D
，且
x
1
<
x
2
；
○
2
< br>作差
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)
；<
/p>
○
3
变形（通
常是因式
○
分解和配方）
；
2
4
定号（即判断差
f
(
x
1
)
－
f
(
x
2
)
的正负）
；
○
5<
/p>
下结论（即指出函数
f
(
x
)
在给定
○
的区间
D
上的单调性）
。
3
．最值
1
）定义：
最大值：一般地，设函数
y
=
f
(
x
)
的定义域为<
/p>
I
，如果存在实数
M
满足：①对于
任意的
x
∈
I
，
都有
f
(
x
)
≤
M
；
②存在
x
0
∈
I
，
使得
f
(
x
0
) = M
。
那么，
称
M
是函数
y
=
f
(
x
< br>)
的最大值。
最小值：一般地
，设函数
y
=
f
(
x
)
的定义域为
< br>I
，如果存在实数
M
满足：①对
于
任意的
x
∈
I
，
都有
f
(
x
)
≥
M
；
②存在
x
0
∈
I
，
使得
f
(
x
0
) = M
。
那么，
称<
/p>
M
是函数
y
=<
/p>
f
(
x
)
的最大值。
2
）利
用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1
利用二次函数的性质（配方法）求
函数的最大（小）值；
○
2
利用图象求
○
函数的最大（小）值；
3
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
○
如果函数
y
=
f
(
x
)
< br>在区间
[
a
，
< br>b
]
上单调递增，
在区间
[
b
，
c
]
上单调递减则函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
b
处有最大值
f
(
b
)
；
如果函数<
/p>
y
=
f
(
x
)
在区间
[
a
，
b
]
上单调递减，
在区间
[
b
，
c
]
上单调
递增则函数
y
=
f
(
x
)
在
x
=
b
处有最小值
f
(
b
)
；
二、空间几何体的机构及其三视图和直观图知识点回顾
1
、
中心投影与平行投影：
投影是光线通
过物体
,
向选定的面投射
,
并在该在由得到图形的方法
;
平行投影的投影
3
线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点
.
2
、三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
它具体包括：
（
1
）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
（
2
）侧视图：物体左右方向投影所得到的投
影图；
（
3
）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
三视图的排列规则：主在前，俯在下，左在右
画三视图的原则：主、左一样
，主、俯一样
，俯、左一样
。
3
、直观
图
:
斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的
OX
，
OY
，建立
直角坐标系；<
/p>
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的
O
’
X
’
,O
’
Y
’
,
使
'
'
=45
X
'
OY
0
（或
135
0
）
，它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于
X
轴的线段，在直观图中画成平行于
X
‘
轴，
且长度保持不变；在已知图形平行于
Y
轴的线段，在直观图中画成平行于
Y
‘
轴，
且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去
X
轴、
Y
轴及为画图添加的辅助线（虚线）
。
4
、空间几何体的表面积
（
1
）
.
棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积
棱
柱
、
棱
锥
< br>、
棱
台
是
由
多
个
平
面
图
形
围
成
的
多
面
体
，
它
们
的
表
面
积
就
< br>是
，也就是
；它们的侧面积就
是
.
4
（
2
）
.
圆柱、圆锥、圆台的表面积、侧面积
圆柱
的侧面展开图是
，长是圆柱底面圆的
，宽是圆柱的
设圆柱
的底面半径为
r
,
母线长为
l
,
则
S
圆柱侧
=
S
圆柱表
=
圆
锥
的
侧
面
展
开
图
为
，
其
半
径
是
圆
锥
的
，
弧
长
等
于
，
设为
r<
/p>
圆锥底面半径，
l
为母线长，则
侧面展开图扇形中心角为
，
S
圆锥侧
=
，
S
圆锥表
=
圆台
的侧面展开图是
，其内弧长等于
，外弧长等于
，
设圆台的上底面半径为
r
,
下底面半径为
R
,
母线长为
l
,
则
侧面展开图扇环中心角为
，
S
圆台侧
=
，
S
圆台表
=
（
3
）
.
球的表面积
如果球的半径为
< br>R
，那么它的表面积
S=
5
、空间几何体的体积
1
.
柱体的体积公式
V
柱体
=
2
.
锥体的体积公式
< br>
V
锥体
=
3
.
台体的体积公式
< br>
V
台体
=
4
.
球
的体积公式
V
球
=
三、经典例题讲解
（一）根据三视图求面积、体积
三视
图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
它具体包括：
（
1
）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
（
2
）侧视图：物体左右方向投影所得到的投
影图；
（
3
）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
三视图的排列规则：主在前，俯在下，左在右
5
例
1
：
如图，一个空间几何体的正视图、侧视图和俯视图都是全等的等腰直角三角
< br>形，直角边长为
1
，求这个几何体的表面积和体积
.
正视图
侧视图
俯
视图
变式训练：
一空间几何体的三视图如图所示
,
则该几何体的体积为
(
).
A.
2
2
3
B.
4
2
3
C.
2
<
/p>
D.
4
3
3
2
2
3
2
3
2
2
（二）侧面展开、距离最短问题
<
/p>
方法：
利用平面上两点之间线段最短的原则去求解
2
正视图
2
侧视图
俯视图
例
2
：
在棱长为
4
的正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
木块上，有一只蚂蚁从顶点
A
沿着表面
爬行到顶点
C
1
，求蚂蚁爬行的最短距离？
变式训练
：
已知正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
< br>1
D
1
的棱长为
1
，
P
是
AA
1
的中点，
E
是
BB
1
上一点，如
6